绕斜轴旋转体的体积与面积分析

５．结论 社会的发展日新月异，训练方法和手段也在日益更新，如何强化教 练员的职责和提高教练员的素质，应是一个不断探讨的问题。北京申
办奥运已成功， 中国要在众强国中脱颖而出， 离不开广大教练员的辛
勤工作。因此， 教练员应不断加强自身的素质建设， 这对我国体育事业 加 速 发 展 具 有 深 远 的 意 义 。科
π
１６
０
% ２ １５
$ $ ２
２
Ｓ＝２π ０
ｙ－ ｘ
ｄｘ＝２π ０
２
ｘ －ｘ
ｄｘ
$ $ ＝２π
１
２
（ｘ－ ｘ ）ｄｘ＋２π
２
２
（ｘ
－
百度文库
ｘ）ｄｘ＝
５π
０
０
３
按上题的解题思路， 能否推导得到求一般曲线关于斜轴旋转而成
的旋转体体积和侧面积公式呢？ 答案是肯定的， 现假设如下：
设 函 数 ｙ＝ｆ（ｘ）在［ｘ１，ｘ２］上 有 连 续 导 数 ， 那 么 由 曲 线 ｙ＝ｆ（ｘ）及 直 线 ｙ＝
作者简介： 崔萍（ １９８２—） ， 女．山东青岛人， 苏州大学 ０５ 级研究生； 研究方向 为国际关系
［ 责任编辑： 张新雷］
●
（ 上接第 ２４０ 页） 就是学生探求新知、获得创新能力的成功之时。 ５．自我超越法。创造的枷锁主要来自思维上的， 如从众心态， 迷信
的距离 ｄ＝ ＭＭ＇ ＝ ｙ－ ｘ ／ " ２
由此可得旋转体微元体积： ｄＶ＝πｄ２ｄｌ＝
π
２
（ｙ－ ｘ） ｄｘ
"２
及侧面积微元： ｄＳ＝２πｄｄｌ＝２π ｙ－ ｘ ｄｘ
又由计算得知 的取值区间为［０， ２］， 所以此旋转体体积：
# $ Ｖ＝ π "２
２
２
（ｙ－ ｘ） ｄｘ＝
π
０
"２
２２
２
（ｘ － ｘ） ｄｘ＝
则图形 ＡＤＢＡ 绕 直 线 ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）旋 转 而
成的立体体积 Ｖ 可按照分割原则， 也就是
说 通 过 分 割 ， Ｖ 可 以 表 示 为 ＣＤＢＣ 图 形 绕
直 线 旋 转 所 成 立 体 体 积 Ｖ１ 减 去 ＣＤＡＣ 图 形绕直线旋转所成立体体积 Ｖ２， 即 Ｖ＝Ｖ１－ Ｖ２。
例 ２： 求 由 曲 线 ｙ＝－ ｘ２－ ３ｘ＋６ 和 直 线 ｘ＋
人的社会性质决定了人际关系是多方位、多层次、多通路的， 也就 是说， 人际关系是一种开放性的多维网络结构。作为运动训练过程中 起主导作用的教练员来说， 其工作性质和特点要求他尤其要加强和领 导 、同 行 、运 动 员 、科 研 人 员 等 一 切 与 之 有 关 系 的 人 和 单 位 之 间 的 交 往 与合作， 以此来促进和保证训练工作的顺利进行和取得成功。
● 【参 考 文 献 】
［ １］ 魏亚栋， 安红．我国教练员个性及其表现特征探讨［Ｊ］天津体育学院学报，１９９５， （０３）． ［ ２］ 鲁长芬，罗小兵．教练员素质结构的心理学研究（综 述）［Ｊ］山 东 体 育 学 院 学 报 ， ２００２，（０２）． ［ ３］ 张崇民．青少年足球教练员的智能结构及其培养［Ｊ］体育函授通讯，２００１，（０１）． ［ ４］ 丁俊武，周志俊．教练员威信的维护与发展［Ｊ］安徽体育科技，２００１，（０４）． ［ ５］ 罗普磷，崔文惠，张彩琴，王桂英．我国竞技体育人才交流现状的初步研究［Ｊ］西 安 体 育 学 院 学 报 ，２０００，（０３）． ［ ６］ 胡红．运动员对教练员印象的形成机制［Ｊ］成都体育学院学报，１９９３，（０３）．
ｋｘ＋ｂ
（ｂ≠０）、ｙ＝－
１ ｋ
ｘ＋ｂ１ 、ｙ＝－
１ ｋ
ｘ＋ｂ２（ｂ１＜ｂ２）所围曲边梯形 Ｄ
绕 直 线 ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｂ≠０）旋 转 所
成立体的体 积 为 Ｖ， 侧 面 积 为
Ｓ。现按照上述方法， 求此旋转
体体积 Ｖ 和侧面积 Ｓ。
作图如右（ 见图 ２） ：
设曲线 ｙ＝ｆ（ｘ）上任意一点
Ｍ（ ｘ，ｙ） ，过点 Ｍ 做 曲 线 的 切 线
［ 责任编辑： 韩铭］
●
（ 上接第 ２３１ 页） 初期的企业没什么两样了， 而且还会影响行业形象。
【参 考 文 献 】
４．经 济 转 型 时 期 的 社 会 发 展 所 带 来 得 的 贫 困 问 题 ， 需 要 由 企 业 、 ［ １］ Ｔｈｅ Ｐａｓｔ Ａｌｌ Ａｒｏｕｎｄ Ｕｓ． Ｐｕｂｌｉｓｈｅｄ ｂｙ ｔｈｅ Ｒｅａｄｅｒ’ｓ Ｄｉｇｅｓｔ Ａｓｓｏｃｉａｔｉｏｎ
［ 责任编辑： 翟成梁］
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●
（ 上接第 ２１２ 页） 佛陀逝世后一千六百余年中， 印度佛教在组织 上和思想上经过分化、发展和衰落的过程， 最后消灭于公元十二世纪。 它的衰落是一系列内外因素综合为作用的结果。科
［ ５］ 王树英．宗教与印度社会．北京．中国华侨出版社．１９９５．９８． ［ ６］ 转引自黄心川．印度哲学史［Ｍ］．北京．商务印书馆．１９８９．２６２—２６３． ［ ７］ 渥德尔．印度佛教史．［Ｍ］北京．商务印书馆．１９８７．４３２—４８０． ［ ８］ 同［３］， 第 ６３ 页．
４．５ 人际交往能力 要成为一名出色的运动员， 出色的完成自己 的本职工作， 除 了 要 掌 握 本 专 业 的 基 本 知 识 、基 本 技 能 和 科 学 的 训 练 手 段 、方 法 以 外 ， 还 要 懂 得 一 些 人 际 交 往 之 道 ， 学 会 与 他 人 融 洽 的 相 处， 正确的处理好各种人际关系。从而使自己经常地处于良好的人际 关系之中， 在和谐友好的氛围里进行积极的工作， 以此来提高工作效 率， 增加生活乐趣， 较成功地实现自己所期望达到的目标。
科技信息
○高校讲台○
ＳＣＩＥＮＣＥ ＆ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ
２００７ 年 第 ３２ 期
绕斜轴旋转体的体积与面积分析
李春林 （ 常州工程职业技术学院 江苏 常州 ２１３０００）
【摘 要】在高等数学中， 计算平面图形绕 Ｘ 轴或 Ｙ 轴旋转而成的立体体积、面积公式已经被大家所熟知， 而本 文 主 要 介 绍 的 是 应 用 高 等 数学中的元素法， 解决高等数学中的一些例题， 并得出绕斜轴旋转而成的立体的体积和侧面积计算公式， 从而大大的方便了求各类旋转体的体 积和面积。
【参 考 文 献 】 ［ １］ 孙士海．印度的对外战略思想及核政策［Ｊ］．人大复印资料．国际政治．２０００．１５３． ［ ２］ 梁启超、陈引驰．佛学研究十八篇［Ｍ］．沈阳．辽宁教育出版社．１９９８．３１． ［ ３］ 陈佛松．世界文化概要［Ｍ］．华中科技大学出版社．２００２． ［ ４］ 尚 会 鹏 ．印 度 文 化 传 统 研 究 ———比 较 文 化 的 视 野 ［Ｍ］．北 京 ．北 京 大 学 出 版 ． ２００４．６１．
求体积， 对于此种方法不可谓不行， 但实际使用过程中， 往往都会十分
困难。而下文将通过具体例题， 用课本上介绍的元素法来推导出一个
普遍适用的绕斜轴旋转而成的立体的体积和侧面积公式。
例题 １： 求直线 ｆ（ｘ）＝ １
２
ｘ 与 ｙ＝ｘ 所围图形绕 ｙ＝ｘ 旋转所成 立 体 的
２
体积及侧面积。
解 ： 如 图 １ 所 示 ， 设 点 Ｍ（ ｘ，
社会各界和先富裕起来的富人共同承担起相应的救助责任和义务， 提 Ｌｉｍｉｔｅｄ． Ｐｒｉｎｔｅｄ ｉｎ Ｇｒｅａｔ Ｂｒｉｔａｉｎ．１９７９．
升在整个社会的道德观念和社会责任意识， 切实履行社会义务。
［ ２］ 张奎武．Ｓｕｒｖｅｙ ｏｆ Ｂｒｉｔａｉｎ ａｎｄ Ａｍｅｒｉｃａ．吉林科学技术出版社 １９９４ 年 ９ 月．
ｄｋ， 则
ｄｌ＝ １
& ｘ＋ｄｘ ’ ＋ｋ ( ｆ９ｘ）＋ｆ＇ （ｘ）ｄｘ ) － ( ｘ＋ｋｆ（ｘ）*＝ １＋ｋｆ＇ （ｘ） ｄｘ
"１＋ｋ２
%１＋ｋ２
而点 Ｍ 到直线 Ｌ 的距离为 ｄ＝ ｆ（ｘ）－ ｋｘ－ ｂ
%１＋ｋ２
从而： ｄＶ＝πｄ２·ｄｌ＝
π
２ ３／２
+ ｆ（ｘ）－ ｋｘ－ ｂ
２
*１＋ｋｆ＇ （ｘ）
ｙ－ ３＝０ 所围图形绕直线 ｘ＋ｙ－ ３＝０ 旋转所成立体的体积（ 见图 ４） 。
解： 如图所示曲线上切线垂直
于 直 线 Ｌ 的 点 为 Ｅ（ｘ０，ｙ０）， 由 于 曲 线 ＣＥＢ 与 Ｌ 的 垂 线 有 多 余 一 个 的 交
点， 故有必要分段计算， 通过分割，
所 求 旋 转 体 的 体 积 Ｖ 等 于 ＡＶＥＦＡ
［ 责任编辑： 翟成梁］
●
（ 上接第 ２１７ 页） 所以
# Ｖ＝ π "２
１
２
２
ｘ＋２ （ｘ ＋２ｘ－ ３） ｄｘ－
π
－２
"２
＝ ２５６ % ２ １５
π科
$－ ２
２
２
ｘ＋２ （ｘ ＋２ｘ－ ３） ｄｘ
－３
【参 考 文 献 】
［ １］ 许 志 成 ， 赵 迁 贵．应 用 定 积 分 元 素 法 求 旋 转 体 体 积．工 程 数 学 ， １９８４ （ ４） ． ［ ２］ 曾 庆 黎．弓 形 区 域 绕 直 线 ｙ＝ｋｘ 旋 转 所 生 成 立 体 的 体 积．数 学 通 报 ， １９９４（ ９） ．
为 ＭＴ： Ｙ＝ｆ（ｘ）＋ｆ＇ （ｘ）（Ｘ－ ｘ）
过点 Ｍ 做直线 Ｌ： ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｂ≠０）的垂线为
ＭＭ＇ ： ＫＹ＊＋Ｘ＊－ ［ｘ＋ｋｆ（ｘ）］＝０
应用定积分的微元法， 考虑子区间［ｘ，ｘ＋ｄｘ］。设该子区间上的相应
弧段在直线 Ｌ 上的投影长为 ｄｌ， 则当该子区间的长充分小的时候， 取
曲 线 ＭＴ 上 对 应 于 右 端 点 Ｎ（ ｘ＋ｄｘ，ｆ（ｘ）＋ｆ＇ （ｘ）ｄｘ） 到 垂 线 ＭＭ＇ 的 距 离 为
决更一般的问题， 还需要可通过对区域 Ｄ 的边界分段计算之。
举例说明如下：
求 函 数 ｆ（ｘ）与 直 线 ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）所 围 图 形 ＡＤＢＡ（ 见 图 ３） 绕 直 线
旋转而成的立体体积。（ 限于篇幅对此类旋转体的侧面积的计算留待
后文分析）
分析如下：
曲 线 上 切 线 垂 直 于 直 线 Ｌ 的 点 为 Ｄ，
$ Ｓ＝２
π
２
（１＋ｋ ）
ｘ２
ｆ（ｘ）－ ｋｘ－ ｂ · １＋ｋｆ＇ （ｘ） ｄｘ
ｘ１
（ ４）
说明： 从上述推导过程可以看出， （ ３） ， （ ４） 两个公式只适用于曲边
梯形 Ｄ 的边界与直线 Ｌ 的任一垂线只有一个交点的情况， 若 Ｄ 的边
界与 Ｌ 的垂线有多余一个的交点时， 似乎此公式就要失效， 所以要解
ｙ）
为曲线 ｆ
（ｘ）＝ １
２
ｘ 上任意一
２
点， 曲线在 Ｍ 点处的切线为
Ｌ： Ｙ＝ｘ（Ｘ－ ｘ）＋ｆ（ｘ）， 过点 Ｍ 作 直 线 ｙ＝ｘ 的 垂 线 ＭＭ＇ ： Ｙ＊－ ｆ （ｘ）＋ （Ｘ＊－ ｘ）＝０
现应用定积分的元素法， 考
虑 子 区 间［ｘ，ｘ＋ｄｘ］。 设 相 应 于 区
间［ｘ，ｘ＋ｄｘ］的曲线弧段在直线 ｙ＝
【关键词】绕斜轴旋转体； 微元法； 体积与面积； 公式
在高等数学中， 平面图形绕 Ｘ 轴或 Ｙ 轴旋转而成的立体的体积
计算早已经解决， 但对于平面图形绕任一直线 ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）旋 转 所 成
立体的体积与侧面积如何计算却没有讨论。而对于该问题， 通常是通
过平移、旋转坐标轴， 求出曲线在新坐标系下的方程， 再绕新轴旋转去
５．救 助 贫 困 ， 但 要 防 止 寄 生 现 象 和 好 逸 恶 劳 现 象 的 出 现 和 蔓 延 ， 同时， 对不诚实和欺骗行为要有预防措施和惩戒措施。形成完整的社 会救助及保障体系。
作者简介： 邵俭春（ １９６３—） ， 男， 白城师范学院外语系讲师， 研究方向： 英语 语言文化研究。
６．防止因贫富分化导致社会阶层的分化和对立， 应当把 社 会 救 助 看 成 是 缩 小 贫 富 差 距 的 内 容 和 措 施 之 一 。科
ｘ 上 的 投 影 长 为 ｄｌ， 则 当 子 区 间
的长充分小的时候， 取切线 Ｌ 上
对应于右端点 ｘ＋ｄｘ 的点 Ｎ（ｘ＋ｄｘ，ｆ（ｘ）＋ｘｄｘ）到垂线 ＭＭ＇ 距离 Ｍ＇ Ｎ＇ 为 ｄｌ，
则 ｄｌ＝ ｆ（ｘ）＋ｘｄｘ－ ｆ（ｘ）＋ｘ＋ｄｘ－ ｘ
／
"１２
２
＋１
＝"２
ｄｘ，
点 Ｍ 到 直 线 ｙ＝ｘ 上
ｄｘ
（ １）
（１＋ｋ ）
ｄＳ＝２πｄ·ｄｌ＝２
π
２
ｆ（ｘ）－ ｋｘ－ ｂ · １＋ｋｆ＇ （ｘ） ｄｘ
（ ２）
（１＋ｋ ）
所以曲边梯形饶直线 Ｌ： ｙ＝ｋｘ＋ｂ 旋转所成立体的体积为：
$ Ｖ＝
π
２ ３／２
（１＋ｋ ）
ｘ２
２
( ｆ（ｘ）－ ｋｘ－ ｂ *· １＋ｋｆ＇ （ｘ） ｄｘ
ｘ１
（ ３）
侧面积为：
所围图形绕 Ｌ 旋转所成立体的体
积 减 去 ＥＦＢＥ 所 围 图 形 绕 Ｌ 旋 转
所成立体的体积。
因为 ＥＦ 垂直于 Ｌ， 知 ｙ＇ ｜ｘ＝ｘ０ ＝１，
得 ｘ０＝－ ２
（ 下转第 ２４３ 页）
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