16.1二次根式(第1课时)--公开课一等奖课件
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人教版数学八年级下册二次根式(第1课时)教学课件
（3） 3 8
（4） 4 a2
不是(bù shi)
不是
不是
（5） - m (m 0)
是
（8） - x2 1
不是
（6） 2a 1
不是
（9）4 2
是
（7） a2 2a 3
是 1 （10） 3
是
第九页，共三十页。
探究新知
素养考点 2 利用二次根式有意义的条件(tiáojiàn)求字母的取值范 例2 当x是怎围样的实数时, x 2 在实数范围内有意义?
课堂小结
二次根式
(gēnshì)有意 义的条件和 非负性
二次根式
(gēnshì)的
定
义
在有意义
条件下求
字母的取
值范围
形如 a (a 0)的式子叫做 二次根式
抓住被开方数必须为非负数， 从而建立不等式或不等式组
求出其解集
二次根式
的双重非 负性
二次根式 a中,a≥0且
a ≥0
第二十九页，共三十页。
课后作业(zuòyè)
3.当x=__-_1_时，二次根式 x 1取最小值，其最小值
为_____0_．
第二十三页，共三十页。
课堂检测
4.(1)若式子
x 1 2
在实数范围内有意义，则x的取值
范围是__x_≥_1___;
(2)若式子
1 x2
x
在实数范围内有意义，则x的取
值范围是___x_≥_0_且_x_≠_2__.
第二十四页，共三十页。
第十五页，共三十页。
探究新知
归纳总结
二次根式的实质是表示一个(yī ɡè)非负数（或式）的算术平方
根.对于任意一个二次根式 ，必须a满足以下两条：
人教版数学八年级下册：第十六章-二次根式--课件(共88张)
3 2 3 1.5 5 木板够宽
情境引入
现有一块长为7.5 dm、宽为5 dm的木板， 能否采用如教教材图16.3-1的方式，在这块 木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2 的正方形木板？
问题3：从长方形木板上截取两个正方形木板， 长方形木板够长吗？ 你是如何得出答案的？
8 18 2 2 3 2 (2 3) 2 5 2
七、布置作业
• 1.教材第3页练习1.2题. • 2.教材第5页习题16.1第1题.
第十六章 二次根式
16.1 二次根式
第2课时
一、提出问题
根据算术平方根的意义填空.
1. ( 4) 2 __4_;
1 ( 1 )2 _3__;
3
( 2 )2 _2__;
( 0)2 _0__ .
2. 22 __2_;
化
简
解：（2）（ 12 20）+（ 3- 5）
、
.
去
2 3 2 5+ 3- 5
括 号
、
3 3+ 5
合
并
巩固提高
练习1 计算:
（1） 2 7 6 7
仔细认 真哦！
-4 7
（2） 80- 20+ 5
.
（3） 18+（ 98- 27）
35 10 2-3 3
（4）（ 24+ 0.5）-（ 1 - 6） 8
5 2 5 1.5 7.5
木板够长
情境引入
现有一块长为7.5 dm、宽为5 dm的木板， 能否采用如教材图16.3-1的方式，在这块木 板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2 的正方形木板？
问题4：观察 8 18的计算过程，你能总结
情境引入
现有一块长为7.5 dm、宽为5 dm的木板， 能否采用如教教材图16.3-1的方式，在这块 木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2 的正方形木板？
问题3：从长方形木板上截取两个正方形木板， 长方形木板够长吗？ 你是如何得出答案的？
8 18 2 2 3 2 (2 3) 2 5 2
七、布置作业
• 1.教材第3页练习1.2题. • 2.教材第5页习题16.1第1题.
第十六章 二次根式
16.1 二次根式
第2课时
一、提出问题
根据算术平方根的意义填空.
1. ( 4) 2 __4_;
1 ( 1 )2 _3__;
3
( 2 )2 _2__;
( 0)2 _0__ .
2. 22 __2_;
化
简
解：（2）（ 12 20）+（ 3- 5）
、
.
去
2 3 2 5+ 3- 5
括 号
、
3 3+ 5
合
并
巩固提高
练习1 计算:
（1） 2 7 6 7
仔细认 真哦！
-4 7
（2） 80- 20+ 5
.
（3） 18+（ 98- 27）
35 10 2-3 3
（4）（ 24+ 0.5）-（ 1 - 6） 8
5 2 5 1.5 7.5
木板够长
情境引入
现有一块长为7.5 dm、宽为5 dm的木板， 能否采用如教材图16.3-1的方式，在这块木 板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2 的正方形木板？
问题4：观察 8 18的计算过程，你能总结
人教版八年级数学下册16.1二次根式第一课时优质课件.ppt
解：由 X-2 ≥0， 得x≥ 2
当 x≥ 2 时， x 2 在
实数范围内有意义.
练一练 当a是怎样的实数时，下列的各 式在实数范围内有意义？
三、研学教材
⑴ a 1 ;
解：由 a-1 ≥0，得a ≥ 1 .
当a ≥ 意义.
1 时， a 1 在实数范围内有
(2) 2a 3
解：由 2a+3 ≥0，得a ≥ -1.5 .
2、二次根式的意义
当x ≥0 时， x 在实数范围内有意义.
我相信，只要大家勤 于思考，勇于探索，一定 会获得很多的发现，增长 更多的见识，谢谢大家， 再见！
二次根式(1)
一、学习目标
1、理解二次根式的概念； 2、理解二次根式中被开方数在实数范
围内有意义的条件.
二、新课引入
1、填空：
一个正数有 2个 平方根，它们 互为相反数 ； 0的平方根是 0 ；负数 没有平方根.
2、下列各式是否有意义，为什么？
⑴ 3
⑶ (3)2
；⑵ ;⑷
3 ；
1 102 .
（1）. 3
二次根式 ③因为-5小于0，所以 5 不是二
次根式
三、研学教材
2、下列式子中，是二次根式的是
（A ）
A．— 7 B.3 7 C． x D．x
3、下列式子中，不是二次根式的是
（D ）
A． 4
B．16 C． 8
D．1
x
三、研学教材4、已知一个正方形的面源自是5，那么它的边长是（ B
A.5 B． 5
）C．15
当a ≥ -1.5 时， 2a 3 在实数范
围内有意义.
⑶
；
a
解：
由 -a ≥0，得a ≤ 0
当 x≥ 2 时， x 2 在
实数范围内有意义.
练一练 当a是怎样的实数时，下列的各 式在实数范围内有意义？
三、研学教材
⑴ a 1 ;
解：由 a-1 ≥0，得a ≥ 1 .
当a ≥ 意义.
1 时， a 1 在实数范围内有
(2) 2a 3
解：由 2a+3 ≥0，得a ≥ -1.5 .
2、二次根式的意义
当x ≥0 时， x 在实数范围内有意义.
我相信，只要大家勤 于思考，勇于探索，一定 会获得很多的发现，增长 更多的见识，谢谢大家， 再见！
二次根式(1)
一、学习目标
1、理解二次根式的概念； 2、理解二次根式中被开方数在实数范
围内有意义的条件.
二、新课引入
1、填空：
一个正数有 2个 平方根，它们 互为相反数 ； 0的平方根是 0 ；负数 没有平方根.
2、下列各式是否有意义，为什么？
⑴ 3
⑶ (3)2
；⑵ ;⑷
3 ；
1 102 .
（1）. 3
二次根式 ③因为-5小于0，所以 5 不是二
次根式
三、研学教材
2、下列式子中，是二次根式的是
（A ）
A．— 7 B.3 7 C． x D．x
3、下列式子中，不是二次根式的是
（D ）
A． 4
B．16 C． 8
D．1
x
三、研学教材4、已知一个正方形的面源自是5，那么它的边长是（ B
A.5 B． 5
）C．15
当a ≥ -1.5 时， 2a 3 在实数范
围内有意义.
⑶
；
a
解：
由 -a ≥0，得a ≤ 0
16.1 二次根式(课件)2024-2025学年度沪科版数学八年级下册
解： x2 2x+2 (x )2 x . 当x4时，x 4 4 . ∴当x4时， x2 2x+2 4 .
提示
1 将式子先化成“ a2 ”的形式；
2 利用二次根式的性质化简；
3 代值计算.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习 1.下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
典型例题
【例3】计算：
(1) (5)2；
(2) (1 2)2 .
解：(1) (5)2 52 5 或 (5)2 5 5 .
(2) (1 2)2 1 2 (1 2) 2 1.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
【例4】先化简再求值： x2 2x+2 ，其中x4.
典型例题
【例2】当x是什么实数时，下列各式有意义？
(1) x 4 ； x2
(2) x2 .
解：(1)由x+4≥0，且 x–2≠0，得x≥– 4，且 x≠2； (2)由–x2≥0，得x=0.
提示 ①被开方数≥0. ②若分母中有字母，保证分母不等于0.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
运算顺序 取值范围 运算结果
( a)2 先开方，后平方
a≥0 a
Байду номын сангаас意义
表示一个非负数a的 算术平方根的平方
a2 先平方，后开方
a取任何实数
a
表示一个实数a的 平方的算术平方根
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
二次根式有意义的条件 被开方数≥0.
【例1】x为何值时，下列式子在实数范围内有意义？
提示
1 将式子先化成“ a2 ”的形式；
2 利用二次根式的性质化简；
3 代值计算.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习 1.下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
典型例题
【例3】计算：
(1) (5)2；
(2) (1 2)2 .
解：(1) (5)2 52 5 或 (5)2 5 5 .
(2) (1 2)2 1 2 (1 2) 2 1.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
【例4】先化简再求值： x2 2x+2 ，其中x4.
典型例题
【例2】当x是什么实数时，下列各式有意义？
(1) x 4 ； x2
(2) x2 .
解：(1)由x+4≥0，且 x–2≠0，得x≥– 4，且 x≠2； (2)由–x2≥0，得x=0.
提示 ①被开方数≥0. ②若分母中有字母，保证分母不等于0.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
运算顺序 取值范围 运算结果
( a)2 先开方，后平方
a≥0 a
Байду номын сангаас意义
表示一个非负数a的 算术平方根的平方
a2 先平方，后开方
a取任何实数
a
表示一个实数a的 平方的算术平方根
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
二次根式有意义的条件 被开方数≥0.
【例1】x为何值时，下列式子在实数范围内有意义？
16.1二次根式第1课时爱的教育上课用
\
a - b + 6 = 0，a + b - 8 = 0
a－ b = － 6 a＋ b = 8 a ＋ b－ 8 = 0 a=1 b=7
∴ a － b＋ 6 = 0
在实数范围内分解因式:4 x - 3
解: ∴ ∵ 3
2
2
3
2
2
4 x 3 (2 x) 3
2
(2 x 3 )(2 x 3 )
\ a=
2 2
2，b = 2
\ a + b - 2b + 1 =
( 2) + 2 2
2
2? 2 1
= 2 + 4- 4 + 1 = 3
10. 已知 a - b + 6与 a + b - 8互为相 反数，求 a、b的值。 解:
a- b+ 6 0，a + b - 8
0
பைடு நூலகம்
而 a - b + 6+ a + b - 8 = 0
a
2
先平方,后开方
2.从取值范围来看 , 2 a≥0 a
a
2
a取任何实数
3.从运算结果来看:
a
a
2
2
2
=a
a (a≥ 0) -a (a＜0)
= ∣ a∣ =
m4 思考：若 ( m 4 ) 4 m , 则 m 的取值范围是 _________
3， x ＋ 1，
144,
7. 三角形三边长分别是a、b、c，且 a > c ， 那么 c - a - (a + c - b)2等于（ D ）。
16 二次根式的概念 公开课一等奖课件
被开方数是 不是非负数
是 二次根式
分析：是否含二次根号
否
不是二次根式
(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负 解： 数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是 二次根式.
例2 当x是怎样的实数时, 意义?
解：由x-2≥0，得 x≥2.
x 2 在实数范围内有
当x≥2时， x 2 在实数范围内有意义.
图 (2)如图的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积 为6m2，则它的宽为_____m ． 3
图
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时
间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满 足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t为
h _____ 5 ．
讲授新课
一 二次根式的概念及有意义的条件
② a＝2.5，b＝6； c=6.5 ③ a＝4，b＝7.5. c=8.5 思考 以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角 三角形，可不可以通过边来确定直角三角形呢？
如果直角三角形的两条直角边长 分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
情景引入
同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗?
打13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以 3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角 形，其中一个角便是直角.
学习目标
1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定
理的概念、关系及勾股数.（重点）
2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆 定理判断一个三角形是直角三角形.（难点）
导入新课
复习引入
问题1 勾股定理的内容是什么?
B
a
c
是 二次根式
分析：是否含二次根号
否
不是二次根式
(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负 解： 数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是 二次根式.
例2 当x是怎样的实数时, 意义?
解：由x-2≥0，得 x≥2.
x 2 在实数范围内有
当x≥2时， x 2 在实数范围内有意义.
图 (2)如图的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积 为6m2，则它的宽为_____m ． 3
图
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时
间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满 足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t为
h _____ 5 ．
讲授新课
一 二次根式的概念及有意义的条件
② a＝2.5，b＝6； c=6.5 ③ a＝4，b＝7.5. c=8.5 思考 以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角 三角形，可不可以通过边来确定直角三角形呢？
如果直角三角形的两条直角边长 分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
情景引入
同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗?
打13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以 3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角 形，其中一个角便是直角.
学习目标
1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定
理的概念、关系及勾股数.（重点）
2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆 定理判断一个三角形是直角三角形.（难点）
导入新课
复习引入
问题1 勾股定理的内容是什么?
B
a
c
16 二次根式 公开课一等奖课件
14千米 6千米
礼贤 淤头
江山
贺村
下图表示江山到礼贤主要停靠站之间路程的千米数。一辆满载礼贤乘 客的中巴车于上午8：00整从江山开往礼贤，已知中巴车行驶的路程S（千 米）与时间t（分）成正比例（途中不停车），当t=4（分）时，S=2千米。 问： （ 1）正比例函数的解析式； （2）从8：30到8：40，该中巴车行驶在哪一段公路上； 礼贤 （3）从何时到何时，该车行使在淤头至礼贤这段公路上。
（1）求正比例函数的解析式； （2）若注了8分钟的油，问油箱里的油会满出来吗？ （3）若要把这个油箱注满，问需要多长时间？ （4）求自变量的取值范围。
练习7 已知y与x+2 成正比例，当x=4时，y=12，
那么当x=5时，y=______.
Hale Waihona Puke ？思考题有人说如果y与x成正比例，当x扩 大若干倍，y也扩大同样倍。 你认为他讲的对吗？
练习4
自 变 量 的 值
代入解析式
函 数 的 值
练习5
已知正比例函数y=2x中,
0<x<5 (1)若0< y <10,则x的取值范围为________
0< 2x <10
-12<y<20 (2)若-6< x <10,则y的取值范围为________ 1y -6< <10 2
例 1 江二中准备添置一批篮球，已知所购
S
b-3
如图示的值表示正方形的面积，则 正方形的边长是
b3
一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单 位：s）与开始落下时的高度h（单位：m）满足关系 h h=5t2 .如果用含有h的式子表示t，则t=_________
礼贤 淤头
江山
贺村
下图表示江山到礼贤主要停靠站之间路程的千米数。一辆满载礼贤乘 客的中巴车于上午8：00整从江山开往礼贤，已知中巴车行驶的路程S（千 米）与时间t（分）成正比例（途中不停车），当t=4（分）时，S=2千米。 问： （ 1）正比例函数的解析式； （2）从8：30到8：40，该中巴车行驶在哪一段公路上； 礼贤 （3）从何时到何时，该车行使在淤头至礼贤这段公路上。
（1）求正比例函数的解析式； （2）若注了8分钟的油，问油箱里的油会满出来吗？ （3）若要把这个油箱注满，问需要多长时间？ （4）求自变量的取值范围。
练习7 已知y与x+2 成正比例，当x=4时，y=12，
那么当x=5时，y=______.
Hale Waihona Puke ？思考题有人说如果y与x成正比例，当x扩 大若干倍，y也扩大同样倍。 你认为他讲的对吗？
练习4
自 变 量 的 值
代入解析式
函 数 的 值
练习5
已知正比例函数y=2x中,
0<x<5 (1)若0< y <10,则x的取值范围为________
0< 2x <10
-12<y<20 (2)若-6< x <10,则y的取值范围为________ 1y -6< <10 2
例 1 江二中准备添置一批篮球，已知所购
S
b-3
如图示的值表示正方形的面积，则 正方形的边长是
b3
一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单 位：s）与开始落下时的高度h（单位：m）满足关系 h h=5t2 .如果用含有h的式子表示t，则t=_________
人教版八年级(初二)数学下册 16.1 二次根式 第一课时 PPT教学课件
际问题.
5.培养观察、发现、分析问题的能力，增强学生科学研究的意识.
学习重难点
学习重点：二次根式的概念.
学习难点：二次根式有意义的条件.
回顾复习
1.平方根与算术平方根的概念.
2.若正方形的面积为S，则正方形的边长为
S .
探究新知
学生活动一 【自主探究】
认真阅读教材第2页至第3页的内容，完成下面练习并体验知识
当3为腰长时，三角形的边长分别为3，3，4，符合三角形的
三边关系，此时三角形的周长为3+3+4=10；
当4为腰长时，三角形的边长分别为4，4，3，符合三角形的
三边关系， 此时三角形的周长为4+4+3=11．
∴ 此三角形的周长为10或11.
课后作业
1.教材P5习题16.1复习巩固第1,3题,综合运用
它的长、宽各应取多少？
3
解:设长方形的宽为x m，则长方形的长为 x m，
2
3
3
∴ x∙x=18，解得x=2 3， x=3 3.
2
2
∴长方形的长为3 3 m，宽为2 3 m.
拓展应用
2.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) a − ;
解:由题意，得a-1≥0，解得a≥1，
∴当a≥1时， a − 在实数范围内有意义.
x−2≠0,
∴当x≤3，且x≠2时，
3−x
在实数范围内有意义.
x−2
探究新知
(3)
x+5
.
x
解：由题意，得ቊ
x+5≥0,
解得x≥-5且x≠0.
x≠0,
∴当x≥-5且x≠0时，
x+5
5.培养观察、发现、分析问题的能力，增强学生科学研究的意识.
学习重难点
学习重点：二次根式的概念.
学习难点：二次根式有意义的条件.
回顾复习
1.平方根与算术平方根的概念.
2.若正方形的面积为S，则正方形的边长为
S .
探究新知
学生活动一 【自主探究】
认真阅读教材第2页至第3页的内容，完成下面练习并体验知识
当3为腰长时，三角形的边长分别为3，3，4，符合三角形的
三边关系，此时三角形的周长为3+3+4=10；
当4为腰长时，三角形的边长分别为4，4，3，符合三角形的
三边关系， 此时三角形的周长为4+4+3=11．
∴ 此三角形的周长为10或11.
课后作业
1.教材P5习题16.1复习巩固第1,3题,综合运用
它的长、宽各应取多少？
3
解:设长方形的宽为x m，则长方形的长为 x m，
2
3
3
∴ x∙x=18，解得x=2 3， x=3 3.
2
2
∴长方形的长为3 3 m，宽为2 3 m.
拓展应用
2.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) a − ;
解:由题意，得a-1≥0，解得a≥1，
∴当a≥1时， a − 在实数范围内有意义.
x−2≠0,
∴当x≤3，且x≠2时，
3−x
在实数范围内有意义.
x−2
探究新知
(3)
x+5
.
x
解：由题意，得ቊ
x+5≥0,
解得x≥-5且x≠0.
x≠0,
∴当x≥-5且x≠0时，
x+5
人教初中数学八年级下册 16.1《二次根式》二次根式的概念和性质课件1
通常把形如 m a(a 0)的式子也叫做二
次根式,如 3 2, 2a b2 1 等. 24
例题1 化简二次根式:
1 72; 2 12a3; 3 18x2 x 0.
注意判断根号 内字母的取值 范围，
25
例题2 化简二次根式:
1 a;
3
2 5 ;
2x
3 b2 b 0;
aa 0.
29
9a
4 a 1.
a
注意判断根号内 字母的取值范围，
26
写出下列等式成立的条件：
1 (x 2)(x 6) x 2 x 6
2 y 2 y 2
6 y 6 y
27
小结
1.掌握化简二次根式的两个基本步骤: ⑴ 将二次根式中的分母化去; ⑵ 把二次根式中所含的完全平方因式移
不要忽略 4
说一说:
下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
在实数范围内,负数没有平方根
5
a2 1
3 -2
2a 1
a
a 12
你能用魔法师变出的这些代数式 作为被开方数构造二次根式吗？
6
例 1 x是怎样的实数时，式子 x 3
在实数范围内有意义？
试一试（2） x是怎样的实数时，下列各式 在实数范围内有意义？
（1） 2x ； （2） 2x 5 ； （3） 3 x
7
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
(3) 4x2x为全体实数(4) 1 x
二次根式PPT教学课件市公开课一等奖省优质课获奖课件
教学目标
了解二次根式性质1和性质 2，并能够利用性质处理相
关习题
第2页
预学检测
• 1本节学习什么内容？ • 2、你认为本节课重难点是什么？ • 3、你在预学是有何疑问?
第3页
探究新知
问题 二次根式有哪些性质呢？
性质1
a2 a a 0
性质2
2
a a a 0
第4页
问题 假如在性质1 中 a2 a a 0
a 0 这个条件没有话，等式还成立吗？
第5页
探究：当a为实数时， a2 与 a 有什么联络？
a
3
1
2 3
0
2 3
1
3
a2 3 1
20
3
2 3
13
a3
1
2 3
0
ห้องสมุดไป่ตู้2 3
1
3
第6页
由此得到： a2 与 a 关系
a a2 a o
a
(a o), (a o), (a o).
第7页
当堂训练
求以下二次根式值：
第11页
1 3 2
2 x2 2x 1，其中x=- 3
第8页
总结提升
本节课学习了哪些内容？你有什么收获？
第9页
教学反思
• 对于性质2同学们轻易掌握，而对于性质1 分三种情况较难了解，尤其当a为负数时， 更轻易糊涂，应作较多训练。
第10页
布置作业
1、家庭作业：练习册第一页1—9题； 2、课堂作业:书本习题16.1第二题； 3、预学下一课时内容。
了解二次根式性质1和性质 2，并能够利用性质处理相
关习题
第2页
预学检测
• 1本节学习什么内容？ • 2、你认为本节课重难点是什么？ • 3、你在预学是有何疑问?
第3页
探究新知
问题 二次根式有哪些性质呢？
性质1
a2 a a 0
性质2
2
a a a 0
第4页
问题 假如在性质1 中 a2 a a 0
a 0 这个条件没有话，等式还成立吗？
第5页
探究：当a为实数时， a2 与 a 有什么联络？
a
3
1
2 3
0
2 3
1
3
a2 3 1
20
3
2 3
13
a3
1
2 3
0
ห้องสมุดไป่ตู้2 3
1
3
第6页
由此得到： a2 与 a 关系
a a2 a o
a
(a o), (a o), (a o).
第7页
当堂训练
求以下二次根式值：
第11页
1 3 2
2 x2 2x 1，其中x=- 3
第8页
总结提升
本节课学习了哪些内容？你有什么收获？
第9页
教学反思
• 对于性质2同学们轻易掌握，而对于性质1 分三种情况较难了解，尤其当a为负数时， 更轻易糊涂，应作较多训练。
第10页
布置作业
1、家庭作业：练习册第一页1—9题； 2、课堂作业:书本习题16.1第二题； 3、预学下一课时内容。
人教版数学八下课件-二次根式
抓住被开方数必须为非 负数，从而建立不等式 或不等式组求出其解集.
二次根式 的双重非 负性
二次根式 a 中,a≥0且
a ≥0
第二课时
二次根式化简
返回
导入新知
【思考】下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？
0 -4 1
1 2
1
-1
4
1 4
算术平方根之门
a
a
a≥0
平方之门
( a )2
我们都是非 负数哟！
x≥-1且x≠2
x>0
x为全体实数
探究新知 知识点 2 二次根式的双重非负性
【回顾思考】二次根式 a 的被开方数a的取值范围是什么？它 本身的取值范围又是什么？
当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 a＞0；当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 a＝0 .这就是说，当a≥0时，a 0. 【新知思考】当x 是怎样的实数时， x2 在实数范围内有意义？
2x 1
解：由题意得
x 2 ≥0， 2x 1
则
2xx21≥＞00，，或
x 2≤0， 2x 1＜0，
解得x≥2或x＜
1 2
，
即当x≥2或x＜
1 2
时， x 2 有意义．
2x 1
课堂小结 二次根式
定义
带有二次根号 被开方数为非负数
在有意义 条件下求 字母的取 值范围
探究新知
在前面的问题中，得到的结果分别是： 3， S ，
（1）这些式子分别表示什么意义？
分别表示3，S，65，
h 5
的算术平方根．
（2）这些式子有什么共同特征？
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
沪科版八年级数学下册第16章《二次根式第一课时》公开课课件
正数有算术平方根；负数没有算术平方根。
4、 7 表 示 什 么 ？
表示7的算术平方根
平方根的性质： 正数有两个平方根且互为相反数；
0有一个平方根就是它本身； 负数没有平方根。
a 表示什么？a 需要满足什么条件？
代数式 a(a 0) 叫做二次根式，读作
“根号a”，其中a是被开方数。
下列哪些代数式是二次根式？
2, 2, a21, b24a(b c24a c0), 3
3, b(b0)
1(x2) x2
二次根式的被开方数为非负数 二次根式被开方数可为整式或分式
当堂训练
设x是实数，当x满足什么条件时，下列各式有意 义？
(1) 2x 1 2 2 x
(3) 1 x
(4) 1 x2
做一做: 要使下列各式有意义，字母的取值必
有意义，
字母 x的取值必须满足什么条件？
总结提升 本节课学习了哪些内容？你有什么收获？
教学反思
同学们对二次根式被开方数中的等 号容易忽视，教学中要反复强调。
布置作业
1、家庭作业：练习册第二页1—9题； 2、课堂作业：习题16.1第三题；第七题； 3、预学二次根式性质3。
• 12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 • 13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/5/52022/5/5May 5, 2022 • 14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 15、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。
2022/5/52022/5/5 • 16、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年5月2022/5/52022/5/52022/5/55/5/2022 17、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。
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开始下落的高度h（单位：m ）满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表
示t, 则t=___h______.
5
1 在上面的问题中，结果分别是 65, S , 2, h 它们都是
表示一些正数的算术平方根.
5
2 我们知道一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实 数只能 是正数和0.
练习
1. 要画一个面积为18cm2的矩形，使它的宽与长的比 为2：3，则它的宽与长分别是多少？
解：设其宽为2x，长为3x，则有
2x 3x 18 6x2 18
x2 3
解得x1 （3 舍去）, x2 3
所以长方形宽为2 3，长为3 3.
2. 如图，在平面直角坐标系中，A（2，3）、B（5，3）、C （2，5）是三角形的三个顶点，求BC的长.
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做
二次根式，“ ”称为二次根号.
例1 当x是怎样的实数时， x 2 在实数范围内有意
义？
解：由x 2 0，得 x2
当x 2时，x 2在实数范围内有意义 .
当x是怎样的实数时，x2在实数范围内有意义？x3 ?
x为任意实数 x为大于或等于零的实数
曹杨二中高三(14)班学生
班级职务：学习委员
高考志愿：北京 大学中文系
高考成绩：语文121分数学146分
英语146分历史134分
综合28分总分
575分
(另有附加分10
分)
上海高考文科状元--常方舟
“我对竞赛题一样发怵”
总结自己的成功经验，常方舟认为学习的高 效率是最重要因素，“高中三年，我每天晚 上都是10:30休息，这个生活习惯雷打不动。 早晨总是6:15起床，以保证八小时左右的睡 眠。平时功课再多再忙，我也不会‘开夜 车’。身体健康，体力充沛才能保证有效学 习。”高三阶段，有的同学每天学习到凌晨 两三点，这种习惯在常方舟看来反而会影响 次日的学习状态。每天课后，常方舟也不会 花太多时间做功课，常常是做完老师布置的 作业就算完。
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校：
北京大学光华管理学 院
北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
上海 2006 高考 理科 状元-武亦 文
武亦文 格致中学理科班学生 班级职务：学习委员 高考志愿：复旦经济 高考成绩：语文127分 数学142分 英语144分
物理145分 综合27分 总分585分
“一分也不能少”
“我坚持做好每天的预习、复习，每 天放学回家看半小时报纸，晚上10： 30休息，感觉很轻松地度过了三年 高中学习。”当得知自己的高考成 绩后，格致中学的武亦文遗憾地说 道，“平时模拟考试时，自己总有 一门满分，这次高考却没有出现， 有些遗憾。”
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校： 北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任 孙烨：杨蕙心是一个目标高远 的学生，而且具有很好的学习品质。学 习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同 学两三个小时才能完成的作业，她一个 小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力 很强，这一点在平常的考试中可以体现。 每当杨蕙心在某科考试中出现了问题， 她能很快找到问题的原因，并马上拿出 解决办法。
“用好课堂40分钟最重要。我的经验是，哪怕 是再简单的内容，仔细听和不上心，效果肯 定是不一样的。对于课堂上老师讲解的内容， 有的同学觉得很简单，听讲就不会很认真， 但老师讲解往往是由浅入深的，开始不认真， 后来就很难听懂了；即使能听懂，中间也可 能出现一些知识盲区。高考试题考的大多是 基础知识，正就是很多同学眼里很简单的内 容。”常方舟告诉记者，其实自己对竞赛试 题类偏难的题目并不擅长，高考出色的原因 正在于试题多为基础题，对上了自己的“口 味”。
坚持做好每个学习步骤
武亦文的高考高分来自于她日常严谨的学习 态度，坚持认真做好每天的预习、复习。 “高中三年，从来没有熬夜，上课跟着老师 走，保证课堂效率。”武亦文介绍，“班主 任王老师对我的成长起了很大引导作用，王 老师办事很认真，凡事都会投入自己所有精 力，看重做事的过程而不重结果。每当学生 没有取得好结果，王老师也会淡然一笑，鼓 励学生注重学习的过程。”
当a 1时，a 1在实数范围内有意义.
(2) 2a 3
解：由2a+3≥0，得
a3 2
当a 3 时，2a 3在实数范围内有意义. 2
语文
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附赠 中高考状元学习方法
前言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
解：由图示知
AC=5-3=2 AB=5-2=3 根据勾股定理,得
y
6 5
C(2,5)
4
3 2
A(2,3)
B(5,3)
1
123 456 x
BC AB 2 AC 2 32 22 13
答：BC的长 13
为
3. 当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) a 1
解：由a-1≥0，得 a≥1
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。
谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法， 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做 的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试 成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中，她的 成绩一直稳定在年级前5名左右。
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
（1）如图，要做一个两条直角边的长 分别是7cm和4cm的三角尺，斜边的长
应为 65 cm
s （2）面积为S的正方形的边长为_________
7cm 4cm
（3）要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池,它的半径为___2___
m(π取3.14)
(4)一个物体从高处自由下落,落到地面所用的时间为t（单位：s）与
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她 很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一 个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩 当中，心理素质非常好，是非常重要的。
示t, 则t=___h______.
5
1 在上面的问题中，结果分别是 65, S , 2, h 它们都是
表示一些正数的算术平方根.
5
2 我们知道一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实 数只能 是正数和0.
练习
1. 要画一个面积为18cm2的矩形，使它的宽与长的比 为2：3，则它的宽与长分别是多少？
解：设其宽为2x，长为3x，则有
2x 3x 18 6x2 18
x2 3
解得x1 （3 舍去）, x2 3
所以长方形宽为2 3，长为3 3.
2. 如图，在平面直角坐标系中，A（2，3）、B（5，3）、C （2，5）是三角形的三个顶点，求BC的长.
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做
二次根式，“ ”称为二次根号.
例1 当x是怎样的实数时， x 2 在实数范围内有意
义？
解：由x 2 0，得 x2
当x 2时，x 2在实数范围内有意义 .
当x是怎样的实数时，x2在实数范围内有意义？x3 ?
x为任意实数 x为大于或等于零的实数
曹杨二中高三(14)班学生
班级职务：学习委员
高考志愿：北京 大学中文系
高考成绩：语文121分数学146分
英语146分历史134分
综合28分总分
575分
(另有附加分10
分)
上海高考文科状元--常方舟
“我对竞赛题一样发怵”
总结自己的成功经验，常方舟认为学习的高 效率是最重要因素，“高中三年，我每天晚 上都是10:30休息，这个生活习惯雷打不动。 早晨总是6:15起床，以保证八小时左右的睡 眠。平时功课再多再忙，我也不会‘开夜 车’。身体健康，体力充沛才能保证有效学 习。”高三阶段，有的同学每天学习到凌晨 两三点，这种习惯在常方舟看来反而会影响 次日的学习状态。每天课后，常方舟也不会 花太多时间做功课，常常是做完老师布置的 作业就算完。
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校：
北京大学光华管理学 院
北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
上海 2006 高考 理科 状元-武亦 文
武亦文 格致中学理科班学生 班级职务：学习委员 高考志愿：复旦经济 高考成绩：语文127分 数学142分 英语144分
物理145分 综合27分 总分585分
“一分也不能少”
“我坚持做好每天的预习、复习，每 天放学回家看半小时报纸，晚上10： 30休息，感觉很轻松地度过了三年 高中学习。”当得知自己的高考成 绩后，格致中学的武亦文遗憾地说 道，“平时模拟考试时，自己总有 一门满分，这次高考却没有出现， 有些遗憾。”
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校： 北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任 孙烨：杨蕙心是一个目标高远 的学生，而且具有很好的学习品质。学 习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同 学两三个小时才能完成的作业，她一个 小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力 很强，这一点在平常的考试中可以体现。 每当杨蕙心在某科考试中出现了问题， 她能很快找到问题的原因，并马上拿出 解决办法。
“用好课堂40分钟最重要。我的经验是，哪怕 是再简单的内容，仔细听和不上心，效果肯 定是不一样的。对于课堂上老师讲解的内容， 有的同学觉得很简单，听讲就不会很认真， 但老师讲解往往是由浅入深的，开始不认真， 后来就很难听懂了；即使能听懂，中间也可 能出现一些知识盲区。高考试题考的大多是 基础知识，正就是很多同学眼里很简单的内 容。”常方舟告诉记者，其实自己对竞赛试 题类偏难的题目并不擅长，高考出色的原因 正在于试题多为基础题，对上了自己的“口 味”。
坚持做好每个学习步骤
武亦文的高考高分来自于她日常严谨的学习 态度，坚持认真做好每天的预习、复习。 “高中三年，从来没有熬夜，上课跟着老师 走，保证课堂效率。”武亦文介绍，“班主 任王老师对我的成长起了很大引导作用，王 老师办事很认真，凡事都会投入自己所有精 力，看重做事的过程而不重结果。每当学生 没有取得好结果，王老师也会淡然一笑，鼓 励学生注重学习的过程。”
当a 1时，a 1在实数范围内有意义.
(2) 2a 3
解：由2a+3≥0，得
a3 2
当a 3 时，2a 3在实数范围内有意义. 2
语文
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附赠 中高考状元学习方法
前言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
解：由图示知
AC=5-3=2 AB=5-2=3 根据勾股定理,得
y
6 5
C(2,5)
4
3 2
A(2,3)
B(5,3)
1
123 456 x
BC AB 2 AC 2 32 22 13
答：BC的长 13
为
3. 当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) a 1
解：由a-1≥0，得 a≥1
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。
谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法， 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做 的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试 成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中，她的 成绩一直稳定在年级前5名左右。
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
（1）如图，要做一个两条直角边的长 分别是7cm和4cm的三角尺，斜边的长
应为 65 cm
s （2）面积为S的正方形的边长为_________
7cm 4cm
（3）要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池,它的半径为___2___
m(π取3.14)
(4)一个物体从高处自由下落,落到地面所用的时间为t（单位：s）与
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她 很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一 个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩 当中，心理素质非常好，是非常重要的。