移动机器人运动学
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18
小脚轮
• 可以绕着垂直轴转向，但其 旋转垂直轴并不通过地面接 通过设置 的值，将使得任意侧向运 触点 动变得可行，即脚轮的转向动作能够使
机器人底盘发生侧移.因此，对于使用 脚轮的移动机器人来讲，给定任意的机 滚动约束(旋转垂直轴的偏移对平行于轮平面的运动不起作用 ) 器人底盘运动，总是存在一定的旋转速 度和转向速度满足约束 cos( ) (l )cos . R称这种可以以 ( ) I r 0 sin( ) 机器人运动空间中的任何速度移动的系 A点，相对于A点的地面接触 无侧滑约束 轮子上的侧向力发生在 统为全方向系统。
无侧滑约束
cos( ) (l )cos R( ) I r 0
轮子上的侧向力发生在A点，相对于A点的地面接触 点的偏移使得侧向移动为零的约束不再成立，要求 通过一个等量而相反的转向运动进行平衡
cos( )
sin( ) d l sin R( ) I d 0
无侧滑约束 cos( ) sin( ) l sin R( ) I 0
16
转向标准轮
• 转向标准轮比固定标准轮多一 个自由度，即轮子可能绕着穿 过轮子中心和地面接触点的垂 直轴旋转
滚动约束
sin( )
无侧滑约束
cos( ) (l )cos R( ) I r 0 sin( ) l sin R( ) I 0
R R I
I R R
1
关键在求局部坐标系下各轮的贡献
12
• 机器人沿+XR方向移动，其运动是每 个轮子的旋转速度对P点作用的叠加
– 对P点在XR方向平移速度的作用
• 一个旋转，一个静止 xR (1/ 2)r1或xR (1/ 2)r2 • 同时旋转 xR r1 / 2＋r2 / 2
22
随时间变化
机器人运动学约束
所有轮子的滑动约束为
C1 ( s ) R( ) I 0.
固定标准轮 转向标准轮
C1 f C1 ( s ) . C ( ) 1s s
cos( ) cos( )
常数
sin( ) l sin R( ) I 0 sin( ) l sin R( ) I 0
26
移动机器人的机动性
• 移动机器人的机动性
– 由轮子的滑动约束决定的活动性 – 操纵轮子所附加的自由度
• 三个轮子足够轮式机器人实现静态稳定
– 附加的轮子需要同步
• 移动机器人的机动性程度
– 活动性的程度 m s – 可操纵度 – 机器人机动性 M m s
27
移动机器人转动的瞬时中心
1 0 l J 2 1 0 l R( ) I 0 0 1 0
24
基于约束的运动学建模
1 0 l J 2 1 0 l R( ) I 0 0 1 0
cos( )
转向位置的变化 对机器人当前的运动约束没有直接影响， 它对运动的影响需通过时间积分表现出来，影响车的活动性 17
小脚轮
• 可以绕着垂直轴转向，但其 旋转垂直轴并不通过地面接 触点，需附加一个参数d
滚动约束(旋转垂直轴的偏移对平行于轮平面的运动不起作用)
sin( )
– N f 个固定标准轮，轮子角度向量为 f ，旋转位置向量为 f – N s 个转向标准轮，轮子角度向量为 s ，旋转位置向量为 s
所有轮子的滚动约束为 J1 ( s ) R( ) I J 2 0.
固定标准轮 sin( ) 转向标准轮 sin( )
– 对P点在YR方向平移速度的作用 y 0 I R( ) 1 R – 对P点旋转分量的作用
R
• 仅右轮向前旋转，P点以左轮为中心 逆时针旋转，旋转速度为 r 2l • 仅左轮向前旋转，P点以右轮为中心 顺时针旋转，旋转速度为 r 2l
1 1 2 2
r1 r 2 2 2 1 R ( ) 0 r1 r 2 2l 2l
5
轮式移动机器人
• Swedish轮
3个自由度： 绕轮子主轴转动 绕滚子轴心转动 绕轮子和地面的接触点转动
45度Swedish轮
90度Swedish轮
连续切换轮 振动较小
6
存在不连续振动
轮式障碍翻越
仅依靠摩擦力 改变重心 自适应悬挂机制
7
移动机器人运动学
8
移动机器人运动学
• 运动学：研究机械系统的运动方式，是实现机器人运 动控制的基础 • 工作空间：
20
球轮
• 没有转动主轴，因此不存在相应的滚动或者滑动 约束，是一种全方向系统
– 其运动学描述和固定标准轮的完全相同
自由变量
21
机器人运动学约束
• 脚轮、Swedish轮和球轮对机器人底盘不施加任何运动学 约束，固定标准轮和转向标准轮对机器人底盘运动学存在 运动学约束 • 假设机器人共有N个标准轮
• Instantaneous center of rotation (ICR)
汽车
自行车
28
活动性的程度
• 底盘的活动性是机器人运动上约束数目的函数， 而不是轮子数目的函数。
rank C1 s
C1 f C1 s C 1s s
移动机器人
轮式移动机器人
轮式移动机器人
2
轮式移动机器人
• 轮子在移动机器人中最常用 • 三个轮子的移动机器人能够保证稳定平衡 • 当轮子多于三个时，需要悬挂系统保证所有轮子 与地面接触 • 轮子的个数选择依赖于应用 • 轮式机器人的重点在牵引、稳定性、机动性和控 制，平衡性不是主要问题。
3
四种基本轮子类型
1 0 l J 2 1 I R( ) 1 0 l 0 0 1 0 1 1 0 2 2 J 2 1 R ( ) 0 0 1 . 0 1 1 0 2l 2l 25
– – – – 轮子半径为 r 轮子到两轮中间中点P的距离为 l 两个轮子的旋转速度分别为 1 ,2 若 r , l , ,1 ,2 已知，则机器人在全局坐标系下的速度
xI I yI f l , r , ,1 ,2 I
与机械臂的运动学模型 不同，轮式移动机器人 的模型为速度空间之间 的关系，类似于机械臂 的Jacobian
随时间变化
所有轮子的总约束表达式
J1 ( s ) J 2 C ( ) R( ) I 0 1 s
23
基于约束的运动学建模
• 差速驱动机器人（前面同一个例子）
– 两个驱动轮是固定标准轮 右轮 / 2, 左轮 / 2, 0 – 随动轮为脚轮，无动力 – 根据每个轮子的滚动约束和滑动约束构建 J1 ( s )和C1 ( s ) 忽略脚轮的接触点，因为脚轮无动力，且可以向任意 方向移动
– 机械臂：机械臂末端执行器可能到达位置的范围 – 移动机器人：机器人在环境中可以到达的可能姿态的范围
• 可控性
– 机械臂：在工作空间中实现从一个位姿移动到另一个位姿 的控制方式 – 移动机器人：在工作空间中的可能路径和轨迹
• 动力学的约束和影响
9
移动机器人运动学
• 主要内容
– 运动学模型和约束
• • •• • 机器人位置表示 前向运动模型 轮子的运动学约束 机器人运动学约束 基于约束的运动学建模
R R I
xR xI y R( ) y R I R I cos R( ) sin 0 sin cos 0 0 0 1
11
前向运动模型
• 差动驱动移动机器人
(t ) (t ) f s (t )
J J1 (t ) 1 f J1s ( s )
常数
cos( ) (l )cos R( ) I r 0 cos( ) (l )cos R( ) I r 0
14
固定标准轮
• 没有可操纵的垂直转动轴，对底盘的角度固定， 只能沿着轮平面后退或者前进，并绕着地面接触 点旋转
机器人坐标系下，固定标准轮A的位姿用极坐标表示 (l , ) 轮平面相对于底盘的角度为 ，固定
15
固定标准轮
• 约束：
– 沿轮子平面运动 为轮子的转动 – 沿正交于轮子平 面的运动为零 滚动约束 sin( ) cos( ) (l )cos R( ) I r 0
• a)标准轮
– 几个自由度？
• 轮轴 • 地面接触点
• b)小脚轮
– 几个自由度？
• 轮轴 • 地面接触点 • 结合点
4
四种基本轮子类型
• c)瑞典轮
– 几个自由度？
• 轮轴 • 辊轴 • 地面接触点
• d)球形轮
– 几个自由度？
• 地面接触点 • 底盘平面上自由运动
有动力的球形轮的悬挂系统技术上实现困难， 一般类似于具有动力的机械鼠标
点的偏移使得侧向移动为零的约束不再成立，要求 通过一个等量而相反的转向运动进行平衡
cos( )
sin( ) d l sin R( ) I d 0
19
Swedish轮
• 由固定标准轮和附在轮子周围的 转子组成 • 没有旋转垂直轴 • 相对于标准轮增加了一个自由度， 可以实现全方向的移动 滚动约束
1
基于约束的运动学建模
1 2 1 I R( ) 0 1 2l 1 2 0 1 2l 0 J 2 1 . 0 0
基于作用的运动学建模
I R( ) 1 R
r1 r2 2 2 1 R ( ) 0 r1 r 2 2 l 2 l
转子的指定方向
sin( )
cos( ) (l )cos( ) R( ) I r cos 0
在接触点上，转子旋转所绕轴的速度分量为零
滑动约束 转子的转动是自由的，因此不存在侧向滑动约束 cos( ) sin( ) l sin( ) R( ) I r sin rswsw 0 通过变化 值，可以构造任意满足约束的期望运动向量
差动驱动机器人的运动学模型 13
轮子的运动学约束
• 假设
– 轮子的平面始终保持竖直，以及在所有情况下，轮子 和地面都只有一个接触点 – 轮子与地面在接触点上没有打滑，即轮子仅仅在纯转 动下运动，并通过接触点绕垂直轴旋转
• 轮子存在的约束
– 滚动约束，即轮子在相应方向发生运动时必须转动 – 无侧滑，即轮子不能在垂直于轮子平面的方向发生滑 动
C1s s R I 0
– 移动机器人的工作空间
• 工作空间的概念 • 完整性 • 路径和轨迹
– 运动控制
运动作用 运动约束
10
机器人位置表示
• 机器人：
– 刚体，忽略内部和轮子的关节和自由度 – 在水平面上运动，总维数为3
• 坐标系定义
– 平面全局坐标系
• 机器人姿态 I x, y,
T
– 机器人局部坐标系
小脚轮
• 可以绕着垂直轴转向，但其 旋转垂直轴并不通过地面接 通过设置 的值，将使得任意侧向运 触点 动变得可行，即脚轮的转向动作能够使
机器人底盘发生侧移.因此，对于使用 脚轮的移动机器人来讲，给定任意的机 滚动约束(旋转垂直轴的偏移对平行于轮平面的运动不起作用 ) 器人底盘运动，总是存在一定的旋转速 度和转向速度满足约束 cos( ) (l )cos . R称这种可以以 ( ) I r 0 sin( ) 机器人运动空间中的任何速度移动的系 A点，相对于A点的地面接触 无侧滑约束 轮子上的侧向力发生在 统为全方向系统。
无侧滑约束
cos( ) (l )cos R( ) I r 0
轮子上的侧向力发生在A点，相对于A点的地面接触 点的偏移使得侧向移动为零的约束不再成立，要求 通过一个等量而相反的转向运动进行平衡
cos( )
sin( ) d l sin R( ) I d 0
无侧滑约束 cos( ) sin( ) l sin R( ) I 0
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转向标准轮
• 转向标准轮比固定标准轮多一 个自由度，即轮子可能绕着穿 过轮子中心和地面接触点的垂 直轴旋转
滚动约束
sin( )
无侧滑约束
cos( ) (l )cos R( ) I r 0 sin( ) l sin R( ) I 0
R R I
I R R
1
关键在求局部坐标系下各轮的贡献
12
• 机器人沿+XR方向移动，其运动是每 个轮子的旋转速度对P点作用的叠加
– 对P点在XR方向平移速度的作用
• 一个旋转，一个静止 xR (1/ 2)r1或xR (1/ 2)r2 • 同时旋转 xR r1 / 2＋r2 / 2
22
随时间变化
机器人运动学约束
所有轮子的滑动约束为
C1 ( s ) R( ) I 0.
固定标准轮 转向标准轮
C1 f C1 ( s ) . C ( ) 1s s
cos( ) cos( )
常数
sin( ) l sin R( ) I 0 sin( ) l sin R( ) I 0
26
移动机器人的机动性
• 移动机器人的机动性
– 由轮子的滑动约束决定的活动性 – 操纵轮子所附加的自由度
• 三个轮子足够轮式机器人实现静态稳定
– 附加的轮子需要同步
• 移动机器人的机动性程度
– 活动性的程度 m s – 可操纵度 – 机器人机动性 M m s
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移动机器人转动的瞬时中心
1 0 l J 2 1 0 l R( ) I 0 0 1 0
24
基于约束的运动学建模
1 0 l J 2 1 0 l R( ) I 0 0 1 0
cos( )
转向位置的变化 对机器人当前的运动约束没有直接影响， 它对运动的影响需通过时间积分表现出来，影响车的活动性 17
小脚轮
• 可以绕着垂直轴转向，但其 旋转垂直轴并不通过地面接 触点，需附加一个参数d
滚动约束(旋转垂直轴的偏移对平行于轮平面的运动不起作用)
sin( )
– N f 个固定标准轮，轮子角度向量为 f ，旋转位置向量为 f – N s 个转向标准轮，轮子角度向量为 s ，旋转位置向量为 s
所有轮子的滚动约束为 J1 ( s ) R( ) I J 2 0.
固定标准轮 sin( ) 转向标准轮 sin( )
– 对P点在YR方向平移速度的作用 y 0 I R( ) 1 R – 对P点旋转分量的作用
R
• 仅右轮向前旋转，P点以左轮为中心 逆时针旋转，旋转速度为 r 2l • 仅左轮向前旋转，P点以右轮为中心 顺时针旋转，旋转速度为 r 2l
1 1 2 2
r1 r 2 2 2 1 R ( ) 0 r1 r 2 2l 2l
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轮式移动机器人
• Swedish轮
3个自由度： 绕轮子主轴转动 绕滚子轴心转动 绕轮子和地面的接触点转动
45度Swedish轮
90度Swedish轮
连续切换轮 振动较小
6
存在不连续振动
轮式障碍翻越
仅依靠摩擦力 改变重心 自适应悬挂机制
7
移动机器人运动学
8
移动机器人运动学
• 运动学：研究机械系统的运动方式，是实现机器人运 动控制的基础 • 工作空间：
20
球轮
• 没有转动主轴，因此不存在相应的滚动或者滑动 约束，是一种全方向系统
– 其运动学描述和固定标准轮的完全相同
自由变量
21
机器人运动学约束
• 脚轮、Swedish轮和球轮对机器人底盘不施加任何运动学 约束，固定标准轮和转向标准轮对机器人底盘运动学存在 运动学约束 • 假设机器人共有N个标准轮
• Instantaneous center of rotation (ICR)
汽车
自行车
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活动性的程度
• 底盘的活动性是机器人运动上约束数目的函数， 而不是轮子数目的函数。
rank C1 s
C1 f C1 s C 1s s
移动机器人
轮式移动机器人
轮式移动机器人
2
轮式移动机器人
• 轮子在移动机器人中最常用 • 三个轮子的移动机器人能够保证稳定平衡 • 当轮子多于三个时，需要悬挂系统保证所有轮子 与地面接触 • 轮子的个数选择依赖于应用 • 轮式机器人的重点在牵引、稳定性、机动性和控 制，平衡性不是主要问题。
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四种基本轮子类型
1 0 l J 2 1 I R( ) 1 0 l 0 0 1 0 1 1 0 2 2 J 2 1 R ( ) 0 0 1 . 0 1 1 0 2l 2l 25
– – – – 轮子半径为 r 轮子到两轮中间中点P的距离为 l 两个轮子的旋转速度分别为 1 ,2 若 r , l , ,1 ,2 已知，则机器人在全局坐标系下的速度
xI I yI f l , r , ,1 ,2 I
与机械臂的运动学模型 不同，轮式移动机器人 的模型为速度空间之间 的关系，类似于机械臂 的Jacobian
随时间变化
所有轮子的总约束表达式
J1 ( s ) J 2 C ( ) R( ) I 0 1 s
23
基于约束的运动学建模
• 差速驱动机器人（前面同一个例子）
– 两个驱动轮是固定标准轮 右轮 / 2, 左轮 / 2, 0 – 随动轮为脚轮，无动力 – 根据每个轮子的滚动约束和滑动约束构建 J1 ( s )和C1 ( s ) 忽略脚轮的接触点，因为脚轮无动力，且可以向任意 方向移动
– 机械臂：机械臂末端执行器可能到达位置的范围 – 移动机器人：机器人在环境中可以到达的可能姿态的范围
• 可控性
– 机械臂：在工作空间中实现从一个位姿移动到另一个位姿 的控制方式 – 移动机器人：在工作空间中的可能路径和轨迹
• 动力学的约束和影响
9
移动机器人运动学
• 主要内容
– 运动学模型和约束
• • •• • 机器人位置表示 前向运动模型 轮子的运动学约束 机器人运动学约束 基于约束的运动学建模
R R I
xR xI y R( ) y R I R I cos R( ) sin 0 sin cos 0 0 0 1
11
前向运动模型
• 差动驱动移动机器人
(t ) (t ) f s (t )
J J1 (t ) 1 f J1s ( s )
常数
cos( ) (l )cos R( ) I r 0 cos( ) (l )cos R( ) I r 0
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固定标准轮
• 没有可操纵的垂直转动轴，对底盘的角度固定， 只能沿着轮平面后退或者前进，并绕着地面接触 点旋转
机器人坐标系下，固定标准轮A的位姿用极坐标表示 (l , ) 轮平面相对于底盘的角度为 ，固定
15
固定标准轮
• 约束：
– 沿轮子平面运动 为轮子的转动 – 沿正交于轮子平 面的运动为零 滚动约束 sin( ) cos( ) (l )cos R( ) I r 0
• a)标准轮
– 几个自由度？
• 轮轴 • 地面接触点
• b)小脚轮
– 几个自由度？
• 轮轴 • 地面接触点 • 结合点
4
四种基本轮子类型
• c)瑞典轮
– 几个自由度？
• 轮轴 • 辊轴 • 地面接触点
• d)球形轮
– 几个自由度？
• 地面接触点 • 底盘平面上自由运动
有动力的球形轮的悬挂系统技术上实现困难， 一般类似于具有动力的机械鼠标
点的偏移使得侧向移动为零的约束不再成立，要求 通过一个等量而相反的转向运动进行平衡
cos( )
sin( ) d l sin R( ) I d 0
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Swedish轮
• 由固定标准轮和附在轮子周围的 转子组成 • 没有旋转垂直轴 • 相对于标准轮增加了一个自由度， 可以实现全方向的移动 滚动约束
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基于约束的运动学建模
1 2 1 I R( ) 0 1 2l 1 2 0 1 2l 0 J 2 1 . 0 0
基于作用的运动学建模
I R( ) 1 R
r1 r2 2 2 1 R ( ) 0 r1 r 2 2 l 2 l
转子的指定方向
sin( )
cos( ) (l )cos( ) R( ) I r cos 0
在接触点上，转子旋转所绕轴的速度分量为零
滑动约束 转子的转动是自由的，因此不存在侧向滑动约束 cos( ) sin( ) l sin( ) R( ) I r sin rswsw 0 通过变化 值，可以构造任意满足约束的期望运动向量
差动驱动机器人的运动学模型 13
轮子的运动学约束
• 假设
– 轮子的平面始终保持竖直，以及在所有情况下，轮子 和地面都只有一个接触点 – 轮子与地面在接触点上没有打滑，即轮子仅仅在纯转 动下运动，并通过接触点绕垂直轴旋转
• 轮子存在的约束
– 滚动约束，即轮子在相应方向发生运动时必须转动 – 无侧滑，即轮子不能在垂直于轮子平面的方向发生滑 动
C1s s R I 0
– 移动机器人的工作空间
• 工作空间的概念 • 完整性 • 路径和轨迹
– 运动控制
运动作用 运动约束
10
机器人位置表示
• 机器人：
– 刚体，忽略内部和轮子的关节和自由度 – 在水平面上运动，总维数为3
• 坐标系定义
– 平面全局坐标系
• 机器人姿态 I x, y,
T
– 机器人局部坐标系