丰中子奇A核_37_47_P自旋和宇称的相对论平均场模型研究_王再军
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表 1 P 25-47 的平均结合能和电荷分布的均方根半径，以及 NUBASE2012 核数据表中的结果和 31P 的电荷分布 均方根半径的实验数据
NL-SH
TM2
NL3
Nubase Expt.
E/A/MeV Rrms/fm E/A/MeV Rrms/fm E/A/MeV Rrms/fm E/A/MeV Rrms/fm 25P 6.832 3.296 6.971 3.375 6.852 3.312 6.812# —
能、质子和中子分布的均方根半径、单粒子能级等。
2 数值结果和讨论
这一部分给出相对论平均场理论对奇A核25-47P的 计算结果，并对结果进行讨论。表1列出了NL3、TM2和 NL-SH参数计算的平均结合能（E/A）和电荷分布的均 方根半径（Rrm）s ，同时也给出了最新发布的NUBASE2012核
数据表中的结果。
（天津职业技术师范大学理学院，天津 300222）
摘 要： 用相对论平均场模型结合 NL3、TM2 和 NL-SH 参数对 P 的奇 A 核同位素的 2s1/2 和 1d3/2 单质子能级变化趋 势以及自旋和宇称进行了理论计算。发现丰中子同位素 37-47P，尤其是 47P 中可能存在 2s1/2 和 1d3/2 单质子能级反转。 对于 37P 和 39P，TM2 和 NL-SH 参数给出的自旋和宇称是（3/2）+，NL3 给出的是（1/2）+；对于 41-47P，NL3、TM2 和 NL-SH 给出的自旋和宇称都是（3/2）+。自旋和宇称的结果只有部分和 NUBASE2012 中的估计值是一致的。 关键词： 相对论平均场模型；自旋；宇称；能级反转；P 同位素 中图分类号： O571.21 文献标识码： A 文章编号： 2095 － 0926（2014）01 － 0001 － 04
Abstract ： The 2s1/2 and 1d3/2 single - proton energy levels and the spin and parity values of the odd - A P isotopes are studied by using the relativistic mean field model with the NL3 ， TM2 and NL - SH parameters . Results show that the 2s1/2 and 1d3/2 proton level inversion may exist in the neutron - rich isotopes 37 -47P ， especially in 47P . For the spins and parities ， the predictions for 37P and 39P with TM2 and NL - SH parameters are （ 3 / 2 ） + ， and those with NL3 are （ 1 / 2 ） + ； the predictions for P 41-47 with TM2 ， NL - SH and NL3 are all （ 3 / 2 ） + . Only part of the results of the predicted spin and parity values agree with the estimates given by the NUBASE2012 . Key words： relativistic mean field model；spin；parity；level inversion；P isotopes
L = Ψ 鄣iγμ鄣μ - m 鄣Ψ - gσΨσΨ - gωΨγμωμΨ -
gρΨγμρμaaτaΨ +
1 2
μ
鄣 σ鄣μσ -
1 2
2
m
σ2-
σ
1 2
g2σ3
-
ห้องสมุดไป่ตู้
1 4
g3σ4 -
1 4
Ω
Ω μv μv
+
1 2
mω2ωμωμ +
1 4
c3 鄣ωμωμ
鄣2 -
1 4
Ra μ·v Ra μ v +
1 2
自旋和宇称是原子核的两个基本性质。在大多数 情况下，研究原子核的其他性质时，或是研究有原子 核参与的核过程时，所涉及的原子核的自旋和宇称都 需要是已知的。对于稳定原子核，自旋和宇称的实验 测量早已不是问题。现在，所有已知稳定的原子核和 大多数长寿命原子核的自旋和宇称都已确定。而对于 很多不稳定的原子核，由于其寿命短，目前实验上准 确测量它们的自旋和宇称还很困难。在最新发布的 NUBASE2012[1]核数据表中，大多数短寿命的原子核的 自旋和宇称都是根据相同质子数或相同中子数的临 近原子核的自旋和宇称趋势估算得来的。本文将用相 对论平均场理论对P原子核的奇核子同位素进行计 算，对其丰中子同位素37-47P的自旋和宇称进行预测。P 原子核的奇核子同位素由偶数个中子和15个质子组
35P 8.461 3.214 8.494 3.285 8.475 3.227 8.446 —
37P 8.283 3.223 8.333 3.300 8.292 3.242 8.268 —
39P 8.083 3.242 8.146 3.315 8.081 3.257 8.099 —
41P 7.900 3.259 7.969 3.332 7.886 3.273 7.907 —
从 图 1 中 看 到 ，3 套 参 数 给 出 平 均 结 合 能 和 NUBASE2012给出的结果都相差很小，趋势一致；从图 2中看到，3套参数给出的电荷分布的均方根半径变化 趋 势 也 一 致 ，NL -SH 和 NL3 给 出 的 结 果 比 较 接 近 ，但 TM2给出的结果相对偏大，对于31P，实验值更接近于 NL-SH和NL3的预言值。从上述分析得出，不论是稳定 同位素还是不稳定同位素，相对论平均场理论对P原子 核的计算结果总体是可靠的。但进一步对单核子能级的
mρ2ρa μρμa -
1 4
F
F μ v μv
-
eΨγ
μAμ
1 2
鄣1 - τ3 鄣Ψ
其中：
Ω μv = 鄣μωv - 鄣vωμ
Ra μ v = 鄣μρa v - 鄣 vρa μ
F μ v = 鄣μA v - 鄣 vAμ
这里：m、mσ、mω 和 mρ 分别为核子、σ 介子、ω 介子
和 ρ 介子的质量；α =1/137为电磁作用常数。核子场和
1 相对论平均场理论简述
原子核相对论平均场模型现在已经发展成为一 个标准的原子核结构理论，被广泛用来描述原子核的
收稿日期： 2014-02-25 基金项目： 国家自然科学基金项目（11275138，10675090）；天津职业技术师范大学科研发展基金项目（KJYB11-3）. 作者简介： 王再军（1964 —），男，教授，研究方向为理论核物理.
成。根据原子核的壳模型理论，这些同位素的自旋和 宇称应由其最外面的一个价质子决定。但是，由于P 原子核属于s-d壳区，其某些丰中子同位素中可能会 出现2s1/2能级和1d3/2能级反转，这就会导致这些同位 素的自旋和宇称发生变化。本文将用相对论平均场理 论 结 合 NL3 [2-3]、TM2 [4] 和 NL -SH [5] 参 数 计 算 这 些 变 化 ， 以期使这些计算结果能对丰中子P原子核的研究提 供有用的参考，并且能对相对论平均场理论及其不同 的参数对不稳定原子核的有效性检验提供新的结果。
·2·
天津职业技术师范大学学报
第 24 卷
结构。大量的计算表明[6-9]，该理论可以很好地描述稳
定原子核甚至是不稳定原子核的基态和低激发态的
一些性质。该理论的详细内容可以参见文献[6-10]，这
里只对其主要内容做一简述。在相对论平均场模型
中，包含核子场 Ψ、σ 介子场、ω 介子场、ρ 介子和电磁
场 Aμ 作用项的原子核体系的拉格朗日密度为：
27P 7.559 3.204 7.719 3.274 7.563 3.215 7.663 —
29P 8.151 3.153 8.320 3.219 8.141 3.160 8.251 —
31P 8.325 3.166 8.442 3.234 8.353 3.170 8.481 3.191
33P 8.417 3.190 8.488 3.259 8.442 3.199 8.514 —
-△A（0 r）= eρ（p r） 这里：M（* r） = m + gσσ（r）为 σ 介子的有效质量；V（r） 是洛仑兹矢量的类时分量；ρs、ρv 和ρp分别为标量粒
子，重子和质子的密度，ρ3 为中子和质子的密度差。上
面这组耦合方程可以用自洽叠代方法进行数值求解
得到核子的分布，然后可以进一步计算原子核的结合
V（r）=
gωω（0 r） +
a
gρτaρ（0 r）+
e 鄣鄣1 - τ3
鄣/2
鄣A（0 r）
鄣-△ + mρ2 鄣σ（r）= - gσ ρ（s r）- g2σ（2 r）- g3σ（3 r）
鄣-△ + mω2 鄣ω（0 r）= gω ρ（v r）- c3 ω03 （r）
鄣-△ + mρ2 鄣ρ（0 r）= gρ ρ（3 r）
介子场之间的有效作用常数分别为 gσ、gω 和 gρ。g2和 g3为 σ 介子场的非线性耦合常数，c3表示 ω 介子场的 自作用常数；τa 和 τ3分别为泡利矩阵及其第三分量。
在不考虑费米海的情况下，利用变分原理可以得
到一组耦合方程为：
△
△-iα· + βM（* r）+ V（r）r准（i r）= εi准（i r）
Spins and parities of neutron-rich odd-A P 37-47 and relativistic mean field model
WANG Zai-jun
（School of Science， Tianjin University of Technology and Education， Tianjin 300222， China）
第 24 卷 第 1 期 2014 年 3 月
天津职业技术师范大学学报 JOURNAL OF TIANJIN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY AND EDUCATION
Vol.24 No.1 Mar. 2014
丰中子奇 A 核 P 37-47 自旋和宇称的相对论平均场模型研究
王再军
43P 7.695 3.276 7.782 3.349 7.691 3.289 7.690 —
45P 7.473 3.291 7.538 3.365 7.478 3.304 7.470# —
47P 7.237 3.306 7.293 3.380 7.269 3.317 7.200# —
表中31P的电荷分布均方根半径的实验值来自文 献[11]。另外，31P电荷分布的均方根半径还有2个实验 结果，分别是3.193 fm 和3.187 fm[12]。对比3套参数给出 的平均结合能和电荷分布的均方根半径以及 NUBASE2012给出的数据，可以得到如下结果：①对于 平均结合能，NL3、TM2和NL-SH3套参数给出的结果 的绝对差值不超过0.18 MeV，相对差值不超过2.19%； 给出的平均结合能与NUBASE2012给出的数据的绝对 差值不超过0.16 MeV，相对差值不超过2.33%。②对于 电荷分布的均方根半径，3套参数给出的结果的绝对 差值不超过0.079 fm，相对差值不超过2.38%。③对于 31P，3套参数给出的平均结合能的理论值与实验值的 绝对偏离只有0.156 MeV，相对偏离为1.87%；给出的 电荷分布的均方根半径与实验值的绝对偏离只有 0.047 fm，相对差值为1.47%。为了能看出3套参数给出 的理论值与实验值的总体变化关系和趋势，在图1中 给出了平均结合能的理论值和实验值随中子数的变 化曲线，图2给出了电荷分布的均方根半径随中子数 的变化曲线，图中的空心圆点为31P的实验值。
第1期
王再军：丰中子奇 A 核 P 37-47 自旋和宇称的相对论平均场模型研究
·3·
E/A/MeV
8.6
8.4
8.2
8.0
7.8
7.6
7.4
NL-SH
7.2
TM2
7.0
NL3 NUBASE2012
6.8
25
30
35
40
45
50
N
图 1 平均结合能的理论值和实验值随中子数的变化曲线
NL-SH
TM2
NL3
Nubase Expt.
E/A/MeV Rrms/fm E/A/MeV Rrms/fm E/A/MeV Rrms/fm E/A/MeV Rrms/fm 25P 6.832 3.296 6.971 3.375 6.852 3.312 6.812# —
能、质子和中子分布的均方根半径、单粒子能级等。
2 数值结果和讨论
这一部分给出相对论平均场理论对奇A核25-47P的 计算结果，并对结果进行讨论。表1列出了NL3、TM2和 NL-SH参数计算的平均结合能（E/A）和电荷分布的均 方根半径（Rrm）s ，同时也给出了最新发布的NUBASE2012核
数据表中的结果。
（天津职业技术师范大学理学院，天津 300222）
摘 要： 用相对论平均场模型结合 NL3、TM2 和 NL-SH 参数对 P 的奇 A 核同位素的 2s1/2 和 1d3/2 单质子能级变化趋 势以及自旋和宇称进行了理论计算。发现丰中子同位素 37-47P，尤其是 47P 中可能存在 2s1/2 和 1d3/2 单质子能级反转。 对于 37P 和 39P，TM2 和 NL-SH 参数给出的自旋和宇称是（3/2）+，NL3 给出的是（1/2）+；对于 41-47P，NL3、TM2 和 NL-SH 给出的自旋和宇称都是（3/2）+。自旋和宇称的结果只有部分和 NUBASE2012 中的估计值是一致的。 关键词： 相对论平均场模型；自旋；宇称；能级反转；P 同位素 中图分类号： O571.21 文献标识码： A 文章编号： 2095 － 0926（2014）01 － 0001 － 04
Abstract ： The 2s1/2 and 1d3/2 single - proton energy levels and the spin and parity values of the odd - A P isotopes are studied by using the relativistic mean field model with the NL3 ， TM2 and NL - SH parameters . Results show that the 2s1/2 and 1d3/2 proton level inversion may exist in the neutron - rich isotopes 37 -47P ， especially in 47P . For the spins and parities ， the predictions for 37P and 39P with TM2 and NL - SH parameters are （ 3 / 2 ） + ， and those with NL3 are （ 1 / 2 ） + ； the predictions for P 41-47 with TM2 ， NL - SH and NL3 are all （ 3 / 2 ） + . Only part of the results of the predicted spin and parity values agree with the estimates given by the NUBASE2012 . Key words： relativistic mean field model；spin；parity；level inversion；P isotopes
L = Ψ 鄣iγμ鄣μ - m 鄣Ψ - gσΨσΨ - gωΨγμωμΨ -
gρΨγμρμaaτaΨ +
1 2
μ
鄣 σ鄣μσ -
1 2
2
m
σ2-
σ
1 2
g2σ3
-
ห้องสมุดไป่ตู้
1 4
g3σ4 -
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Ω
Ω μv μv
+
1 2
mω2ωμωμ +
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c3 鄣ωμωμ
鄣2 -
1 4
Ra μ·v Ra μ v +
1 2
自旋和宇称是原子核的两个基本性质。在大多数 情况下，研究原子核的其他性质时，或是研究有原子 核参与的核过程时，所涉及的原子核的自旋和宇称都 需要是已知的。对于稳定原子核，自旋和宇称的实验 测量早已不是问题。现在，所有已知稳定的原子核和 大多数长寿命原子核的自旋和宇称都已确定。而对于 很多不稳定的原子核，由于其寿命短，目前实验上准 确测量它们的自旋和宇称还很困难。在最新发布的 NUBASE2012[1]核数据表中，大多数短寿命的原子核的 自旋和宇称都是根据相同质子数或相同中子数的临 近原子核的自旋和宇称趋势估算得来的。本文将用相 对论平均场理论对P原子核的奇核子同位素进行计 算，对其丰中子同位素37-47P的自旋和宇称进行预测。P 原子核的奇核子同位素由偶数个中子和15个质子组
35P 8.461 3.214 8.494 3.285 8.475 3.227 8.446 —
37P 8.283 3.223 8.333 3.300 8.292 3.242 8.268 —
39P 8.083 3.242 8.146 3.315 8.081 3.257 8.099 —
41P 7.900 3.259 7.969 3.332 7.886 3.273 7.907 —
从 图 1 中 看 到 ，3 套 参 数 给 出 平 均 结 合 能 和 NUBASE2012给出的结果都相差很小，趋势一致；从图 2中看到，3套参数给出的电荷分布的均方根半径变化 趋 势 也 一 致 ，NL -SH 和 NL3 给 出 的 结 果 比 较 接 近 ，但 TM2给出的结果相对偏大，对于31P，实验值更接近于 NL-SH和NL3的预言值。从上述分析得出，不论是稳定 同位素还是不稳定同位素，相对论平均场理论对P原子 核的计算结果总体是可靠的。但进一步对单核子能级的
mρ2ρa μρμa -
1 4
F
F μ v μv
-
eΨγ
μAμ
1 2
鄣1 - τ3 鄣Ψ
其中：
Ω μv = 鄣μωv - 鄣vωμ
Ra μ v = 鄣μρa v - 鄣 vρa μ
F μ v = 鄣μA v - 鄣 vAμ
这里：m、mσ、mω 和 mρ 分别为核子、σ 介子、ω 介子
和 ρ 介子的质量；α =1/137为电磁作用常数。核子场和
1 相对论平均场理论简述
原子核相对论平均场模型现在已经发展成为一 个标准的原子核结构理论，被广泛用来描述原子核的
收稿日期： 2014-02-25 基金项目： 国家自然科学基金项目（11275138，10675090）；天津职业技术师范大学科研发展基金项目（KJYB11-3）. 作者简介： 王再军（1964 —），男，教授，研究方向为理论核物理.
成。根据原子核的壳模型理论，这些同位素的自旋和 宇称应由其最外面的一个价质子决定。但是，由于P 原子核属于s-d壳区，其某些丰中子同位素中可能会 出现2s1/2能级和1d3/2能级反转，这就会导致这些同位 素的自旋和宇称发生变化。本文将用相对论平均场理 论 结 合 NL3 [2-3]、TM2 [4] 和 NL -SH [5] 参 数 计 算 这 些 变 化 ， 以期使这些计算结果能对丰中子P原子核的研究提 供有用的参考，并且能对相对论平均场理论及其不同 的参数对不稳定原子核的有效性检验提供新的结果。
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天津职业技术师范大学学报
第 24 卷
结构。大量的计算表明[6-9]，该理论可以很好地描述稳
定原子核甚至是不稳定原子核的基态和低激发态的
一些性质。该理论的详细内容可以参见文献[6-10]，这
里只对其主要内容做一简述。在相对论平均场模型
中，包含核子场 Ψ、σ 介子场、ω 介子场、ρ 介子和电磁
场 Aμ 作用项的原子核体系的拉格朗日密度为：
27P 7.559 3.204 7.719 3.274 7.563 3.215 7.663 —
29P 8.151 3.153 8.320 3.219 8.141 3.160 8.251 —
31P 8.325 3.166 8.442 3.234 8.353 3.170 8.481 3.191
33P 8.417 3.190 8.488 3.259 8.442 3.199 8.514 —
-△A（0 r）= eρ（p r） 这里：M（* r） = m + gσσ（r）为 σ 介子的有效质量；V（r） 是洛仑兹矢量的类时分量；ρs、ρv 和ρp分别为标量粒
子，重子和质子的密度，ρ3 为中子和质子的密度差。上
面这组耦合方程可以用自洽叠代方法进行数值求解
得到核子的分布，然后可以进一步计算原子核的结合
V（r）=
gωω（0 r） +
a
gρτaρ（0 r）+
e 鄣鄣1 - τ3
鄣/2
鄣A（0 r）
鄣-△ + mρ2 鄣σ（r）= - gσ ρ（s r）- g2σ（2 r）- g3σ（3 r）
鄣-△ + mω2 鄣ω（0 r）= gω ρ（v r）- c3 ω03 （r）
鄣-△ + mρ2 鄣ρ（0 r）= gρ ρ（3 r）
介子场之间的有效作用常数分别为 gσ、gω 和 gρ。g2和 g3为 σ 介子场的非线性耦合常数，c3表示 ω 介子场的 自作用常数；τa 和 τ3分别为泡利矩阵及其第三分量。
在不考虑费米海的情况下，利用变分原理可以得
到一组耦合方程为：
△
△-iα· + βM（* r）+ V（r）r准（i r）= εi准（i r）
Spins and parities of neutron-rich odd-A P 37-47 and relativistic mean field model
WANG Zai-jun
（School of Science， Tianjin University of Technology and Education， Tianjin 300222， China）
第 24 卷 第 1 期 2014 年 3 月
天津职业技术师范大学学报 JOURNAL OF TIANJIN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY AND EDUCATION
Vol.24 No.1 Mar. 2014
丰中子奇 A 核 P 37-47 自旋和宇称的相对论平均场模型研究
王再军
43P 7.695 3.276 7.782 3.349 7.691 3.289 7.690 —
45P 7.473 3.291 7.538 3.365 7.478 3.304 7.470# —
47P 7.237 3.306 7.293 3.380 7.269 3.317 7.200# —
表中31P的电荷分布均方根半径的实验值来自文 献[11]。另外，31P电荷分布的均方根半径还有2个实验 结果，分别是3.193 fm 和3.187 fm[12]。对比3套参数给出 的平均结合能和电荷分布的均方根半径以及 NUBASE2012给出的数据，可以得到如下结果：①对于 平均结合能，NL3、TM2和NL-SH3套参数给出的结果 的绝对差值不超过0.18 MeV，相对差值不超过2.19%； 给出的平均结合能与NUBASE2012给出的数据的绝对 差值不超过0.16 MeV，相对差值不超过2.33%。②对于 电荷分布的均方根半径，3套参数给出的结果的绝对 差值不超过0.079 fm，相对差值不超过2.38%。③对于 31P，3套参数给出的平均结合能的理论值与实验值的 绝对偏离只有0.156 MeV，相对偏离为1.87%；给出的 电荷分布的均方根半径与实验值的绝对偏离只有 0.047 fm，相对差值为1.47%。为了能看出3套参数给出 的理论值与实验值的总体变化关系和趋势，在图1中 给出了平均结合能的理论值和实验值随中子数的变 化曲线，图2给出了电荷分布的均方根半径随中子数 的变化曲线，图中的空心圆点为31P的实验值。
第1期
王再军：丰中子奇 A 核 P 37-47 自旋和宇称的相对论平均场模型研究
·3·
E/A/MeV
8.6
8.4
8.2
8.0
7.8
7.6
7.4
NL-SH
7.2
TM2
7.0
NL3 NUBASE2012
6.8
25
30
35
40
45
50
N
图 1 平均结合能的理论值和实验值随中子数的变化曲线