第八章：CPLEX在ITS中应用
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运筹学中求解方法：
1.Dijkstra算法 它是用于解决非负权网络中寻找一个指定点到其他 点的最短路的最好方法。 基本思想是：采用标号法 2.PDM算法 能够解决有负权的网络 3.逐次逼近法 4.Floyd算法
4
优化数学模型的建立
分析
1.已知是什么？ 2.目标是什么？ 3.约束有哪些？ 4.决策变量应该如何选择？结合决策变量如何用 数学语言表示目标函数和约束条件？
11
模型文件(2)： int C[arcs]=...; //弧长或权重
dvar boolean x[arcs];//以每条弧的选择与否为决策变量 minimize sum(a in arcs) C[a]*x[a];//起始点 subject to{ sum(a in st_arcs)x[a]==1; forall(j in md_nod) sum(<k,j>in arcs:k!=j)x[<k,j>]-sum(<j,k>in arcs:k!=j)x[<j,k>]==0; //中间点的流入量与流出量相等 sum(a in en_arcs)x[a]==1;}
min Z= Wij X ij
i 1 j 1 n n
s.t.
X
j=2 n-1
n
1j
=1 =1
n
1
(2ຫໍສະໝຸດ Baidu =0 (k j,j 1, j n) (3)
9
X
j=1 n k=1
jn
X - X
kj k=1
jk
第三节、最短路问题在CPLEX中建模与求解
OPL模型构建时的几个关键性问题：
7
优化数学模型的建立
4.决策变量应该如何选择？结合决策变量如
何用数学语言表示目标函数和约束条件？
思路一：以每条路为决策变量，需要定义 每条路。（不推荐） 思路二：以每条弧是否选择为决策变量； 目标函数则令所有选择的弧长最小；约束 需要是所有选择的弧要连成一条路径。
8
优化数学模型的建立：
n：有n个节点；（其中1表示起点，n表示终点） Wij：弧ij的权重； Xij：决策变量弧ij选择与否，为1表示选择，为0表 示不选或者是不存在这条弧。
14
最短路问题延伸练习题： 1.最大流问题； 2.最小费用最大流问题（最小费用流问题）； 3.中国邮路问题；
15
补充几个问题： 1.设置问题； （解池） 2.后处理语言问题； （脚本日志输出）如： execute output{ for(var a in arcs) if(x[a]==1) writeln("x[",a,"]=",x[a]); }
CPLEX在ITS中的应用
一、智能交通中最短路问题的概述
最短路问题是网络理论解决的典型问题之一， 可用来解决配送路径选择、管路铺设、线路安装、 厂区布局和设备更新等实际问题。 定义：给定一个赋权有向图，即给了一个有向 图G=（V，A，W），对A中每一个弧aij =（vi， vj）相应地在W中有权w（aij）=wij，又给定G中 两个顶点vs，vt。设P是G中从vs到vt的一条路， 定义路P的权是P中所有弧的权之和，记为W（P）。 最短路问题就是要在所有从vs到vt的路中，求一 条权最小的路，即求一条从vs到vt的路P*，，使： W（P*）=min W（P），称P*是从vs到vt的最短路。
1
例1. 在纵横交错的公路网中，货车司机希 望找到一条从一个城市到另一个城市的最 短路。假设下面的图表示的是该公路网， 节点表示货车可以停靠的城市，弧上的权 表示两个城市之间的距离（百公里）。那 么，货车从城市A出发到达城市I，如何选 择行驶路线，使所经过的路程最短？
2
3
第二节、最短路问题的数学模型
16
3.作业要求： （1）问题的描述； （2）数学模型的建立； （3）计算机模型的建立及求解（模型文件，数据 文件代码，如果有设置文件需说明，并对求解的 结果进行一下说明）； （4）需要对小组成员的贡献进行一个排序。
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5
优化数学模型的建立
1.已知是什么？ 一个有向的网络图，具体来说就是： 节点：数量； 弧：节点到节点间的弧； 弧长：每条弧的弧长； 起始点； 目的点。
6
优化数学模型的建立
2. 目标是什么？ 目标：起点到终点的距离最短。 3.约束有哪些？ 需要找的从起点到终点的一条路。
12
数据文件：
nodes={A B C D E F G H I}; md_nod={B C D E F G H}; st_nod={A}; en_nod={I}; arcs={<A,B>,<A,C>,<A,D>,<B,E>,<B,F>,<C,E>,<C,F>,<D,E>,<D,F>,<E,G>,<E, H>,<F,G>,<F,H>,<G,I>,<H,I>}; st_arcs={<A,B>,<A,C>,<A,D>}; en_arcs={<G,I>,<H,I>}; C=[6,3,3,6,5,8,6,7,4,6,7,8,9,5,6];
弧如何表示？
（单独用字符串表示？如何与节点联系上？）
如何让节点和弧建立起联系？ 最后一个约束条件如何用OPL语言表示？
10
模型文件(1)： {string} nodes=...;//节点 {string} md_nod=...;//中间点 {string}st_nod=...;//起始点 {string}en_nod=...; //目的点 tuple Arc{string o; string d; } {Arc}arcs=...; //弧 {Arc}st_arcs=...; //起始弧 {Arc}en_arcs=...;//终止弧 assert forall(i in md_nod) i in nodes; assert forall(i in st_nod) i in nodes; assert forall(i in en_nod) i in nodes; assert forall(i in st_arcs) i in arcs; assert forall(i in en_arcs) i in arcs; assert forall(<i,j> in arcs) i in nodes; assert forall(<i,j> in arcs) j in nodes;
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求解结果为： // solution (all reachable solutions enumerated, integer optimal) with objective 20 x = [0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0]; 即选择了弧有： <"A" "D">、<"D" "F"> 、<"F" "G"> 、<"G" "I"> 因此行驶路径为：A-D-F-G-I，行驶路程为20（百 公里）
1.Dijkstra算法 它是用于解决非负权网络中寻找一个指定点到其他 点的最短路的最好方法。 基本思想是：采用标号法 2.PDM算法 能够解决有负权的网络 3.逐次逼近法 4.Floyd算法
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优化数学模型的建立
分析
1.已知是什么？ 2.目标是什么？ 3.约束有哪些？ 4.决策变量应该如何选择？结合决策变量如何用 数学语言表示目标函数和约束条件？
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模型文件(2)： int C[arcs]=...; //弧长或权重
dvar boolean x[arcs];//以每条弧的选择与否为决策变量 minimize sum(a in arcs) C[a]*x[a];//起始点 subject to{ sum(a in st_arcs)x[a]==1; forall(j in md_nod) sum(<k,j>in arcs:k!=j)x[<k,j>]-sum(<j,k>in arcs:k!=j)x[<j,k>]==0; //中间点的流入量与流出量相等 sum(a in en_arcs)x[a]==1;}
min Z= Wij X ij
i 1 j 1 n n
s.t.
X
j=2 n-1
n
1j
=1 =1
n
1
(2ຫໍສະໝຸດ Baidu =0 (k j,j 1, j n) (3)
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X
j=1 n k=1
jn
X - X
kj k=1
jk
第三节、最短路问题在CPLEX中建模与求解
OPL模型构建时的几个关键性问题：
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优化数学模型的建立
4.决策变量应该如何选择？结合决策变量如
何用数学语言表示目标函数和约束条件？
思路一：以每条路为决策变量，需要定义 每条路。（不推荐） 思路二：以每条弧是否选择为决策变量； 目标函数则令所有选择的弧长最小；约束 需要是所有选择的弧要连成一条路径。
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优化数学模型的建立：
n：有n个节点；（其中1表示起点，n表示终点） Wij：弧ij的权重； Xij：决策变量弧ij选择与否，为1表示选择，为0表 示不选或者是不存在这条弧。
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最短路问题延伸练习题： 1.最大流问题； 2.最小费用最大流问题（最小费用流问题）； 3.中国邮路问题；
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补充几个问题： 1.设置问题； （解池） 2.后处理语言问题； （脚本日志输出）如： execute output{ for(var a in arcs) if(x[a]==1) writeln("x[",a,"]=",x[a]); }
CPLEX在ITS中的应用
一、智能交通中最短路问题的概述
最短路问题是网络理论解决的典型问题之一， 可用来解决配送路径选择、管路铺设、线路安装、 厂区布局和设备更新等实际问题。 定义：给定一个赋权有向图，即给了一个有向 图G=（V，A，W），对A中每一个弧aij =（vi， vj）相应地在W中有权w（aij）=wij，又给定G中 两个顶点vs，vt。设P是G中从vs到vt的一条路， 定义路P的权是P中所有弧的权之和，记为W（P）。 最短路问题就是要在所有从vs到vt的路中，求一 条权最小的路，即求一条从vs到vt的路P*，，使： W（P*）=min W（P），称P*是从vs到vt的最短路。
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例1. 在纵横交错的公路网中，货车司机希 望找到一条从一个城市到另一个城市的最 短路。假设下面的图表示的是该公路网， 节点表示货车可以停靠的城市，弧上的权 表示两个城市之间的距离（百公里）。那 么，货车从城市A出发到达城市I，如何选 择行驶路线，使所经过的路程最短？
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第二节、最短路问题的数学模型
16
3.作业要求： （1）问题的描述； （2）数学模型的建立； （3）计算机模型的建立及求解（模型文件，数据 文件代码，如果有设置文件需说明，并对求解的 结果进行一下说明）； （4）需要对小组成员的贡献进行一个排序。
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优化数学模型的建立
1.已知是什么？ 一个有向的网络图，具体来说就是： 节点：数量； 弧：节点到节点间的弧； 弧长：每条弧的弧长； 起始点； 目的点。
6
优化数学模型的建立
2. 目标是什么？ 目标：起点到终点的距离最短。 3.约束有哪些？ 需要找的从起点到终点的一条路。
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数据文件：
nodes={A B C D E F G H I}; md_nod={B C D E F G H}; st_nod={A}; en_nod={I}; arcs={<A,B>,<A,C>,<A,D>,<B,E>,<B,F>,<C,E>,<C,F>,<D,E>,<D,F>,<E,G>,<E, H>,<F,G>,<F,H>,<G,I>,<H,I>}; st_arcs={<A,B>,<A,C>,<A,D>}; en_arcs={<G,I>,<H,I>}; C=[6,3,3,6,5,8,6,7,4,6,7,8,9,5,6];
弧如何表示？
（单独用字符串表示？如何与节点联系上？）
如何让节点和弧建立起联系？ 最后一个约束条件如何用OPL语言表示？
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模型文件(1)： {string} nodes=...;//节点 {string} md_nod=...;//中间点 {string}st_nod=...;//起始点 {string}en_nod=...; //目的点 tuple Arc{string o; string d; } {Arc}arcs=...; //弧 {Arc}st_arcs=...; //起始弧 {Arc}en_arcs=...;//终止弧 assert forall(i in md_nod) i in nodes; assert forall(i in st_nod) i in nodes; assert forall(i in en_nod) i in nodes; assert forall(i in st_arcs) i in arcs; assert forall(i in en_arcs) i in arcs; assert forall(<i,j> in arcs) i in nodes; assert forall(<i,j> in arcs) j in nodes;
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求解结果为： // solution (all reachable solutions enumerated, integer optimal) with objective 20 x = [0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0]; 即选择了弧有： <"A" "D">、<"D" "F"> 、<"F" "G"> 、<"G" "I"> 因此行驶路径为：A-D-F-G-I，行驶路程为20（百 公里）