第五章-线性定常系统的状态反馈和状态观测器设计
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f * () ( 2)( 1 j)( 1 j) 3 42 6 4 0
令
f ( ) f * ( )
,可得
v
u
k 0 4 k 0 4 2 k1 k 2 6 k1 3 3 k 4 k 1 2 2
1 s
2
x3
1 s
x2
1 s
x1
y
10
1
k2 k1
ko
状态反馈系统结构图
故
k 4
3
1
结论
求解实际问题的状态反馈增益矩阵 k 时,没有必要 像定理5.1证明那样去进行可控标准型的变换,只要先验 证受控系统可控,并计算 f ( ) I ( A bk ) 及期望特征多 项式 f * ( ) ,由 f ( ) f * ( ) ,便可确定状态反馈增益矩 阵 k k o k1 k n 1 。
f ( ) n ( a n 1 k n 1 ) n1 ( a1 k1 ) ( a0 k 0 )
(3)根据闭环系统极点的期望值,导出闭环系统的期望特征多项式
f
*
* n 1 * * a1 a0 ( ) n a n 1
(4)确定对于可控标准型下的状态变量 x 的反馈增益矩阵 k
f () f * ()
* * * k (a0 a0 ) (a1 a1 ) (an 1 an1 )
(5)把 k 化成对于给定状态变量 k k P 1
x 对应的 k
【例5.1.2】已知SISO系统的传递函数为 G ( s )
10 s ( s 1)( s 2)
试设计状态反馈增益矩阵使闭环极点配置在-2, 1 j 。 解:由于SISO系统的无零极点对消,故系统可控。可直接写出可控 标准型。
0 0 1 0 x 0u 0 0 x 1 0 2 3 1
0 1 0 a2
0 0 1 a n1
0 0 1 b P b 0 1
1 n 1
在变换后引入状态反馈增益矩阵 k k 0 k1 k n 1
本章主要内容
§5-1 状态反馈与闭环系统极点的配置 §5-2 状态反馈对可控性与可观测性的影响 §5-3 状态反馈下闭环系统的镇定问题 §5-4 输出反馈与极点配置 §5-5 状态观测器的设计
§5-1 状态反馈与闭环系统极点 的配置
现代控制理论中,控制系统的基本结构仍然是有受控对象和 反馈控制器两部分构成的闭环系统。与经典理论不同的是现代控 制理论中则更多的采用状态反馈。
5.1.1 状态反馈
状态反馈就是将系统的每一个状态变 量乘以相应的反馈系数反馈到输入端与参 考输入相加,其和作为受控系统的输入。
右图为一SISO系统的状态反馈结构图。
v
u
b
x
1 s
x
y
c
A
k
设该系统的状态空间表达式为:
状态反馈系统结构图
Ax bu x y cx
状态反馈矩阵为 k ,则状态反馈系统动态方程为:
Ax b(v kx ) ( A bk ) x bv x
y cx
式中: k k o k1 k n 1 称为状态反馈增益矩阵。 ( A bk ) 称为闭环系统矩阵。 闭环特征多项式为 I ( A bk ) 。
通过上面的例子我们可以得到什么结论呢? 结 论:引入状态反馈后,并不增加系统的维数,但可通过k的 选择自由的改变闭环系统的特征值,从而使系统获得所要求的 性能。
按指定极点配置设计状态反馈增益矩阵 k 的一般步骤 (1)对给定可控系统 ( A, b, c) ,进行P变换,即 x Px,化成可控标准型 Ax b u , y c x 其中: A P 1 AP ,b P 1b , c cP x (2)导出在可控标准型下的闭环系统的特征多项式
【例5.1.3】已知SISO系统的传递函数为
G ( s)
10( s 1) s( s 1)( s 2)
1 j 的可能性。 试研究采用状态反馈使闭环极点配置在-2,
解:该SISO系统的传递函数存在零极点对消。 (1)若选择可控标准型实现(便不可观测),仍可以配置极点,方 法步骤同【例5.1.2】。 (2)若选择可观测标准型实现(便不可控)
k1 k 2 称为状态反馈系数矩阵或状态反馈增益矩阵
v u
。
1 x 2 x x 2 x 2 x3 3 2 x 3 u x y 4 x1
1 s
x3
1 s
x2
1 s
x1
y
4
2
k2 k1
1
ko
从这个例题中我们可以得到什么结论呢? 结 论:如果系统为r维输入、m维输出的MIMO系统,则 反馈增益矩阵是一个 r m 维矩阵。即
【例5.1.1】已知系统如下,试画出状态反馈系统结构图。
0 0 1 0 0 1 1 x 0 u x 0 0 2 1
y 4 0 0x
解: u v kx v k 0 k1 k 2 x 其中 k k 0
欲使闭环系统的极点取期望值,只需令 即
* a n1 k n 1 a n 1 * a1 k1 a1 * a 0 k 0 a 0
f ( ) f * ( )
只要适当选择 k
0
k1 k n 1
,就可以任意配置闭环极点
。
(2)必要性 若受控系统不可控,必有状态变量与u无关,则 k k 0 k1 k n 1 u v k x 中一定有元素不存在,所以不可控子系统的特征值不可能重新 配置。
期望闭环极点对应的闭环系统期望特征方程为:
f * ( ) ( 2)( 1 j )( 1 j ) 3 42 6 4 0
令
f ( ) f * ( ) ,可得
10k 0 10k1 3 4 30k 0 40k1 10k 2 2 6 20k 30k 10k 4 0 1 2
第五章 线性定常系统的状态反馈和状态 观测器设计
经典控制理论用输出反馈或引入校正装置的方法来配置极点, 以改善系统性能。
现代控制理论由于采用了状态空间来描述系统,除了利用输出 反馈以外,主要利用状态反馈来配置极点。采用状态反馈不但可以 实现闭环系统极点的任意配置,而且还可以实现系统解耦和形成最 优控制规律。
0 0 0 10 1 0 2 x 10 u x 0 1 3 0
y 0 0 1x
设状态反馈增益矩阵 k k 0
0 0 0 10 A bk 1 0 2 10k 0 0 1 3 0
y 10 0 0x
设状态反馈增益矩阵
k 为: k k 0 k1 k 2
f ( ) I ( A bk ) 3 (3 k 2 )2 (2 k1 k 2 ) k 0 0
状态反馈系统的特征方程为
期望闭环极点对应的闭环系统期望特征方程为:
u v kx
( A b k ) x b v ,y c x 故变换后的状态反馈系统的动态方程为 x
其中:
0 0 A bk 0 a 0 k 0
1 0 0 a1 k1
0 1百度文库 0 a2 k 2
0 0 1 a n 1 k n1
u
3
1 s
k2 k1
2
1 s
x2
x3
1 s
x1
y
10
故 k
4
4
1
ko
状态反馈系统结构图
在上例中,由于传递函数的实现一开始就采用了可控标准型,从 而可以比较简单地计算出反馈增益矩阵,对闭环系统进行极点配置。 但是从工程实际上看,可控标准型实现的状态变量的信息在物理 上是很难采集的,如果要使设计出来的能在实际系统中方便地建立起 来,应该尽可能地选择那些其状态变量在物理上容易采集的实现作为 系统的实现。 上例中如何选择比较合理? 上例中,选择串联分解所得到的动态方程作为系统实现就较 为合理。即
定理5.1: 用状态反馈任意配置极点的充要条件是:受控系统可控。 证 明: (1)充分性: 设受控系统可控,则一定可通过线性变换(即 x Px ),将A、b 化为可控标准型。
0 0 1 A P AP 0 a 0
C CP 0
1 0 0 a1
k11 k 21 k k r1 k12 k1m k 22 k 2 m k r 2 k rm r m
5.1.2 状态反馈增益矩阵k的计算
控制系统的品质很大程度上取决于该系统的极点在平面 上的位置。因此,对系统进行综合设计时,往往是给出一组 期望的极点,或者根据时域指标提出一组期望的极点。所谓 极点配置问题就是通过对反馈增益矩阵的设计,使闭环系统 的极点恰好处于s平面上所期望的位置,以便获得期望的动态 特性。
G (s) 10 1 1 1 10 s ( s 1)( s 2 ) s s 1 s 2
u
1 s
x3
1 s
x2
1 s
x1
y
10
2
1
受控系统结构图
原受控系统的动态方程为:
0 0 1 0 0 1 1 x 0 u x 0 0 2 1
方程组无解,即这种情况下用状态反馈不能配置极点。
k1
k2
10k 0 k 2 1 10k 0 0 10k1 10k1 1 10k 2 2 10k 2 3
状态反馈系统的闭环状态矩阵为
k1
状态反馈系统的特征方程为
f ( ) I ( A bk ) 3 (10k 0 10k1 3) 2 (30k 0 40k1 10 k 2 2) ( 20k 0 30k1 10k 2 )
y 10 0 0x
设状态反馈增益矩阵 k 为: k k 0 状态反馈系统的特征方程为 令 f ( ) f * ( ) ,可得
k0 4 k0 4 2 k1 6 k1 4 3 k 4 k 1 2 2
v
k1
k2
f () I (A bk) 3 (3 k2 )2 (2 k1) k0 0
闭环特征多项式为: f ( ) I ( A b k ) 设闭环系统的期望极点为
n ( a n 1 k n 1 ) n 1 ( a1 k1 ) ( a0 k 0 )
1 , 2 , , ,则系统的期望特征多项式为 n
* n 1 * f * ( ) ( 1 )( 2 ) ( n ) n a n a1* a 0 1
令
f ( ) f * ( )
,可得
v
u
k 0 4 k 0 4 2 k1 k 2 6 k1 3 3 k 4 k 1 2 2
1 s
2
x3
1 s
x2
1 s
x1
y
10
1
k2 k1
ko
状态反馈系统结构图
故
k 4
3
1
结论
求解实际问题的状态反馈增益矩阵 k 时,没有必要 像定理5.1证明那样去进行可控标准型的变换,只要先验 证受控系统可控,并计算 f ( ) I ( A bk ) 及期望特征多 项式 f * ( ) ,由 f ( ) f * ( ) ,便可确定状态反馈增益矩 阵 k k o k1 k n 1 。
f ( ) n ( a n 1 k n 1 ) n1 ( a1 k1 ) ( a0 k 0 )
(3)根据闭环系统极点的期望值,导出闭环系统的期望特征多项式
f
*
* n 1 * * a1 a0 ( ) n a n 1
(4)确定对于可控标准型下的状态变量 x 的反馈增益矩阵 k
f () f * ()
* * * k (a0 a0 ) (a1 a1 ) (an 1 an1 )
(5)把 k 化成对于给定状态变量 k k P 1
x 对应的 k
【例5.1.2】已知SISO系统的传递函数为 G ( s )
10 s ( s 1)( s 2)
试设计状态反馈增益矩阵使闭环极点配置在-2, 1 j 。 解:由于SISO系统的无零极点对消,故系统可控。可直接写出可控 标准型。
0 0 1 0 x 0u 0 0 x 1 0 2 3 1
0 1 0 a2
0 0 1 a n1
0 0 1 b P b 0 1
1 n 1
在变换后引入状态反馈增益矩阵 k k 0 k1 k n 1
本章主要内容
§5-1 状态反馈与闭环系统极点的配置 §5-2 状态反馈对可控性与可观测性的影响 §5-3 状态反馈下闭环系统的镇定问题 §5-4 输出反馈与极点配置 §5-5 状态观测器的设计
§5-1 状态反馈与闭环系统极点 的配置
现代控制理论中,控制系统的基本结构仍然是有受控对象和 反馈控制器两部分构成的闭环系统。与经典理论不同的是现代控 制理论中则更多的采用状态反馈。
5.1.1 状态反馈
状态反馈就是将系统的每一个状态变 量乘以相应的反馈系数反馈到输入端与参 考输入相加,其和作为受控系统的输入。
右图为一SISO系统的状态反馈结构图。
v
u
b
x
1 s
x
y
c
A
k
设该系统的状态空间表达式为:
状态反馈系统结构图
Ax bu x y cx
状态反馈矩阵为 k ,则状态反馈系统动态方程为:
Ax b(v kx ) ( A bk ) x bv x
y cx
式中: k k o k1 k n 1 称为状态反馈增益矩阵。 ( A bk ) 称为闭环系统矩阵。 闭环特征多项式为 I ( A bk ) 。
通过上面的例子我们可以得到什么结论呢? 结 论:引入状态反馈后,并不增加系统的维数,但可通过k的 选择自由的改变闭环系统的特征值,从而使系统获得所要求的 性能。
按指定极点配置设计状态反馈增益矩阵 k 的一般步骤 (1)对给定可控系统 ( A, b, c) ,进行P变换,即 x Px,化成可控标准型 Ax b u , y c x 其中: A P 1 AP ,b P 1b , c cP x (2)导出在可控标准型下的闭环系统的特征多项式
【例5.1.3】已知SISO系统的传递函数为
G ( s)
10( s 1) s( s 1)( s 2)
1 j 的可能性。 试研究采用状态反馈使闭环极点配置在-2,
解:该SISO系统的传递函数存在零极点对消。 (1)若选择可控标准型实现(便不可观测),仍可以配置极点,方 法步骤同【例5.1.2】。 (2)若选择可观测标准型实现(便不可控)
k1 k 2 称为状态反馈系数矩阵或状态反馈增益矩阵
v u
。
1 x 2 x x 2 x 2 x3 3 2 x 3 u x y 4 x1
1 s
x3
1 s
x2
1 s
x1
y
4
2
k2 k1
1
ko
从这个例题中我们可以得到什么结论呢? 结 论:如果系统为r维输入、m维输出的MIMO系统,则 反馈增益矩阵是一个 r m 维矩阵。即
【例5.1.1】已知系统如下,试画出状态反馈系统结构图。
0 0 1 0 0 1 1 x 0 u x 0 0 2 1
y 4 0 0x
解: u v kx v k 0 k1 k 2 x 其中 k k 0
欲使闭环系统的极点取期望值,只需令 即
* a n1 k n 1 a n 1 * a1 k1 a1 * a 0 k 0 a 0
f ( ) f * ( )
只要适当选择 k
0
k1 k n 1
,就可以任意配置闭环极点
。
(2)必要性 若受控系统不可控,必有状态变量与u无关,则 k k 0 k1 k n 1 u v k x 中一定有元素不存在,所以不可控子系统的特征值不可能重新 配置。
期望闭环极点对应的闭环系统期望特征方程为:
f * ( ) ( 2)( 1 j )( 1 j ) 3 42 6 4 0
令
f ( ) f * ( ) ,可得
10k 0 10k1 3 4 30k 0 40k1 10k 2 2 6 20k 30k 10k 4 0 1 2
第五章 线性定常系统的状态反馈和状态 观测器设计
经典控制理论用输出反馈或引入校正装置的方法来配置极点, 以改善系统性能。
现代控制理论由于采用了状态空间来描述系统,除了利用输出 反馈以外,主要利用状态反馈来配置极点。采用状态反馈不但可以 实现闭环系统极点的任意配置,而且还可以实现系统解耦和形成最 优控制规律。
0 0 0 10 1 0 2 x 10 u x 0 1 3 0
y 0 0 1x
设状态反馈增益矩阵 k k 0
0 0 0 10 A bk 1 0 2 10k 0 0 1 3 0
y 10 0 0x
设状态反馈增益矩阵
k 为: k k 0 k1 k 2
f ( ) I ( A bk ) 3 (3 k 2 )2 (2 k1 k 2 ) k 0 0
状态反馈系统的特征方程为
期望闭环极点对应的闭环系统期望特征方程为:
u v kx
( A b k ) x b v ,y c x 故变换后的状态反馈系统的动态方程为 x
其中:
0 0 A bk 0 a 0 k 0
1 0 0 a1 k1
0 1百度文库 0 a2 k 2
0 0 1 a n 1 k n1
u
3
1 s
k2 k1
2
1 s
x2
x3
1 s
x1
y
10
故 k
4
4
1
ko
状态反馈系统结构图
在上例中,由于传递函数的实现一开始就采用了可控标准型,从 而可以比较简单地计算出反馈增益矩阵,对闭环系统进行极点配置。 但是从工程实际上看,可控标准型实现的状态变量的信息在物理 上是很难采集的,如果要使设计出来的能在实际系统中方便地建立起 来,应该尽可能地选择那些其状态变量在物理上容易采集的实现作为 系统的实现。 上例中如何选择比较合理? 上例中,选择串联分解所得到的动态方程作为系统实现就较 为合理。即
定理5.1: 用状态反馈任意配置极点的充要条件是:受控系统可控。 证 明: (1)充分性: 设受控系统可控,则一定可通过线性变换(即 x Px ),将A、b 化为可控标准型。
0 0 1 A P AP 0 a 0
C CP 0
1 0 0 a1
k11 k 21 k k r1 k12 k1m k 22 k 2 m k r 2 k rm r m
5.1.2 状态反馈增益矩阵k的计算
控制系统的品质很大程度上取决于该系统的极点在平面 上的位置。因此,对系统进行综合设计时,往往是给出一组 期望的极点,或者根据时域指标提出一组期望的极点。所谓 极点配置问题就是通过对反馈增益矩阵的设计,使闭环系统 的极点恰好处于s平面上所期望的位置,以便获得期望的动态 特性。
G (s) 10 1 1 1 10 s ( s 1)( s 2 ) s s 1 s 2
u
1 s
x3
1 s
x2
1 s
x1
y
10
2
1
受控系统结构图
原受控系统的动态方程为:
0 0 1 0 0 1 1 x 0 u x 0 0 2 1
方程组无解,即这种情况下用状态反馈不能配置极点。
k1
k2
10k 0 k 2 1 10k 0 0 10k1 10k1 1 10k 2 2 10k 2 3
状态反馈系统的闭环状态矩阵为
k1
状态反馈系统的特征方程为
f ( ) I ( A bk ) 3 (10k 0 10k1 3) 2 (30k 0 40k1 10 k 2 2) ( 20k 0 30k1 10k 2 )
y 10 0 0x
设状态反馈增益矩阵 k 为: k k 0 状态反馈系统的特征方程为 令 f ( ) f * ( ) ,可得
k0 4 k0 4 2 k1 6 k1 4 3 k 4 k 1 2 2
v
k1
k2
f () I (A bk) 3 (3 k2 )2 (2 k1) k0 0
闭环特征多项式为: f ( ) I ( A b k ) 设闭环系统的期望极点为
n ( a n 1 k n 1 ) n 1 ( a1 k1 ) ( a0 k 0 )
1 , 2 , , ,则系统的期望特征多项式为 n
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