圆的对称性—知识讲解(基础)

【答案与解析】 解：∵ E 为弧 AC 的中点， ∴ OE⊥AC ，
∴ AD= AC=4cm ，
∵ OD=OE ﹣ DE= （ OE﹣ 2） cm， OA=OE ，
∴在
Rt△ OAD
中，
OA
2
=OD
2
+AD
2
即
OA
2
=（
OE﹣ 2）
2+42，
又知 0A=OE ，解得： OE=5 ，
∴ OD=OE ﹣ DE=3cm ．
AB 表示桥拱，弦 AB 的长表示桥的跨度， C 为 AB 的中点，
CD⊥ AB于 D， CD表示拱高， O为 AB 的圆心，根据垂径定理的推论可知，
C、 D、O三点共线，且 OC平分 AB． 在 Rt△ AOD中， OA＝ 13，AD＝ 12，则 OD2＝ OA2 －AD2＝ 132－ 122＝ 25． ∴ OD ＝ 5， ∴ CD ＝ OC－ OD＝ 13－ 5＝ 8，即拱高为 8m．
【总结升华】 主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形
.
举一反三：
【 变式 】如图，⊙ O中，弦 AB⊥弦 CD于 E，且 AE=3cm， BE=5cm，求圆心 O到弦 CD 距离。
【答案】 1cm ．
2．如图所示，直线与两个同心圆分别交于图示的各点，则正确的是（
）
，在类比中理解深刻认识圆中的圆心角、弧、
弦三者之间的关系；
3. 掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其
它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用
.
【要点梳理】 要点一 、 圆的对称性
圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴． 圆是中心对称图形，对称中心为圆心． 要点诠释： 圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．
分的弦不能是直径）
要点五 、 弧、弦、圆心角的关系
1. 圆心角与弧的关系：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
2. 圆心角、弧、弦的关系：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组
量都分别相等．
要点诠释：
(1) 一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；
（ 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（ 3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
.
要点诠释：
在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论
. （注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平
证明： 连结 OC、 OD
2. 弧
∵AB=AO+OB=CO+OD ≥ CD( 当且仅当 CD 过圆心 O 时，取“ =”号 ) ∴直径 AB 是⊙ O 中最长的弦 .
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧
.以 A 、 B 为端点的弧记作
，读作“圆弧 AB ”或“弧
AB” . 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧 .
A ． MP与 RN的大小关系不定 B ．MP＝ RN C ． MP＜ RN D ．MP＞ RN 【答案】 B； 【解析】 比较线段 MP与 RN的大小关系，首先可通过测量猜测 MP与 RN相等，
而证明两条线段相等通常利用全等三角形，即证△
OMP≌△ ONR，
如果联想到垂径定理，可过 O作 OE⊥ MN于 E，则 ME＝ NE， PE＝RE，
要点二、 与圆有关的概念
1. 弦
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦 .
直径：经过圆心的弦叫做直径 .
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距 .
要点诠释：
直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径
.
为什么直径是圆中最长的弦？如图， AB 是⊙ O 的直径， CD 是⊙ O 中任意一条弦，求证： AB ≥ CD.
(2) 注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提
.
3. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等 .
【典型例题】 类型一、应用垂径定理进行计算与证明
1．（2015 ?巴中模拟）如图， AB 为半圆直径， O 为圆心， C 为半圆上一点， E 是弧 AC 的中点， OE 交弦 AC 于点 D，若 AC=8cm ， DE=2cm ，求 OD 的长．
∴ ME － PE＝ NE－ RE，即 MP＝ RN．
【总结升华】 在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”
.
举一反三：
【 变式 】已知：如图，割线 AC与圆 O交于点 B、C，割线 AD过圆心 O. 若圆 O的半径是 5，且 DAC 30 ，
AD=13. 求弦 BC的长 .
【答案】 6.
.
2. 推论
平分弦 ( 不是直径 ) 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 .
要点诠释： (1) 垂径定理是由两个条件推出两个结论，即
(2) 这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段
.
要点四 、 垂径定理的拓展
根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
（ 1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
要点诠释： ①半圆是弧，而弧不一定是半圆； ②无特殊说明时，弧指的是劣弧 .
3. 等弧 在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧 .
要点诠释： ①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视； ②圆中两平行弦所夹的弧相等 .
要点三 、 垂径定理
1. 垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧
类型二、 垂径定理的综合应用
3．如图 1，某公园的一座石拱桥是圆弧形 ( 劣弧 ) ，其跨度为 24m，拱的半径为 13m，则拱高为 （ ）
A
．5m B ． 8m C ． 7m D ． 5 3 m
【思路点拨】 在解答有关弓形问题时，首先应找弓形的弧所在圆的圆心，然后构造直角三角形，运用垂 径定理（推论）及勾股定理求解 . 【答案】 B； 【解析】 如图 2，
圆的对称性—知识讲解（基础）
【学习目标】 1. 理解圆的对称性；并能运用其特有的性质推出在同一个圆中
, 圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这
些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法；理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、等
弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；
2. 通过探索、观察、归纳、类比，总结出垂径定理等概念