..平面的基本性质及推论(二)

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1.2.1平面的基本性质及推论（二）

教学目标：理解推论1、2、3的内容及应用 教学重点：理解推论1、2、3的内容及应用 教学过程：

（一） 推论1：直线及其外一点确定一个平面 （二） 推论2：两相交直线确定一个平面 （三） 推论3：两平行直线确定一个平面

（四）例1已知：空间四点A 、B 、C 、D 不在同一平面内． 求证：AB 和CD 既不平行也不相交．

证明：假设AB 和CD 平行或相交，则AB 和CD 可确定一个平面α，则α⊂AB ，α⊂CD ，故α∈A ，α∈B ，α∈C ，α∈D .这与已知条件矛盾.所以假设不成立,即AB 和CD 既不平行也不相交．卡片:1、反证法的基本步骤：假设、归谬、结论；

2、归谬的方式：与已知条件矛盾、与定理或公理矛盾、自相矛盾． 例2已知：平面α⋂平面β=a ，平面α⋂平面γ=b ，平面γ⋂平面β=c 且c b a 、、不重合．

求证：c b a 、、交于一点或两两平行．

证明：(1)若三直线中有两条相交，不妨设a 、b 交于A ． 因为，β⊂a ，故β∈A ，

同理，γ∈A ，

故c A ∈．

所以c b a 、、交于一点．

(2)若三条直线没有两条相交的情况，则这三条直线两两平行． 综上所述,命题得证.

例3已知ABC ∆在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于R Q P 、、．

求证：R Q P 、、三点共线．

证明：设ABC ∆所在的平面为β，则R Q P 、、为平面α与平

面β的公共点，

所以R Q P 、、三点共线．

卡片：在立体几何中证明点共线，线共点等问题时经常要用到公理２．

例4正方体1111D C B A A B C D -

中,E 、F 、G 、H 、K 、L 分别是、、、111D A DD DC BC BB B A 、、111的中点.

求证：这六点共面． 证明：连结BD 和KF ，

因为 L E 、是CB CD 、的中点， 所以 BD EL //．

又 矩形11B BDD 中BD KF //， 所以 EL KF //，

所以 EL KF 、可确定平面α， 所以 L K F E 、、、共 面α，

同理 KL EH //，

A B C P

Q

R

α

C

A A B

B C D D E

F

G

H K

L

1

1

11

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故 L K H E 、、、共面β．

又 平面α与平面β都经过不共线的三点L K E 、、，

故 平面α与平面β重合，所以E 、F 、G 、H 、K 、L 共面于平面α．

同理可证α∈G ，

所以，E 、F 、G 、H 、K 、L 六点共面． 卡片：证明共面问题常有如下两个方法：

(1)接法：先确定一个平面，再证明其余元素均在这个平面上；

(2)间接法：先证明这些元素分别在几个平面上，再证明这些平面重合． 课堂练习：

1.判断下列命题是否正确

(1)如果一条直线与两条直线都相交,那么这三条直线确定一个平面． ( ) (2)经过一点的两条直线确定一个平面． ( ) (3)经过一点的三条直线确定一个平面． ( )

(4)平面α和平面β交于不共线的三点A 、B 、C ． ( ) (5)矩形是平面图形. ( )

2.空间中的四点，无三点共线是四点共面的条件．

3.空间四个平面两两相交，其交线条数为.

4.空间四个平面把空间最多分为部分．

5.空间五个点最多可确定个平面．

6.命题“平面α、β相交于经过点M 的直线a ”可用符号语言表述为.

7.梯形ABCD 中,AB ∥CD ,直线AB 、BC 、CD 、DA 分别与平面α交于点E 、G 、F 、H .那么一定有G 直线EF ,H 直线EF .8.求证：三条两两相交且不共点的直线必共面. 小结：

本节课学习了平面的基本性质的推论及其应用 课后作业：略