二项式定理题型及解题方法(可打印修改)

项
C
r n
a
nr
b
r
的二项式系数是组合数
C
r n
，展开式的系数是单项式
C
r n
a
nr
b
r
的
系数，二者不一定相等.
如(a－b)n 的二项展开式的通项是 Tr1 (1)r Cnr anrbr ，在这里对应项的二项式系数都是 Cnr ，但项的
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系数是 (1)r Cnr ，可以看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．
于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况.
设 f (x) (ax b)n a0 a1x a2 x2 L an xn
(1) 令 x=0，则 a0 f (0) bn
(2)令 x=1，则 a0 a1 a2 L an f (1) (a b)n
(1)项数：共有 n+1 项，比二项式的次数大 1；
(2)二项式系数：第
r+1
项的二项式系数为
C
r n
，最大二项式系数项居中；
(3)次数：各项的次数都等于二项式的幂指数 n．字母 a 降幂排列，次数由 n 到 0；字母 b 升幂排列，
次数从 0 到 n，每一项中，a，b 次数和均为 n；
3.两个常用的二项展开式：
C51(4x3 )4 (3)
C52 (4x3 )3 (3)2
C53 (4x3 )2 (3)3
C54 (4x3 )(3)4
C55 (3)5 ]
1 (1024x15 3840x12 5760x9 4320x6 1620x3 243) 32 x10
32x5 120x2 180 135 405 243 . x x4 8x7 32x10
4.证明有关的不等式问题：
有些不等式，可应用二项式定理，结合放缩法证明，即把二项展开式中的某些正项适当删去(缩
小)，或把某些负项删去(放大)，使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明.①
(1 x)n 1 nx ；② (1 x)n 1 nx n(n 1) x 2 ；（ x 0 ） 2
公式特点：
①它表示二项展开式的第
r+1
项，该项的二项式系数是
C
r n
；
②字母 b 的次数和组合数的上标相同；
③a 与 b 的次数之和为 n.
要点诠释：
（1）二项式(a+b)n 的二项展开式的第 r+1 项 Cnr anrbr 和(b+a)n 的二项展开式的第 r+1 项 Cnrbnr ar 是
有区别的，应用二项式定理时，其中的 a 和 b 是不能随便交换位置的．
3 )9 的展开式的中间两项为为 为为为
为为
3x
3x
【答案】∵ Tr1
C9r
( x )9r 3
(
3 )r x
C9r
32r9
9 3 r
x2
，
∴（1）当 9
3 2
r
0, r
6 时展开式是常数项，即常数项为 T7
C96
33
2268
；
（2） ( x 3 )9 的展开式共10 项，它的中间两项分别是第 5 项、第 6 项， 3x
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【典型例题】
类型一、求二项展开式的特定项或特定项的系数
例 1.
求
2
x
3 2x
2
5 的二项式的展开式．
【思路点拨】 按照二项式的展开式或按通项依次写出每一项，但要注意符号．
【解析】
（1）解法一：
2
x
3 2x
2
5
C50 (2x)5
3 2x2
0
C51 (2 x) 4
二项式定理题型及解题方法
【学习目标】 1．理解并掌握二项式定理，了解用计数原理证明二项式定理的方法． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
【要点梳理】
要点一：二项式定理
1.定义
一般地,对于任意正整数 n ,都有：
(a
b)n
C
0 n
a
n
C
1 n
a
n
1b
L
C
r n
a
nr
b
r
L
C
n n
b
n
【解析】
设二项式的通项为 Tr1
C1r0 (x2 )10r 2 1 x
r
C1r0
20 5 r
x2
1 2
r
，
令 20 5 r Z ，即 r=0，2，4，6，8 时， 20 5 r Z .
2
2
∴ T1
C100
x20
1 0 2
x20 ， T3
C120
x15
1 2 2
45 4
x15 ， T5
x3 的系数为 (1)5 C95 126 .
【变式 2】求 (3 x 1 )15 的展开式中的第 4 项. x
5
【答案】 455x 2 ；
T4 C135 ( 3 x )153 (
1 )3 x
(1)3
C135
15
x6
5
455 x 2
.
【变式 3】（1）求 ( x
3 )9 的展开式常数项； （2）求 ( x
如：求证： 2 (1 1 )n n
5.进行近似计算：
求数的 n 次幂的近似值时，把底数化为最靠近它的那个整数加一个小数(或减一个小数)的形式.
当| x | 充分小时，我们常用下列公式估计近似值：
① (1 x)n 1 nx ；② (1 x)n 1 nx n(n 1) x 2 ； 2
如：求1.056 的近似值，使结果精确到 0.01；
(3)令 x=－1，则 a0 a1 a2 a3 L (1)n an f (1) (a b)n
(4) a0 a2 a4 L
f (1) f (-1) 2
(5) a1 a3 a5 L
f (1) - f (-1) 2
3.利用二项式定理证明整除问题及余数的求法：
如：求证： 32n2 8n 9 能被 64 整除（ n N * ）
【思路点拨】先根据已知条件求出二项式的指数 n，然后再求展开式中含 x 的项．因为题中条件和求解部
分都涉及指定项问题，故选用通项公式．
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【解析】（1）Tr＋1＝ C5r (x3 )5r (
2 )r x2
(2) r C5r x155r
依题意 15－5r＝5，解得 r＝2
故(－2)2 C5r ＝40 为所求 x5 的系数
(a b)5 ……………………………1 5 10 10 5 1
(a b)6 …………………………1 6 15 20 15 6 1
……
……
……
上表叫做二项式系数的表, 也称杨辉三角(在欧洲,这个表叫做帕斯卡三角),反映了二项式系数的性质.表
中每行两端都是 1，而且除 1 以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和.
用组合的思想方法理解(a+b)n 的展开式中 anrbr 的系数 Cnr 的意义：为了得到(a+b)n 展开式中
anrbr 的系数，可以考虑在 (1a 4 b4)(4a42b)4L 4(a443b) 这 n 个括号中取 r 个 b，则这种取法种数为 Cnr ，即为
n
anrbr 的系数． 2. (a b)n 的展开式中各项的二项式系数 Cn0 、 Cn1 、 Cn2 … Cnn 具有如下性质：
3 2x2
C52 (2x)3
3 2x2
2
C53 (2x)2
3 2x2
3
C54
(2
x)
3 2x2
4
C55
3 2x2
5
32 x5
120x2
180 x
135 x4
405 8x7
243 32 x10
解法二：
2x
3 2x2
5
(4x3 3)5 32 x10
1 32 x10
[C50 (4x3 )5
T5
C94
389 x912
42 x3
， T6
C95
3109
915
x2
378
x3
为为 为为为
为为
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例 3．
求二项式
x
2
1 2x
10 的展开式中的有理项．
【思路点拨】
展开式中第
r+1
项为
C1r0 ( x2 )10r
2
1 x
r
，展开式中的有理项，就是通项中
x
的指数
为正整数的项．
(a b)n 展开式中的二项式系数,当 n 依次取 1,2,3,…时,如下表所示:
(a b)1 ………………………………………1 1
(a b)2 ……………………………………1 2 1
(a b)3 …………………………………1 3 3 1
(a b)4 ………………………………1 4 6 4 1
C140
x10
1 4 2
105 8
x10 ，
T7
C160
x5
1 2
6
105 32
x5
， T9
C180
x0
1 2
8
45 256
.
∴二项式
x2
2
1
x
10
③各二项式系数之和为 2n ，即 Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 Cn4 L Cnn 2n ；
④二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，
即
C
0 n
C
2 n
C
4 n
L
C
1 n
C
3 n
C
5 n
L
2n1 .
要点诠释：
二项式系数与展开式的系数的区别
二项展开式中，第
r+1
（2）Tr＋1＝
C
r 6
(2x2)6-r
(
1 x
)
r
＝(－1)r·26-r·
C6r
x123r
依题意 12－3r＝0，解得 r＝4
故
(1)
4
·22
C
2 6
＝60
为所求的常数项．
【总结升华】
1.利用通项公式求给定项时避免出错的关键是弄清共有多少项,所求的是第几项,相应的 r 是多少；
2. 注意系数与二项式系数的区别；
C61(2x)5
C62 (2x)4
C63 (2x)3
C64 (2x)2
C65 (2x) C66 ]
11 xx33
(64x6
192x5
240x4
160x3
60x2
12x 1)
例 2．试求：
2
1
（1）(x3－ x 2 )5 的展开式中 x5 的系数；（2）(2x2－ x )6 的展开式中的常数项；
①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即
C
r n
C
nr n
；
②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其
n
中，当
n
为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数
C
2 n
最大；当
n
为奇数时，二项展开式中间两项的
n1
n1
二项式系数 Cn 2 ， Cn 2 相等，且最大.
① (a b)n Cn0an Cn1an1b L (1)r Cnr anrbr L (1)n Cnnbn ( n N * ) ② (1 x)n 1 Cn1x Cn2 x2 L Cnr xr L xn
要点二、二项展开式的通项公式
二项展开式的通项：
Tr1 Cnr an-r br （ r 0,1,2,L , n ）
3. 在求解过程中要注意幂的运算公式的准确应用.
举一反三：
【变式 1】求 (x2 1 )9 的展开式中 x3 的二项式系数及 x3 的系数. x
【答案】126 ， 126 ；
通项 Tr1
C9r
(x2 )9r (
1 )r x
(1)r
C9r
x183r
，
∵18 3r 3 ，∴ r 5 ，
故展开式中 x3 的二项式系数为 C95 C94 126 ，
【总结升华】 记准、记熟二项式(a+b)n 的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件，对较复
杂的二项式，有时先化简再展开会更简捷．
举一反三：
【变式】求 2
x
1 6 x 的二项式的展开式．
【答案】先将原式化简.再展开．
2
x
1 x
6
2x
1 6 x
1 x3
(2x
1)6
1 x3
[C60 (2x)6
(
n
N
*
)，
这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 等号右边的多项式叫做 (a b)n 的二项展开式.
Hale Waihona Puke 式中的 Cnr anrbr 做二项展开式的通项，用 Tr+1 表示，即通项为展开式的第 r+1 项： Tr1 Cnr anrbr ，
其中的系数 Cnr （r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，
2．二项式(a+b)n 的展开式的特点：
C55
10! 3!2!5!
要点诠释：
三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决.
要点四：二项式定理的应用
1.求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）.
2.利用赋值法进行求有关系数和.
二项式定理表示一个恒等式，对于任意的 a，b，该等式都成立.
利用赋值法（即通过对 a、b 取不同的特殊值）可解决与二项式系数有关的问题，注意取值要有利
3. (a b c)n 展开式中 a pbqcr 的系数求法（ p, q, r 0 的整数且 p q r n ）
(a b c)n
[(a b) c]n
C
r n
(a
b)
nr
c
r
C
r n
C
q nr
a nrqb q c
r
如： (a
b
c)10
展开式中含
a
3b
2
c
5
的系数为
C130
C
2 7
（2）通项是针对在(a+b)n 这个标准形式下而言的，如(a－b)n 的二项展开式的通项是
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Tr1 (1)r Cnr anrbr （只需把－b 看成 b 代入二项式定理）.
要点三：二项式系数及其性质
1.杨辉三角和二项展开式的推导.
在我国南宋，数学家杨辉于 1261 年所著的《详解九章算法》如下表，可直观地看出二项式系数.