信号分析_第5章小波变换详解

➢其中的因子1/ a 的作用是保证不同的尺度下，函数 a,b(t) 与母小波的能量相同
4
3 尺度因子 1) a 对小波函数的时域影响
t
5
2) a 对分析小波的频域影响
ˆ (a)
ˆ (a)
ˆ (a)
1/ 2,b (t)
20
1,b (t)
0
2,b (t)
0 / 2
2
/ 2
t
6
尺度因子在小波变换中物理解释 (1)当用较小的a对信号作高频分析时，实际上是用高频 小波对信号作细致观察； (2)当用较大的a对信号作低频分析时，实际上是用低频 小波对信号作概貌观察；
Ws (a,b) 2
S ()ˆ *(a)e jbd 1
2
S (),ˆa,b ()
作业7-1 (1)证明: 因子 1/ a 的作用是保证不同的尺度下，
函数 与a,b母(t)小波的能量相同，即具有保范性。
(2)证明下面公式
a,b (t)
1 a
t
b a
来自百度文库
ˆ a ,b
()
aˆ (a)e jb
Ws (a,b)
12
20 0
0 / 2
2
/ 2
t
时窗中心
t* at0 b
频窗中心
* 0
a
时窗宽度
ta,b at
频窗宽度
a, b
a
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(5) . 窗口特性
i) 时窗和频窗中心分别随a和1/a成正比例变化；
ii) 时窗宽度和频窗宽度分别随a和1/a发生变化；
ⅲ) 窗口面积不变；
iv)ˆa,b (是) 具有恒品质因数带通滤波器频域传递函数；
从而严格地将的波形约束为“一小段波” 。
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容许条件： if (t) ˆ()
ˆ () 2
then :
0
d
容许条件的含义：比上面的约束条件严格，
严格地将的波形约束为“一小段波”
母小波的特点：
(1)
小波具有波动性，
(t)dt
0
,
表明是波动的
(2) 小波具有时、频域紧支撑，包络衰减快;
(3)小波具有带通滤波器特性, (t) 可理解为一个
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说明：
信号s(t)的小波变换 Ws (a,b)是a和b的函数。 母小波可以是实函数，也可以是复函数。
a,b (t)在时域是有限支撑的，则和s(t)作内积后，将
保证小波变换 Ws (a,b) 在时域也是有限支撑的，从 而是实在b现附所近希的望性的质时域定位功能。Ws (a,b)所反映的，
若ˆa,b ()具有带通特性，即在频域，围绕着中心频率
1 a
t
b a
，是窗函数
(t)的时间平移b和尺度伸缩 a 的结果
窗函数 (t) 称为母小波.
a,b (t)
1 a
t
b a
,
a
0, b
R
小波函数序列
2
2. 小波变换的频域定义
s(t) S()
(t) ˆ ()
a,b (t)
1 a
t
b a
ˆ a ,b
()
aˆ (a)e jb
a
a,b (t)是具有恒品质因数带通滤波器的冲激响应
Q
带宽 中心频率
a,b *
0
constant
v) 时、频窗口具有自适应变化特性。
*低 t 宽 a,b窄
a, b
*高 窄 ta,b a,b宽
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6. 小波变换与短时Fourier变换的比较
f
(a)
(b)
t
短时Fourier变换的基函数和时频网格
Ws (a,b)
s(t
)
* a ,b
(t
)dt
s(t), a,b(t)
内积 s(t), hn (t) 反映了信号s(t) 与 hn (t) 的相似程度
小波变换就是通过信号 s(t) 与小波函数 (t)
的不同尺度伸缩和时移作内积或比较，得到 相应的频率分量，来对信号进行分解。
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主要内容
连续小波变换的基本概念 小波变换的性质 小波分类和常见的小波
带通滤波器的冲激响应
ˆ (0) 0, 又是紧支撑的
(4)小波 (t) 和一般的窗函数一样，满足
| (t) | dt
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5. 小波基
1) 定义 (t) 经伸缩、平移构成小波基函数。即：
a,b (t)
1 a
t
a
b
a 0,b R
{ a,b (t)}为小波基
a , a,b(t)时宽 ˆa,b()频宽
第7章 小波分析
主要内容
连续小波变换的基本概念 小波变换的性质 小波分类和常见的小波
离散小波变换
1
1. 连续小波变换的时域定义
Ws (a,b)
1 a
s(t
)
*
t
a
b
dt
Ws (a,b)
s(t
)
* a,b
(t
)dt
s(t), a,b (t)
where
核函数a,b (t) a,b (t)
)
||
(t* t)2
| a,b (t) |2
1/ 2
dt
at
t 为 a 1 , b 0 之时窗宽度
频窗宽度
a,b
||ˆ
1
a,b ()
||
(* )2
|ˆa,b () |2
d
1/
2
a
为 a 1 ,b 0 之频窗宽度
4) 窗口面积
ta,b a,b
at
a
t
窗口面积与 a，b无关，只由小波母函数决定
f
(a)
(b)
t
小波变换的基函数和时频网格 15
H(f )
H(f )
f0 2 f0
4 f0
8 f0
(a)短时Fourier变换等效滤波器带宽
f0 2 f0
4 f0
8 f0
(b) 小波变换等效滤波器带宽
频域等分辨是短时Fourier变换所固有的特性 频域多分辨是小波变换的一种固有特性
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7. 小波变换的物理意义
a
2
S ()ˆ *(a)e jbd 1
2
S (),ˆa,b () 3
解释
➢小波变换可以理解为用一组分析宽度不断变化的基 函数对信号s(t)进行分析，这一变化正好适应了对信 号分析时在不同的频率范围需要不同的分辨率这一基 本要求 ➢参数b的作用是确定对分析信号s(t)的时间位置，即 时间中心。
➢参数a 的作用是把基本小波进行伸缩。
2) 窗口中心
时窗中心
t0
t*
1
|| a,b (t)
||2
t
| a,b (t)
|2
dt
at0
b
为 a 1 , b 0 之时窗中心
频窗中心
*
1
||ˆa,b ()
||2
|ˆa,b ()
|2
d
0
a
0 为 a 1 , b 0 之频窗中心
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3) 窗口宽度
时窗宽度
t a,b
||
1 a,b (t
是有限支撑的，则 S () 和 ˆa,b () 的内积，也将反映
S ()在窗口中心频率处的局部性质，从而实现所
期望的频率定位功能。
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4. 小波(基本小波、母小波)
如果 (t) L2(R)，且满足约束条件
(t)dt 0
则称为 (t) 为连续小波，或母小波。
约束条件的物理意义： 是必要条件而不是充分条件。 约束条件再加上能量集中特性(时域紧支撑特性)，