(完整版)圆锥曲线的统一焦半径公式在解题中的应用

圆锥曲线的统一焦半径公式

在解题中的应用

宜昌二中 黄群星

我们在解决有关直线与圆锥曲线的关系问题时，经常会用到焦半径公式。解决这类问题，我们可以用到的公式有：平面上两点之间的距离公式，弦长公式，三种圆锥曲线的焦半径公式，和圆锥曲线的统一焦半径公式。最后一个公式往往被大家忽视，现在我想专门谈谈这个公式的使用。

一．在椭圆中的运用：

例1：已知椭圆22221(0)x y a b a b

+=>>

的离心率为2，过右焦点F 且斜率为k （>0）的直

线与C 相交与A,B 两点，若3AF FB =,求k 的值。

解法一：∵

2e =

∴1

2

b a = 设椭圆的方程为22

221,4x y b b

+=

右焦点为,0)，

设直线的方程为my x =-

，设1122(,),(,)A x y B x y

222440

x y b my x ⎧+-=⎪⎨

=⎪

⎩222(4)0m y b ⇒++-= ∵3AF FB

=1122,)3(,)x y x y ⇒--=123y y ⇒=-①

122

(4)y y m -+=+ ② 2

122

(4)

b

y y m -⋅=+ ③ 将①带入②得

1224y y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪+⎩

∴2221222

94(4)m b b y y m m --⋅==++212m ⇒= k>0, ∴m>0,

∴2

m k ==解法二;

由题意得3AF FB =

=

cos θ⇒=

∴sin tan k θθ=

==即 评述：解法二应用了圆锥曲线的统一焦半径公式，从而大大简化了解题的过程。那么，在什么情况下可以用这个公式呢？

先看这个公式的结构：1cos ep

PF e θ

=

±，其中，e 是离心率，P 为焦准距，θ是过焦点

的直线的倾斜角，正是由于倾斜角的存在，使得这个公式在解决有关过焦点的直线的斜率和倾斜角的问题时相当便捷，而且，公式是根据圆锥曲线的统一定义推导出来，对椭圆，双曲线和抛物线都适用，这是它的一大优越之处。 二．在双曲线中的运用：

例2：双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12,l l ，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12,l l 于A,B 两点，已知,,OA AB OB 成等差数列，且,BF FA 同向 ① 求双曲线的离心率

② 设直线AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程。 解：① 如图 ∵FA=b,OF=c, ∴OA=a ,∵OF 平分角∠AOB ∴OA AF

OB BF

=

设FB=mb,OB=m a ,则有2AB OA OB =+

即12(1)22

b m b a ma e a +=+⇒

=∴= ② 设直线AB 的倾斜角为θ

, cos 5b c θ=

= ∴ 41cos 1cos ep ep

e e θθ

+=+-

4p p

+=

2

a P c c ⇒=-=有∵

6,32

c a c b a ===∴= ∴ 双曲线的方程为

22

1369

x y

-= 评述：双曲线的焦半径公式PF =a ex ±，由于正负号和绝对值符号的存在，使得这个公

式在运用起来又很多不方便，而统一焦半径公式正好巧妙的解决了这一问题。

三．在抛物线中的使用：

例3：平面上一点P 到点F （1,0）的距离与它到直线x=3的距离之和为4， ① 求点P 的轨迹方程

② 过A 的直线与轨迹C 交与MN 两点，求

MN 得最大值

解：①设P （x,y ）,

34x -= 当3x ≥时，

347x x -=⇒=-

212(4)y x ⇒=--

当3x ≥

时，

341x x -==+

24y x ⇒=

点P 的轨迹方程为2

12(4)(34)y x x =--≤≤ （P=2）

24(03)y x x =≤< (P=6)

② 当0

[0,60]θ∈时，268

1cos 1cos 1cos MN MF FN θθθ

=+=+=

+++

当00

(60,120)θ∈时，2

2641cos 1cos sin MN MF FN θθθ=+=+=+- 当00

[120,180)θ∈时，2681cos 1cos 1cos MN MF FN θθθ

=+=+=

--- 00

00200

8,[0,60]1cos 4

,(60,120)

sin 8,[120,180)1cos MN θθ

θθθθ

⎧∈⎪+⎪⎪∴=∈⎨⎪⎪∈⎪-⎩

当0

[0,60]θ∈时 81613

12

MN <

=

+ 当00

(60,120)θ∈时 1643

MN ≤≤ 当0

[120,180)θ∈时163

MN ≤

综上，当0

60120θθ==或时，163

MN 有最大值

评述：这个题目涉及到两条抛物线，而要求的弦长不一定是来自于直线和同一条抛物线的交点，另外，开口向右的那条抛物线又不是标准方程，所以要用坐标形式的焦半径公式可