复利及年金计算方法公式1

复利终值与现值

由于利息的因素，货币是有时间价值的，从经济学的观点来看，即使不考虑通胀的因素，货币在不同时间的价值也是不一样的；今天的１万元，与一年后的１万元，其价值是不相等的。例如，今天的１万元存入银行，定期一年，年利１０％，一年后银行付给本利共１．１万元，其中有０．１万元为利息，它就是货币的时间价值。货币的时间价值有两种表现形式。一是绝对数，即利息；一是相对数，即利率。

存放款开始的本金，又叫“现值”，如上例中的１万元就是现值；若干时间后的本金加利息，叫“本利和”，又叫“终值”，如上例的１．１万元就是终值。

利息又有单利、复利之分。单利的利息不转为本金；复利则是利息转为本金又参加计息，俗称“利滚利”。

设ＰＶ为本金（复利现值） ｉ为利率 ｎ为时间（期数） Ｓ为本利和（复利终值）

则计算公式如下：

１．求复利终值

Ｓ＝ＰＶ（１＋ｉ）＾n （１）

２．求复利现值

ＰＶ＝Ｓ／（１＋ｉ）＾n （２）

显然，终值与现值互为倒数。

公式中的（１＋ｉ）＾n 和１／（１＋ｉ）＾n 又分别叫“复利终值系数”、“复利现值系数”。可分别用符号“Ｓ（ｎ，ｉ）”、“ＰＶ（ｎ，ｉ）”表示，这些系数既可以通过公式求得，也可以查表求得。

例１、本金３万元，年复利６％，期限３年，求到期的本利和（求复利终值）。

解:Ｓ＝ＰＶ（１＋ｉ）＾n

这（１＋ｉ）＾n 可通过计算，亦可查表求得，

查表，（１＋６％）＾3＝１．１９１

所以 Ｓ＝３万×１．１９１＝３．５７３万元（终值）

例２、５年后需款３０００万元，若年复利１０％，问现在应一次存入银行多少？（求复利现值）

解：ＰＶ＝Ｓ×１／（１＋ｉ）＾n＝３０００万×１／（１＋１０％）＾5查表，１／（１＋１０％）＾5＝０．６２１

所以，Ｓ＝３０００万×０．６２１＝１８６３万元（现值）

普通年金的计算公式

普通年金终值：F=A[（1+i）^n-1]/i 或：A（F/A，i，n）普通年金现值：P=A{[1-(1+i)^-n]/i} 或：A（P/A，i，n）

例3　每年存入银行２万元，年复利８％，５年，问折现值多少？

解：A＝２万元，ｉ＝８％，ｎ＝５，求Ｐ

Ｐ＝A{[1-(1+i)^-n]/i}＝２万×［１－（１＋８％）^－５］／８％查表，［１－（１＋８％）^－５］／８％＝３．９９３

Ｐ＝２万×３．９９３＝７．９８６万元

投资回收额：A=P/{[1-(1+i)^-n]/i}或：P（A/P，i，n）

是普通年金现值的逆运算,是已知年金现值，求年金。

年金现值系数的倒数为投资回收系数。

例4　现有３０万元，一次存入银行，分５年取出，年复利１２％，问每年末可取多少？

解：这是由现值倒求年金。

Ｐ＝３０万，ｉ＝１２％，ｎ＝５，求A。

A=P/{[1-(1+i)^-n]/i}＝３０万/［１－（１＋12％）^－５］／12％查表，［１－（１＋12％）^－５］／12％＝３．６０５

A＝３０万／３．６０５＝８．３２１８万元

即付年金计算公式

即付年金是指从第一期起，在一定时期内每期期初等额收付的系列款项，又称先付年金。即付年金与普通年金的区别仅在于付款时间的不同。

普通年金的计算公式

普通年金终值：F=A[（1+i）^n-1]/i 或：A（F/A，i，n）

普通年金现值：P=A{[1-(1+i)^-n]/i} 或：A（P/A，i，n）

即付年金的计算公式

即付年金终值：F=A{（1+i）^（n+1）-1]/i} 或：A[（F/A，i，n+1）-1]

即付年金现值：P=A{[1-(1+i)^-（n+1）]/i+1} 或：A[（P/A，i，n-1）+1] 例: 即付年金与普通年金的换算

一般的年金表，都是普通年金。若遇期初收付款的即付年金，则需用手工作繁琐的计算，不过也可通过普通年金换算求出。换算公式为：

ＰＡ（ｎ，ｉ）＝ＰＡ（ｎ－１，ｉ）＋1　即：期数减1，系数加1　例：即付年金每期１元，５期，年复利８％，求现值。

即付年金现值系数＝{[1-(1+i)^-（n－1）]/i+1}

按ＰＡ初（５，８％）代入，

ＰＡ（５，８％）＝［［１－（１＋８％）^-（5－1）／８％］+1］

＝４．３１２

改按普通年金计算为：

ＰＡ（４，８％），查表ＰＡ（４，８％）＝３．３１２

则３．３１２+1＝４．３１２

两者结果相同，故换算公式成立。

递延年金计算公式

递延年金是指第一次收付款发生时间与第一期无关，而是隔若干期（m）后才开始发生的系列等额收付款项。它是普通年金的特殊形式。

递延年金现值：

第一种方法：P=A{[1-(1+i)^-n]/i-[1-(1+i)^-s]/i}

或：A[（P/A，i，n）-（P/A，i，s）]

第二种方法：P=A{[1-(1+i)^-(n-s)]/i*[（1+i）^-s]}

或：A[（P/A，i，n-s）*（P/F，i，s）]

如何确定递延年金现值计算公式中的期数n和s的数值？

（一）首先讲一下n的数值的确定：

“n”的数值就是递延年金中最后一次收付距离第一年年初的间隔期数。

举例如下：

（1）如果某递延年金是从第4年起，每年年初发生，直至第8年年初为止，由于从第一年初到第八年初共计间隔7年，所以，n=7

（2）如果某递延年金是从第4年起，每年年末发生，直至第8年年末为止，由于从第一年初到第八年年末共计间隔8年，所以，n=8

（3）如果某递延年金是从第4年起，每半年年初发生，直至第8年年初为止，由于从第一年初到第八年初共计间隔7年，而此时是“半年为一期”，所以，n=7×2＝14（4）如果某递延年金是从第4年起，每半年年末发生，直至第8年年末为止，由于从第一年初到第八年年末共计间隔8年，而此时是“半年为一期”，所以，

n=8×2＝16

（二）下面介绍一下递延期间s的确定方法：

（1）首先搞清楚该递延年金的第一次收付发生在第几期末（假设为第m期末）；（2）然后根据（m-1）的数值即可确定递延期间s的数值；

在确定“该递延年金的第一次收付发生在第几期末”时，应该记住“上一期的期末就是下一期的期初”下面举例说明：

（1）假如某递延年金为从第4年开始，每年年末支付A元，则由于第一次收付发生在第四年末，即第四期末，所以，递延期间为：4－1＝3；