北师大版九年级数学上册 第四章 相似三角形培优专题 (含答案)
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9．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC＝6，BD＝8，P是对角线BD上任意一点，过点P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E、F.设BP＝x，EF＝y，则能大致表示y与x之间关系的图象为( )
A． B．
C． D．
10．如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，AE与BD交于点P，F是CD上的一点，连接AF分别交BD，DE于点M，N，且AF⊥DE，连接PN，则下列结论中:
A．1B． C．2D．4
5．如图，在等腰三角形 中， ，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1， 的面积为42，则四边形DBCE的面积是（）
A．20B．22C．24D．26
6．如图，矩形 中， 与 相交于点 ， ，将 沿 折叠，点 的对应点为 ，连接 交 于点 ，且 ，在 边上有一点 ，使得 的值最小，此时 （）
17．如图，平面直角坐标系中，矩形 的边 分别在 轴， 轴上， 点的坐标为 ，点 在矩形 的内部，点 在 边上，满足 ∽ ，当 是等腰三角形时， 点坐标为_____．
18．如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB＝5，CF＝2，则线段EP的长是_____．
【详解】
证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴ ， ， ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，故①正确；
②在EF上取一点G，使 ，连结CG，
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ 是等边三角形．
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，故②正确；
③过D作 交于M，
根据勾股定理求出 ，
【详解】
解：设 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C.
【点睛】
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型.
3．A
【解析】
【分析】
①由正方形的性质可以得出AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，通过证明△ABE≌△ADE，就可以得出BE=DE；
A．1个B．2个C．3个D．4个
14．如图，在 中，点 为 边上的一点，且 ， ，过点 作 ， 交 于点 ，若 ，则 的面积为( )
A． B． C． D．
二、填空题
15．如图，在等腰 中， ， ，点 在边 上， ，点 在边 上， ，垂足为 ，则 长为_____．
16．如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6. P为对角线BD上一点，则PM—PN的最大值为___.
∴AE：AB=1：3，CF：CD=1：3，
又∵G、H分别是AC的三等分点，
∴AG：AC=CH：AC=1：3，
∴AE：AB=AG：AC，CF：CD=CH：CA，
∴EG//BC，FH//AD，
∴△AEG∽△ABC，△CFH∽△CDA，BM：AB=CF：CD=1：3，∠EMH=∠B，
∴EG：BC=AE：AB=1：3，HF：AD=CF：CD=1：3，
4．C
【解析】
【分析】
如图，延长FH交AB于点M，由BE＝2AE，DF＝2FC，G、H分别是AC的三等分点，证明EG//BC，FH//AD，进而证明△AEG∽△ABC，△CFH∽△CAD，进而证明四边形EHFG为平行四边形，再根据平行四边形的面积公式求解即可.
【详解】
如图，延长FH交AB于点M，
∵BE＝2AE，DF＝2FC，AB=AE+BE，CD=CF+DF，
∴H（1，0），
∴BH= =4，
∴ = ．
故选：B．
【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，解直角三角形，等边三角形、垂直平分线、相似三角形的判定与性质，待定系数法求直线的解析式，轴对称-最短路线问题，两点间的距离公式等知识．综合性较强，有一定难度．分别求出BH、CF的长是解题的关键．
A． B． C． D．
7．如图，在平行四边形 中， 为 的中点， ， 交于点 ，若随机向平行四边形 内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知 是线段 上的一个动点，连接 ，过点 作 交 轴于点 ，若点 在直线 上，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
19．如图， 和 都是等边三角形，且点A、C、E在同一直线上， 与 、 分别交于点F、M， 与 交于点N．下列结论正确的是_______（写出所有正确结论的序号）．
① ；② ；③ ；④
20．如图，正方形ABCD中， ，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作 ，交CD于点Q，则CQ的最大值为_______．
②在EF上取一点G，使EG=EC，连结CG，再通过条件证明△DEC≌△FGC就可以得出CE+DE=EF；
③过B作BM⊥AC交于M，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式即可求出高DM，根据三角形的面积公式即可求得 ；
④解直角三角形求得DE，根据等边三角形性质得到CG=CE，然后通过证得△DEH∽△CGH，求得 ．
① ；② ；③tan∠EAF= ；④ 正确的是（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
11．如图，在正方形 中，点 是对角线 的交点，过点 作射线分别交 于点 ，且 ，交 于点 ．给出下列结论： ; C； 四边形 的面积为正方形 面积的 ； ．其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在 中，D在AC边上， ，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则 （）
7．B
【解析】
【分析】
根据E为BC的中点，可得 ，根据边长的比值即可计算出图阴影部分的面积与平行四边形面积的比值，由此即可求得答案.
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//AD，BC=AD，
∴△BOE∽△DOA，
∴
又∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴米粒落在图中阴影部分的概率为 ，
6．B
【解析】
【分析】
设BD与AF交于点M．设AB=a，AD= a，根据矩形的性质可得△ABE、△CDE都是等边三角形，利用折叠的性质得到BM垂直平分AF，BF=AB=a，DF=DA= a．解直角△BGM，求出BM，再表示DM，由△ADM∽△GBM，求出a=2 ，再证明CF=CD=2 ．作B点关于AD的对称点B′，连接B′E，设B′E与AD交于点H，则此时BH+EH=B′E，值最小．建立平面直角坐标系，得出B（3，2 ），B′（3，-2 ），E（0， ），利用待定系数法求出直线B′E的解析式，得到H（1，0），然后利用两点间的距离公式求出BH=4，进而求出 = ．
故选B．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，几何概率，熟练掌握相关知识是解题的关键.
8．A
【解析】
【分析】
当点M在AB上运动时，MN⊥MC交y轴于点N，此时点N在y轴的负半轴移动，定有△AMC∽△NBM；只要求出ON的最小值，也就是BN最大值时，就能确定点N的坐标，而直线y=kx+b与y轴交于点N（0，b），此时b的值最大，因此根据相似三角形的对应边成比例，设未知数构造二次函数，通过求二次函数的最值得以解决．
5．D
【解析】
【分析】
利用 得到 ，所以 则 ，解得 ，从而得到 ，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE的面积．
【详解】
如图，
根据题意得 ，
∴
wk.baidu.com设 ，则 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴四边形DBCE的面积 ．
故选D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质．
由面积公式得： ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴
∴ ，故③正确；
④在 中， ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④错误；
综上，正确的结论有①②③，
故选A．
【点睛】
本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行证明是解此题的关键．
A． B． C． D．5
3．如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E．使得 ，连接BE并延长BE到F，使 ，BF与CD相交于点H，若 ，有下列结论：① ；② ；③ ；④ ．则其中正确的结论有（）
A．①②③B．①②③④C．①②④D．①③④
4．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，若点E，F分别在AB,CD上，且BE=2AE，DF=2FC，G，H分别是AC的三等分点，则四边形EHFG的面积为（）
【详解】
如图，设BD与AF交于点M．设AB=a，AD= a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，tan∠ABD= ，
∴BD=AC= =2a，∠ABD=60°，
∴△ABE、△CDE都是等边三角形，
∴BE=DE=AE=CE=AB=CD=a，
∵将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，
∴BM垂直平分AF，BF=AB=a，DF=DA= a，
∴△ADF是等边三角形，
∵AC平分∠DAF，
∴AC垂直平分DF，
∴CF=CD=2 ，
作B点关于AD的对称点B′，连接B′E，设B′E与AD交于点H，则此时BH+EH=B′E，值最小．
如图，建立平面直角坐标系，
则A（3，0），B（3，2 ），B′（3，-2 ），E（0， ），
易求直线B′E的解析式为y=- x+ ，
【详解】
∵点 的坐标是 ，
∴ ，
∵点 在直线 上，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
得出 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
故选D．
【点睛】
本题主要考查了如何根据一次函数的解析式和点的坐标求线段的长度，以及如何根据线段的长度求出点的坐标，解题时要注意相关知识的综合应用．
2．C
【解析】
【分析】
设 ， ，所以 ，易证 ，利用相似三角形的性质可求出 的长度，以及 ，再证明 ，利用相似三角形的性质即可求出得出 ，从而可求出 的长度.
∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=6，
∴CD=AB=3，AD=BC=6，∠B=90°，
∴AE=1，EG=2，CF=1，HF=2，BM=1，
∴EM=3-1-1=1，EG=FH，
∴EG FH，
∴四边形EHFG为平行四边形，
∴S四边形EHFG＝2×1=2，
故选C.
【点睛】
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握和灵活运用相关内容是解题的关键.
在△BGM中，∵∠BMG=90°，∠GBM=30°，BG=2，
∴GM= BG=1，BM= GM= ，
∴DM=BD-BM=2a- ，
∵矩形ABCD中，BC∥AD，
∴△ADM∽△GBM，
∴ ，即 ，
∴a=2 ，
∴BE=DE=AE=CE=AB=CD=2 ，AD=BC=6，BD=AC=4 ，
易证∠BAF=∠FAC=∠CAD=∠ADB=∠BDF=∠CDF=30°，
21．七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”.由边长为 的正方形 可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形 内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型(其中点 分别与图2中的点 重合，点 在边 上)，则“拼搏兔”所在正方形 的边长是_____.
22．如图， 的对角线 交于点 ， 平分 交 于点 ，交 于点 ，且 ，连接 ．下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的结论有__________（填写所有正确结论的序号）
23．如图，正方形纸片 的边长为12， 是边 上一点，连接 ．折叠该纸片，使点 落在 上的 点，并使折痕经过点 ，得到折痕 ，点 在 上．若 ，则 的长为__________．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
本题需先求出OA1和OA2的长，再根据题意得出OAn=2n，把纵坐标代入解析式求得横坐标，然后根据三角形相似的性质即可求得S100．
北师大版九年级上册
一、单选题
1．如图，过点 作y轴的垂线交直线 于点 ，过点 作直线l的垂线，交y轴于点 ，过点 作y轴的垂线交直线l于点 ，…，这样依次下去，得到 ， ， ，…，其面积分别记为 ， ， ，…，则 （）
A． B． C． D．
2．如图，在 中，点 ， 分别在 ， 边上， ， ，若 ， ，则线段 的长为（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．2：3
13．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知 ，点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作 ，交x轴于点D．下列结论：① ；②当点D运动到OA的中点处时， ；③在运动过程中， 是一个定值；④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为 ．其中正确结论的个数是（）
A． B．
C． D．
10．如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，AE与BD交于点P，F是CD上的一点，连接AF分别交BD，DE于点M，N，且AF⊥DE，连接PN，则下列结论中:
A．1B． C．2D．4
5．如图，在等腰三角形 中， ，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1， 的面积为42，则四边形DBCE的面积是（）
A．20B．22C．24D．26
6．如图，矩形 中， 与 相交于点 ， ，将 沿 折叠，点 的对应点为 ，连接 交 于点 ，且 ，在 边上有一点 ，使得 的值最小，此时 （）
17．如图，平面直角坐标系中，矩形 的边 分别在 轴， 轴上， 点的坐标为 ，点 在矩形 的内部，点 在 边上，满足 ∽ ，当 是等腰三角形时， 点坐标为_____．
18．如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB＝5，CF＝2，则线段EP的长是_____．
【详解】
证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴ ， ， ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，故①正确；
②在EF上取一点G，使 ，连结CG，
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ 是等边三角形．
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，故②正确；
③过D作 交于M，
根据勾股定理求出 ，
【详解】
解：设 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C.
【点睛】
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型.
3．A
【解析】
【分析】
①由正方形的性质可以得出AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，通过证明△ABE≌△ADE，就可以得出BE=DE；
A．1个B．2个C．3个D．4个
14．如图，在 中，点 为 边上的一点，且 ， ，过点 作 ， 交 于点 ，若 ，则 的面积为( )
A． B． C． D．
二、填空题
15．如图，在等腰 中， ， ，点 在边 上， ，点 在边 上， ，垂足为 ，则 长为_____．
16．如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6. P为对角线BD上一点，则PM—PN的最大值为___.
∴AE：AB=1：3，CF：CD=1：3，
又∵G、H分别是AC的三等分点，
∴AG：AC=CH：AC=1：3，
∴AE：AB=AG：AC，CF：CD=CH：CA，
∴EG//BC，FH//AD，
∴△AEG∽△ABC，△CFH∽△CDA，BM：AB=CF：CD=1：3，∠EMH=∠B，
∴EG：BC=AE：AB=1：3，HF：AD=CF：CD=1：3，
4．C
【解析】
【分析】
如图，延长FH交AB于点M，由BE＝2AE，DF＝2FC，G、H分别是AC的三等分点，证明EG//BC，FH//AD，进而证明△AEG∽△ABC，△CFH∽△CAD，进而证明四边形EHFG为平行四边形，再根据平行四边形的面积公式求解即可.
【详解】
如图，延长FH交AB于点M，
∵BE＝2AE，DF＝2FC，AB=AE+BE，CD=CF+DF，
∴H（1，0），
∴BH= =4，
∴ = ．
故选：B．
【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，解直角三角形，等边三角形、垂直平分线、相似三角形的判定与性质，待定系数法求直线的解析式，轴对称-最短路线问题，两点间的距离公式等知识．综合性较强，有一定难度．分别求出BH、CF的长是解题的关键．
A． B． C． D．
7．如图，在平行四边形 中， 为 的中点， ， 交于点 ，若随机向平行四边形 内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知 是线段 上的一个动点，连接 ，过点 作 交 轴于点 ，若点 在直线 上，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
19．如图， 和 都是等边三角形，且点A、C、E在同一直线上， 与 、 分别交于点F、M， 与 交于点N．下列结论正确的是_______（写出所有正确结论的序号）．
① ；② ；③ ；④
20．如图，正方形ABCD中， ，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作 ，交CD于点Q，则CQ的最大值为_______．
②在EF上取一点G，使EG=EC，连结CG，再通过条件证明△DEC≌△FGC就可以得出CE+DE=EF；
③过B作BM⊥AC交于M，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式即可求出高DM，根据三角形的面积公式即可求得 ；
④解直角三角形求得DE，根据等边三角形性质得到CG=CE，然后通过证得△DEH∽△CGH，求得 ．
① ；② ；③tan∠EAF= ；④ 正确的是（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
11．如图，在正方形 中，点 是对角线 的交点，过点 作射线分别交 于点 ，且 ，交 于点 ．给出下列结论： ; C； 四边形 的面积为正方形 面积的 ； ．其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在 中，D在AC边上， ，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则 （）
7．B
【解析】
【分析】
根据E为BC的中点，可得 ，根据边长的比值即可计算出图阴影部分的面积与平行四边形面积的比值，由此即可求得答案.
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//AD，BC=AD，
∴△BOE∽△DOA，
∴
又∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴米粒落在图中阴影部分的概率为 ，
6．B
【解析】
【分析】
设BD与AF交于点M．设AB=a，AD= a，根据矩形的性质可得△ABE、△CDE都是等边三角形，利用折叠的性质得到BM垂直平分AF，BF=AB=a，DF=DA= a．解直角△BGM，求出BM，再表示DM，由△ADM∽△GBM，求出a=2 ，再证明CF=CD=2 ．作B点关于AD的对称点B′，连接B′E，设B′E与AD交于点H，则此时BH+EH=B′E，值最小．建立平面直角坐标系，得出B（3，2 ），B′（3，-2 ），E（0， ），利用待定系数法求出直线B′E的解析式，得到H（1，0），然后利用两点间的距离公式求出BH=4，进而求出 = ．
故选B．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，几何概率，熟练掌握相关知识是解题的关键.
8．A
【解析】
【分析】
当点M在AB上运动时，MN⊥MC交y轴于点N，此时点N在y轴的负半轴移动，定有△AMC∽△NBM；只要求出ON的最小值，也就是BN最大值时，就能确定点N的坐标，而直线y=kx+b与y轴交于点N（0，b），此时b的值最大，因此根据相似三角形的对应边成比例，设未知数构造二次函数，通过求二次函数的最值得以解决．
5．D
【解析】
【分析】
利用 得到 ，所以 则 ，解得 ，从而得到 ，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE的面积．
【详解】
如图，
根据题意得 ，
∴
wk.baidu.com设 ，则 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴四边形DBCE的面积 ．
故选D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质．
由面积公式得： ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴
∴ ，故③正确；
④在 中， ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④错误；
综上，正确的结论有①②③，
故选A．
【点睛】
本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行证明是解此题的关键．
A． B． C． D．5
3．如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E．使得 ，连接BE并延长BE到F，使 ，BF与CD相交于点H，若 ，有下列结论：① ；② ；③ ；④ ．则其中正确的结论有（）
A．①②③B．①②③④C．①②④D．①③④
4．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，若点E，F分别在AB,CD上，且BE=2AE，DF=2FC，G，H分别是AC的三等分点，则四边形EHFG的面积为（）
【详解】
如图，设BD与AF交于点M．设AB=a，AD= a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，tan∠ABD= ，
∴BD=AC= =2a，∠ABD=60°，
∴△ABE、△CDE都是等边三角形，
∴BE=DE=AE=CE=AB=CD=a，
∵将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，
∴BM垂直平分AF，BF=AB=a，DF=DA= a，
∴△ADF是等边三角形，
∵AC平分∠DAF，
∴AC垂直平分DF，
∴CF=CD=2 ，
作B点关于AD的对称点B′，连接B′E，设B′E与AD交于点H，则此时BH+EH=B′E，值最小．
如图，建立平面直角坐标系，
则A（3，0），B（3，2 ），B′（3，-2 ），E（0， ），
易求直线B′E的解析式为y=- x+ ，
【详解】
∵点 的坐标是 ，
∴ ，
∵点 在直线 上，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
得出 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
故选D．
【点睛】
本题主要考查了如何根据一次函数的解析式和点的坐标求线段的长度，以及如何根据线段的长度求出点的坐标，解题时要注意相关知识的综合应用．
2．C
【解析】
【分析】
设 ， ，所以 ，易证 ，利用相似三角形的性质可求出 的长度，以及 ，再证明 ，利用相似三角形的性质即可求出得出 ，从而可求出 的长度.
∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=6，
∴CD=AB=3，AD=BC=6，∠B=90°，
∴AE=1，EG=2，CF=1，HF=2，BM=1，
∴EM=3-1-1=1，EG=FH，
∴EG FH，
∴四边形EHFG为平行四边形，
∴S四边形EHFG＝2×1=2，
故选C.
【点睛】
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握和灵活运用相关内容是解题的关键.
在△BGM中，∵∠BMG=90°，∠GBM=30°，BG=2，
∴GM= BG=1，BM= GM= ，
∴DM=BD-BM=2a- ，
∵矩形ABCD中，BC∥AD，
∴△ADM∽△GBM，
∴ ，即 ，
∴a=2 ，
∴BE=DE=AE=CE=AB=CD=2 ，AD=BC=6，BD=AC=4 ，
易证∠BAF=∠FAC=∠CAD=∠ADB=∠BDF=∠CDF=30°，
21．七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”.由边长为 的正方形 可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形 内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型(其中点 分别与图2中的点 重合，点 在边 上)，则“拼搏兔”所在正方形 的边长是_____.
22．如图， 的对角线 交于点 ， 平分 交 于点 ，交 于点 ，且 ，连接 ．下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的结论有__________（填写所有正确结论的序号）
23．如图，正方形纸片 的边长为12， 是边 上一点，连接 ．折叠该纸片，使点 落在 上的 点，并使折痕经过点 ，得到折痕 ，点 在 上．若 ，则 的长为__________．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
本题需先求出OA1和OA2的长，再根据题意得出OAn=2n，把纵坐标代入解析式求得横坐标，然后根据三角形相似的性质即可求得S100．
北师大版九年级上册
一、单选题
1．如图，过点 作y轴的垂线交直线 于点 ，过点 作直线l的垂线，交y轴于点 ，过点 作y轴的垂线交直线l于点 ，…，这样依次下去，得到 ， ， ，…，其面积分别记为 ， ， ，…，则 （）
A． B． C． D．
2．如图，在 中，点 ， 分别在 ， 边上， ， ，若 ， ，则线段 的长为（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．2：3
13．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知 ，点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作 ，交x轴于点D．下列结论：① ；②当点D运动到OA的中点处时， ；③在运动过程中， 是一个定值；④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为 ．其中正确结论的个数是（）