离散数学—第五章代数系统的一般性质

n元运算
1. 定义5.2: 设S为集合,n为正整数,则函数 f : S x S x...x SS 称为S上的一个n元运算,简称为n元运算.
① 求一个数的相反数是实数集R上的一元运算; ② 在空间直角坐标系中求某一点(x,y,z)的坐标在x轴上 的投影可以看作是实数集R上的三元运算 f(<x,y,z>)=x,因为参加运算的有序的3个实数,而结果 也是实数. ③ 若f(<a1,a2,...,an>) = b,则可记为(前缀表示法) o(a1,a2,...,an) =b o(a) = b 一元运算, o(a1,a2) = b 二元运算.
代数系统的一般性质
——理学院数学系 仝辉
内容提纲
1. 二元运算及其性质 2. 代数系统及其子代数和积代数 3. 代数系统的同态与同构
二元运算
1. 定义5.1: 设S为集合,函数f:SxSS称为S上的一 个二元运算,简称为二元运算.
① f:SxSS, f(<x,y>) = x+y就是自然数集合N上的一个 二元运算,即普通的加法运算. ② 普通的减法不是自然数集合上的二元运算,因为两个 自然数相减可能不是自然数,这时也称集合N对减法运 算不封闭. ③ 验证方法:参加运算的两个元素是S中的任意两个元素, 而运算的结果也是S中的一个元素.
平凡子代数,真子代数
1. 对任何代数系统V =<S,f1,f2,...,fk>,其子代数一定 存在.最大的子代数就是V本身.如果V中所有的代 数常数构成的集合是B, 且B对V中所有的运算都 是封闭的,那么,B就构成了V的最小的子代数.这 种最大和最小子代数称为V的平凡子代数. 2. 如果V的子代数V’=< B,f1,f2,...,fk>满足BS,则称 V’是V的真子代数.
① 例如:<N,+>,<Z,+,*>,<R,+,*> ② <P(S),,,~>
2. 在某些代数系统中对于给定的二元运算存在幺元 或零元,对代数系统起着很重要作用,称之为该系 统的特殊元素或代数常数.
① <Z,+,0> ② <P(S),,,~,>
子代数系统
1. 定义5.13: 设V=<S,f1,f2,...,fn>是代数系统,BS且B,如 果B对f1,f2,...,fn都是封闭的,且B和S含有相同的代数常数, 则称<B,f1,f2,...,fn>是V的子代数系统,简称子代数.
{2} {1}
交换律
1. 定义5.3: 设o为S上的二元运算,如果对任意的 x,yS都有xoy =yox,则称运算o在S上是可交换 的,或者说o在S上适合交换律.
① 例如加法,乘法符合交换律,但减法和除法不符合.
结合律
1. 定义5.4:设o为S上的二元运算,如果对任意的 x,yS都有(xoy)oz =xo(yoz),则称运算o在S上 是可结合的,或者说o在S上适合结合律.
反串，回文
1. ＝a1a2...an,反串为＝anan-1...a2a1 如果 = ’则称该串为回文.
语言
1. *的任何子集称为 上的一个语言,记作L,L *.
内容提纲
1. 二元运算及其性质 2. 代数系统及其子代数和积代数 3. 代数系统的同态与同构
代数系统
1. 定义5.12: 非空集合S和S上的k个运算 f1,f2,...,fk(其中fi为ni元运算,i=1,2,...,k)组成的系 统称为代数系统,简称代数,记作<S,f1,f2,...,fk>.
① 乘法对加法. ② P(S)上的,是相互可分配的.
吸收律
1. 定义5.7:设o和*为S上的两个二元运算,如果对任 意的x,yS都有 x*(xoy) =x, x o(x*y) =x, 则称运算*和o满足吸收律.
① P(S)上和满足吸收律.
幺元
1. 定义5.8:设o为S上的二元运算,如果存在元素 el(或er)S使得对任何xS都有 elox=x(或xoer =x),则称el(或er)是S 中关 于运算o的一个左幺元(右幺元),若e S关于o既 是左幺元又是右幺元,则称e为S上关于运算o的 幺元.
运算表
ai a1 a2 ... an
o(ai) o(a1) o(a2) ... o(an)
o a1 a2 ... an
a1
a2
...
an a1oan a2oan ... anoan
a1oa1 a1oa2 ... a2oa1 a2oa2 ... ... ... ...
anoa1 anoa2 ...
例题
① 自然数中只有0有加法逆元, ② 整数集合,加法幺元为0,对任何整数x,它的加法逆元都 存在,即它的相反数.
定理
1. 定理5.3 设o为S上可结合的二元运算,e为该运算的幺元. 对于xS,如果存在左逆元yl和右逆元yr,则有 yl =yr =y, 且y是x的唯一的逆元. 2. 证明 yl = yloe =ylo(xoyr) =(ylox)oyr =eoyr=yr 令yl=yr=y,假设y’S是x的逆元,则有 y’=y’oe =y’o(xoy)=(y’ox)oy=eoy=y. 由这个定理可知,对于可结合的二元运算来说,元素x的逆 元如果存在则是唯一的.通常把这个唯一的逆元记作x-1.
① 普通的加法和乘法在N,Z,Q,R上都是可结合的. ② ,,在幂集P(S)上也是可结合的. ③ 对满足结合律的运算可去掉括号. (x+y)+(z+u)=x+y+z+u xoxoxo...ox = xn xmoxn = xm+n
幂等律
1. 定义5.5:设o为S上的二元运算,如果对任意的 xS都有xox=x,则称运算o在S上适合幂等律.也 可以说S中的全体元素都是幂等元.
积代数
1. 定义5.14: 设V1=<S1,o>,V2=<S2,*>是代数系统,o 和*为二元运算.V1和V2的积代数V1XV2是含有一 个二元运算的代数系统,即V1XV2=<S, >,其中 S=S1XS2,且对任意的<x1,y1>,<x2,y2>S1XS2有 <x1,y1> <x2,y2> = <x1ox2,y1*y2>.
定理
1. 定理5.2: 设o为S上的二元运算,θl和θr分别为运 算o的左零元和右零元,则有 θl = θr =θ, 且θ是S上关于运算o的唯一的零元.
逆元
1. 定义5.10: 设o为S上的二元运算,eS为运算o的 幺元.对于xS,如果存在yl S(或yrS)都有 ylox=e (或xoyr = e ),则称yl(或yr )是S中 关于运算o的一个左逆元(右逆元),若y S关于o 既是左逆元,又是右逆元,则称y是x的逆元.
1 0 0 5,
0 0 1
0 0 1
0 1 0
0 1 1
o
-3,
0 1 0
= 2,
0 1 0
0 0 1
0 1 1
内容提纲
1. 二元运算及其性质 2. 代数系统及其子代数和积代数 3. 代数系统的同态与同构
① ② ③ ④ k ={vi1,vi2,...,vik|Vij ,j=1,2,3,..,k} 0 ={} += 1 2... *= 0 1 2...
串的连接
1. o为 *上的二元运算,, *, =a1a2..am,=b1b2...bn, o= a1a2..amb1b2...bn, 运算ｏ把串接到串的后面，称之为连接运 算．
例题
1. 设 V1=<Z,+>,V2=<M3(R),>,其中+和分别表示 整数加法和矩阵乘法,那么V1XV2是 V1XV2 = <ZXM3(R), o>.
① 即对任意的<z1,M1>, <z2,M2> ZXM3(R),都有 <z1,M1>o <z2,M2> = <z1+z2, M1 M2> ② 例如
例题
1. 自然数集合N上的乘法是N上的二元运算,但除法不是. 2. 整数集合Z上的加法,减法和乘法是Z上的二元运算,而除 法不是. 3. 非零实数集合R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算,而 加法,减法不是. 4. S为任意集合,则,,-,为S的幂集P(S)上的二元运算. 5. 通常用o,*,,...等符号表示二元运算,称为算符.设 f:SxSS是S上的二元运算,对任意的x,yS,如x与y的运 算结果为z,即 f(<x,y>) = z, 可用算符o简记为 xoy = z.
定理
1. 定理5.1: 设o为S上的二元运算,el,er分别为运算 o的左幺元和右幺元,则有 el = er =e. 且e为S上关于运算o的唯一的幺元. 2. 证明: el =eloer eloer =er el =er 把el=er记作e,假设S中存在幺元e’,则有 e’ = eoe’ = e. 所以,e是S中关于运算o的唯一的幺元.
① 自然数集合上加法的幺元是0,乘法的幺元是1; ② 矩阵的加法幺元是全0矩阵,矩阵的乘法幺元是主对角 线为1,其它为0的矩阵. ③ P(S)上,U运算的幺元是,的幺元是S.
判断幺元
1. 对于给定的集合和运算有的存在幺元,有的不存 在幺元.
① R*是非零实数集,o是R*上的二元运算,任取a,bR*有 aob = a,那么不存在el使得对所有的b R*都有 elob = b,所以运算o没有左幺元. ② 但对任意的a R*,对所有的b R*,都有boa=b,所以, 任意R*的元素a都是运算o的右幺元.R*中有无数多的 右幺元,但没有幺元.
① ② ③ ① 如:<N,+>是<Z,+>的子代数; 如:<N,+,0>是<Z,+,0>的子代数; 如:<N-{0},+>不是<Z,+>的子代数; 如有的代数系统决定该系统的二元运算存在幺元.
2. 代数系统的公理:运算的性质. 3. 子代数与代数系统的关系:不仅具有相同的代数运算,而 且这些运算也具有相同的性质,它们非常相似,只是子代 数比原来的代数系统小一些.
消去律
1. 定义5.11 设o为S上的二元运算,如果对任意的 x,y,zS满足以下条件
① 若xoy =xoz且x不是零元,则y=z, ② 若yox=zox且x不是零元,则y=z, 就称运算o满足消去律.
例题
1. 例5.4: 设是字母的有穷集,称为字母集, 中的有 限个字母组成的序列称为上串.对任何串,串中 字母的个数叫作串的长度,记作| |.长度为0的串 叫做空串().
例题
1. 例5.5: 设V=<Z,+,0>,令 nZ = {nz|zZ}. n为自然数, 那么,nZ是V的子代数. 2. 证明: 任取nZ中的两个元素nz1和nz2, z1,z2Z,则 有 nz1+nz2 = n(z1+z2)nZ, 即nZ对+运算是封闭的,并且0=n*0 nZ.所以, nZ 是<Z,+,0>的子代数. 当n=1时,nZ就是V本身,当n=0时,0Z={0}是V的最 小子代数,而其它是V的非平凡的真子代数.
1. 设S={1,2},给出P(S)上的运算~和的运算表,其中全集 为S.
ai
~(ai) {1,2}
{1} {1}
{2} {2}
{1,2} {1,2}1,2}

{1} {2} {1,2}
{1} {2} {1,2}
{1,2} {2}
{1,2} {1}
零元
1. 定义5.9:设o为S上的二元运算,如果存在元素θl(或θr)S 使得对任何xS都有 θlox=θl (或xoθr = θr ),则称θ l(或θr )是S中关于 运算o的一个左零元(右零元),若θ S关于o既是左零元又 是右零元,则称θ为S上关于运算o的零元.
① ② ③ ④ 自然数集N上普通乘法的零元是0,而加法没有零元. 矩阵的乘法零元为全0矩阵 P(S)上的运算的零元是S,运算的零元是. 在R*上如果定义运算o,使得对任意a,bR*满足 aob = a, 那么R*的任何元素都是关于o运算的左零元,R*中没有右零元,也 没有零元.
① P(S)上的和运算适合幂等律; ② 对称差不符合:AAA.
分配律
1. 定义5.6: 设o和*为S上的两个二元运算,如果对任 意的x,y,zS都有 x*(yoz) =(x*y)o(x*z), (yoz)*x =(y*z)o(z*x), 则称运算*对o是可分配的,或者说*对o适合分 配律.