数学建模之马尔可夫预测

马尔可夫预测

马尔可夫过程是一种常见的比较简单的随机过程。该过程是研究一个系统的 状况及其转移的理论。它通过对不同状态的初始概率以及状态之间的转移概率的研究,来确定状态的变化趋势,从而达到对未来进行预测的目的。 三大特点： （1）无后效性

一事物的将来是什么状态，其概率有多大，只取决于该事物现在所处的状态如何，而与以前的状态无关。也就是说，事物第n 期的状态，只与第n 期内的变化和第n-1期状态有关,而与第n-1期以前的状态无关。 （2）遍历性

不管事物现在所处的状态如何，在较长的时间内马尔可夫过程逐渐趋于稳定状态，而与初始状态无关。 （3）过程的随机性。

该系统内部从一个状态转移到另一个状态是，转变的可能性由系统内部的原先历史情况的概率值表示。 1.模型的应用， ①水文预测， ②气象预测， ③地震预测，

④基金投资绩效评估的实证分析， ⑤混合动力车工作情况预测， ⑥产品的市场占有情况预测。 2.步骤

①确定系统状态

有的系统状态很确定。如：机床工作的状态可划分为正常和故障，动物繁殖后代可以划分为雄性和雌性两种状态等。但很多预测中，状态需要人为确定。如：根据某种产品的市场销售量划分成滞销、正常、畅销等状态。这些状态的划分是依据不同产品、生产能力的大小以及企业的经营策略来确定的，一般没有什么统一的标准。在天气预报中，可以把降水量划分为旱、正常和涝等状态。 ②计算初始概率()0i S

用i M 表示实验中状态i E 出现的总次数，则初始概率为

()()0

1

1,2,

i

i i n

i

i M S F i n M

=≈=

=∑

③计算一步转移概率矩阵

令由状态i E 转移到状态j E 的概率为()|ij j i P P E E =，则得到一步转移概率矩阵为：

1112121

2221

2

n n n n nn p p p p p p P p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

④计算K 步转移概率矩阵

若系统的状态经过了多次转移，则就要计算K 步转移概率与K 步转移概率矩阵。

K 步转移概率矩阵为：

1112121

2221

2

()k

n n k n n nn p p p p p p P k p p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⑤预测及分析

根据转移概率矩阵对系统未来所处状态进行预测，即：

()

()111210212221

2

K

n K n n n nn p p p p p p S S

p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

例题：

设某企业生产洗涤剂为A 型,市场除A 型外,还有B 型、C 型两种。为了生产经营管理上的需要,某企业要了解本厂生产的A 型洗涤剂在未来三年的市场占有倩况。为此,进行了两项工作,一是进行市场调查,二是利用模型进行预测。

市场调查首先全面了解各型洗涤剂在市场占有情况。年终调查结果:市场洗涤剂目前总容量为100万件,其中A 型占40万,B 型和C 型各占30万。

再者,要调杏顾客购买各型洗涤剂的变动情况。调查发现去年购买A 型产品的顾客,今年仍购A 型产品24万件,转购B 型和C 型产品备占8万件,去年购买B 型产品顾客,今年仍购B 型产品9万件,转购A 型15万件,转购C 型6万件,去年购买C 型产品的顾客,今年仍购C 型产品9万件,转购A 型15万件,转购B 型6万件。计算各型产品保留和转购变动率。 模型的建立： ①计算初始概率

用i M 表示i E 型产品出现的总次数，则初始概率为

()()0

1

1,2,

i

i i n

i

i M S F i n M

=≈=

=∑ （1）

②计算各类产品保留和转购变动率

用1,2,3，分别表示A,B,C 三种产品类型，令由(1,2,3)i E i =型产品转移到

(1,2,3)j E j =型产品的概率为()|ij j i P P E E =，则得到一步转移概率矩阵为：

1112121

2221

2

n n n n nn p p p p p p P p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

（2） ③预测与分析

根据产品市场占有率的初始资料（1）和产品转移概率矩阵资料(2),预测未来各年度各型产品市场占有率。即：

()

()111210212221

2

K

n K n n n nn p p p p p p S S

p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

（3） 模型的求解

①计算初始概率

用概率向量0S 表示各类产品市场占有的初始状态，由（1）得0(0.40.30.3)S = 。 ②计算各类产品保留和转购变动率 由（2）计算得一步转移概率矩阵为

0.60.20.20.50.30.20.50.20.3P ⎡⎤

⎢⎥= ⎢⎥

⎢⎥ ⎣⎦

③预测与分析

由（3）计算得到产品市场占有率的预测如下

()

0.60.20.2(0.40.30.3)0.50.30.20.50.20.3K

K S ⎡⎤

⎢⎥= ⎢⎥

⎢⎥ ⎣⎦

令k=1得后续第l 年各型产品币场占有率预测为

()

10.60.20.2(0.40.30.3)0.50.30.2(0.540.230.22)0.50.20.3S ⎡⎤

⎢⎥= = ⎢⎥

⎢⎥ ⎣⎦

其中A 型产品市场占有率为54%。

令k=2得后续第2年各型产品币场占有率预测为

()

2

20.60.20.2(0.40.30.3)0.50.30.2(0.5540.2230.223)0.50.20.3S ⎡⎤

⎢⎥= = ⎢⎥

⎢⎥ ⎣⎦

其中A 型产品市场占有率为55.4%。

令k=2得后续第2年各型产品币场占有率预测为