复变函数(第四版余家荣)3

y
解 (1) 连接原点 O 及点1 i 的线段的方程为 :
1 i
所以
o
1
x
（） 连接原点 O 及点1的线段方程为： 2 连接点 1 及点 1 i 的线段方程为：
2. Cauchy定理
问题 如果 f ( z )是定义在区域 D内的复函数 , 那么在什么情况下对
D内任意按段光滑闭曲线 c，有
Liouville 定理 有界整函数必为常数 .
证明
设 f ( z)是整函数 , 并且对于所有 z C, | f ( z) | M . 由于对任意复数 z
所以
f ( )在任何圆盘 U ( z, R) { :| z | R}上解析 ,
令 R , 得 f ( z) 0. 所以f ( z) 为常数 .
当 z (n) 时, 有
由于 所以
因此
由此得
即
由于ε 是一个任意正数，所以 M 0.
(2) 设 c 是 D中多角形的边界 .
E D A
C
注 若 c 是 D中一条闭折线，则上述
结论仍成立 .
B
定义 设 f ( z) 和 ( z) 是定义在区域 D上的复函数 . 若 Φ 在 D 上
解析且 Φ( z) f ( z), 则Φ( z) 称作 f ( z)在区域 D上的一个原函数 .
显然，
设 L 是光滑曲线：
则
证
复积分的性质
其中
(4) 设 l 是光滑曲线 L 的弧长，当 z L时, | f ( z) | M , 则
例
其中c是以a为心，ρ为半径的正向圆周 .
证明
c 的方程为
所以
(2) 设 c 是一条Jordan闭曲线，证明：
和
证明
(3) 计算
其中c是
(1) 连接原点 O 及点 1 i 的线段； （） 连接原点 O 及点 1 1 i 的折线. 2 ，
引理2
证明
设 α D.
对于任意 z D,
定义
L2
z
其中
z0
L1

L
D
设 z0 D, 则

因为
所以
由于 f ( z) 在 z0 连续，所以任取 ε 0, 存在 δ 0, 使得当z D
且 | z z0 | 时，有
所以
因此
引理3 若 f ( z) 在区域 D内连续且有原函数 F ( z), D, D, c 是
设D是单连通区域， u( x, y)及v( x, y)在D内有一阶连续偏导数，
则
f ( z)在 D内解析 .
2. Cauchy定理
如果 f ( z ) 在单连通区域 D 内单值解析 , c是
D 内一条按段光滑 Jordan闭曲线，则
引理 设 f ( z ) 在单连通区域 D 内单值解析 , c是 D 内一个多 边形的边界，则
Cauchy不等式
设 f ( z ) 在圆盘 U (a, R) {z :| z a | R}上解析且存在
正数 M 使得当 z U (a, r ) 时， f ( z ) | M , 则 |
证明
假设 0 r R. 因为
所以
令 r R 便得结论 .
定义 在整个复平面上解析的 函数称作整函数 .
f ( z) 在 D 上的所有原函数之集称 作 f ( z)在区域 D上的不定积分 .
定义 设D C.如果对任意 0 t 1及x, y D, 有
tx (1 t ) y D, 则称区域D为凸集.
设 D是一个凸集， f ( z)在 D内解析，则 f ( z)在 D内 存在有原函数 .
答 : 可以.
若 f ( z) 在闭区域 D 上满足柯西积分定理的 条件, 则对函数 ( z z0 ) f ( z) 应用
柯西积分公式得
定理 4.2 设 D 是一个区域，其边界曲 线 c D由有限条逐段光滑 Jordan 闭曲线 c0 , c1 ,, cn 组成,曲线 c1 ,, cn中每一条都在其余曲线 的外区域内,而且 所有这些曲线都在曲线 c0 内部.沿边界曲线 c 正向移动时区域 D 的内部永远 保持在左手边 .如果 f ( z ) 在 D 上解析 , z D, 则
c
D
由于 r 0 时，f ( z) f ( z0 ),所以似乎应有
定理 4.1 设 D 是一个区域，其边界曲 线 c D由有限条逐段光滑 Jordan 闭曲线 c0 , c1 ,, cn 组成,曲线 c1 ,, cn中每一条都在其余曲线 的外区域内,而且 所有这些曲线都在曲线 c0 内部.沿边界曲线 c 正向移动时区域 D 的内部永远 保持在左手边 .如果 f ( z ) 在 D 上解析 , z D, 则
(1)
o

1
( 2)
方法一

2
方法二

c1 c2
2
(3)

1
( 4)

1

2
Kr
r0 z0

r
r1
R
K r1
Kr
r0 z0

r
r1
R
K r1
c
R
z

(1)
D
Cr
CR
r
c
z
R
c
D
d

z
2d
注： Morera 定理中的条件可减弱为 只需对区域 D中任一三角形的周界成 立即可.
例1 计算积分
1

2
o
1
是包含 0，在其内部的简单光滑闭 曲线，方向为逆时针方 向. 1
解
方法一
方法二
例 2 计算积分
解
c2
c1
o
1
4
所以
练习
因为
所以
对于r r0 ,
是常数 .
z0 r0
由习题 3 的结论知此常数为 0.
其中c是从 1 到 z 的光滑曲线 .
解
如图所示作支割线 ,当z 为负实数时 , 认为 z 在负实轴上沿 .
其中 lnz 为对数函数的主值支 .

z
1
z
B
C
E
A
1
F
D
1
一般
§2.
柯西积分公式
设 D 是一个单连通区域， f ( z)在 D内解析, z0 D, c为D内一条简单闭曲线 .
问题：
z0 r
f ( z )dz 0,
所以类似于引理 2.2可证 f ( z) 在 G内存在原函数 F ( z). 由于当 z G 时,
F ( z ) f ( z ),
所以 f ( z) 在 G内解析, 所以 f ( z) 在 D内解析.
从而 f ( z) 在 点 a 可导. 由于点 a 是 D内任意一点 ,
答 :不一定 .
推论 如果 D 是单连通域， f ( z) 在 D内解析，则 f ( z) 在 D内有原函数 .
复连通区域的 Cauchy积分定理 设 D 是复连通区域，其边界 曲线 c D由 有限条 Jordan闭曲线 c0 , c1 ,, cn 组成,曲线 c1 ,, cn中每一条都在其余曲线 的外区 域内,而且所有这些曲线都在 曲线 c0内部.沿边界曲线 c正向移动时区域 D的内部永 远保持在左手边 .如果 f ( z )在D上解析 , 则
或
其中ck (k 0,1,2,n) 的方向为逆时针方向 .
C1
C3
C0
C2
例1 计算积分
其中n 是正整数 , c 是一条不通过 a 的逐段光滑 Jordan闭曲线, 方向为逆时针方向 .
解 (1) a在曲线 c 的外面

a源自文库
c
(2) a在曲线 c 的内部
(1)

a
c
n为整数 )
( 2)
例 2 计算积分
D内连接 与的逐段光滑曲线 , 则
证明
设 c 为光滑曲线 , 且的方程为
则
因为
所以
Cauchy 定理的证明
1 c, 0, 使得
D
2

1
K1
n


K n1
n 1
K2

K n2

C
f ( z)在 K1 内有原函数 F1 ( z). 存在有限个圆盘
3

K3

使得

由引理 2.3 得
所以
由于 k k 1构成一条闭折线，所以 由引理2.1 得
推论 如果 D 是单连通域， f ( z ) 在 D 内解析，则复线积分在 D 内与路径无 关.
问题 如果 D 是多连通域， f ( z ) 在 D 内解析，那么复线积分 在 D 内与路径 无关吗 ?
c1
D
c0
c2
柯西积分公式


z
c
证明
由于
所以
c1
D


c0
c2
z
c
由于f ( )在点z连续，所以对任意 0, 存在 0,
使得当 | z | 时，有
所以如果 , 则
即
所以
问题 1 如果z D, 那么
答: 0
问题 2 你能利用 Cauchy积分公式推出 Cauchy积分定理 ?
第三章 复积分
§1.Cauchy 定理
1. 复积分
注：从现在起我们总假 设曲线是光滑的或分段 光滑的
设 f ( z) u( x, y) iv( x, y) 在简单曲线 L 上连续.
y
z k 1

k zk


L

zn
z0

z1
o
x
令
如果 Sn 存在极限 ,
则我们称 f ( z) 沿曲线 L 可积，并称此极限为 f 沿 L 的积分，记作
Morera定理 设 f ( z ) 在区域 D 内连续，且对 D 内任意逐段光滑 Jordan 闭曲线 c, 有 f ( z )dz 0, 则 f ( z ) 在 D 内解析 .
c
证明
a D, R 0, 使得 G U (a, R) D.
D
c1 c2
a
R
c0
由于G 是凸集且对 G内任意三角形 ，有
c1
D
c0
c2
d z
2d
证明
设 c 的长为 L, M max | f ( z ) | . 再假设 0 | h | d , 则对任何 c, 有 zc
所以当 h 0 时，
即
因此
用归纳法可以完成证明 .
推论 如果 f ( z) 在区域 D内解析，则 f ( z) 在 D内有无穷阶导数 .
r
R
(5)
1 设 f ( z ) 4 . 则 f ( z) 在 | z | 1内解析， 所以当 r 1时， z 1
为常数
1 1 M (r ) max | 4 | 4 | z| r z 1 r 1 r rM (r ) 4 , r 1
lim rM ( r ) 0
r
证明
(1) 设 c是一个三角形 Δ的边界，也记作 Δ.
假设
连接三角形各边的中点 ，将三角形 分成四个小三角形，则
等式右边的四个积分中 至少有一个的绝对值大 于或等于 M . 4
（ 记此积分的三角形路径 为 1） ，即
（ （ 对 1） 重复上述过程，得 2） ，满足
由此的序列 {(n) }, 满足
所以 F (r ) 0 (r 1), 从而
f ( z) 和 g ( z) 在 (单连通 )区域 D内解析 在 D内解析且 f ( z) g ( z) 为其原函数
C
E
i
B
1
O

A
1
A
O
i
(1) ( 2)
i
O
1

A
i
F
G
(3)
B
c1 c2
i
O
1

A
i
( 4)
11 .
设 的长度为 U . 则( n)的长度为 Un . 由于当 n 时， 2
所以存在唯一的一个点 z0 包含在每一个三角形 ( n) 中 . ε 0, δ 0, 使得当z D且 0 | z z0 | δ 时，有
或
只要 n 充分大， ( n) 就会包含在 z0 的邻域 | z z0 | 内 所以 .