高中数学第九章-球..

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课程目202标1/3/1球4 的概念 截面性质
2021/3/14 地球经纬 球的画法 例题讲解
大圆小圆 球面距离 2
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封底
r R2d2
ß
O
Rd
r
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§9.10球和它的性质
截面性质
1.球心和截面圆心的连线垂直于该截面．
证明:
∵OD=OC，DK=KC,
∴OK⊥DC;
同理OK ⊥AB.
∴OK⊥截面⊙K.
O
A
D
K
C
B
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§9.10球和它的性质
截面性质
2.球心到截面的距离d与球 的半径R和截面半径r有下面 的关系: d R2r2
例题讲解
3 1 O 1 O 2 O 2 O 1 O R c3 o 0 s R c6 o 0 s2R
连 A 结 2 ,在 O R A t1 O O 2 中，
A22 O O 1O 22O 1A 274 23R 2
A
面 A2O 面 B O 2 ,O B 2 O O O 2 , O
B2O 面 AO 2. O
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§9.10球和它的性质
例6、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长
为a,它的各个顶点都在球O的球面上，求球
O的表面积。
D
C
略 解 ： R tΔ 1D1DB中:
( 2 R2)a2 (
2a )2,得 R
3a 2
S 4 π R2 3 π2a
A
D1 A1
B O
C1
B1
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§9.10球和它的性质
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§9.10球和它的性质
３.理论根据
球面距离
结合平面几何知识:在以两个定点为端点的弧中，半 径越大弧长越小.(见右图）显然，在球面上北京、纽约 间的最短距离是过这两点的大圆上劣弧的长.
Q P
m
O1
A
B
O
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§9.10球和它的性质
经度纬度
经度的定义
纬度的定义
模拟演示
模拟演示
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③当 0dR时，截面称 . 作小圆
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§9.10球和它的性质
大小圆的定义
大圆小圆
1.大圆：球面被经过球心
的 平面截得的圆叫做大 圆.如⊙O(浅蓝色圆面）.
2.小圆：球面被不经过球 心的平面截得的圆叫做小
圆. 如⊙O′(黄色圆面）.
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o
O
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§9.10球和它的性质
Q
O
P
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§9.10球和它的性质
球面距离
2.两点的球面距离公式
⌒PQ的长度 R
➢球面上两点距离不能通过 解三角形直接求得，一般地 是先求出大圆半径R和这两 点在大圆上的劣弧所对的圆 心角θ，再求出弧长L=Rθ.
➢飞机、轮船都是尽可能以 大圆弧为航线航行.
Q
O
P
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关键求球心角，要求球
O1
心角，关键是求两点间
A
的直线距离（弦长）.在
O
纬圆中求弦长，在大圆
中求球心角及球面距离.
S
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§9.10球和它的性质
例题讲解
O2 B
O1
A
A
O
N O2 B O1 O
S
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§9.10球和它的性质
例题讲解
例3.设点A位于地球(半径为R)上东经44°、北纬30°处，点B 位于东经134°、北纬60°处，求A、B两点间的球面距离.
在AO中 B ，
N O2 B
O1
OA2 OB2 AB2 cosAOB
2OAOB
A
O
R2 R2 （ 2 3） R2
2
3
2 R R 3 4
AOBarccos.
4
A、B两点间的球面距离为
Rarccos 3 . 4
A
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O2 S B
O1
O
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§9.10球和它的性质
例4．两平行平面截半径为13的球，若截面面积
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§9.10球和它的性质
经度纬度
1.地球的经度
北极
➢ 地球的经线就是球面上从 北极到南极的半个大圆.
本 初
P
地
➢某点的经度是经过这点
子
的经线和地轴确定的半平 午
轴
面与0度经线(本初子午线) 线 和地轴确定的半平面所成 A 二面角的度数.
O 道
赤 B
➢由地理知识知：AOB为P点所在经线的经度.
m
O1
B O
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§9.10球和它的性质
天哪!原 来如此!
球面距离
m
O1
A
B
O
⌒ 大圆中 AmB 的
长 中度⌒AB小长于度纬圆
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§9.10球和它的性质
1.定义
球面距离
球面上两点之间的最短连线的长 度，就是经过这两点的大圆在这 两点间的一段劣孤的长度.
即：球面距离是球面上过 两点的大圆在这两点之间 的劣弧的长度.
中，
1
O
AO 1 B 90 ,
AB R ,
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§9.10球和它的性质
球面距离
⌒ ∴纬圆中AB 的长度为
.
2 R
2R
22
4
(2)在AOB中 ，
AOOB AB R
AOB60
⌒ ∴大圆中劣弧 AmB 的长度为 R
A
3
A
大圆劣 中弧的长R度. 为
3
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①经线上的度数叫做经度，经度的概念与二面角的度 数有关.经度差是经线与地轴所确定平面的两个半平面 的二面角大小，.若旋转是向东进行的，则点P的经度 就是东经多少度，若旋转是向西进行的，则点P的经度 就是西经多少度.
②纬线是与赤道所在平面平行的截面圆，纬线上的度数 叫做纬度，纬度是纬线上的点与球心连线和赤道所在 平面所成的角的度数，即线面角的度数.若点P在北半球， 就是北纬多少度；若点P在南半球，就是南纬多少度．
1.判断正误：（对的打√，错的打×.）
（4）经过球面上不同的两点只能作一个大圆.
(× )
(5)球半径是5，截面圆半径为3,则球心到截 面圆所在平面的距离为4.
（√）
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§9.10球和它的性质
2.填空题
课堂练习
（1）设地球的半径为R，在北纬30 °纬线上有甲
乙两地，它们的经度相差120 ° ，那么这两地的
§9.10球和它的性质
教学目标
课程目标
➢能理解球的有关概念.
➢掌握球的截面的性质. ➢理解两点间的球面距离的概念. ➢能说明地球经纬度的含义.
➢了解球的直观图作法.
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§9.10球和它的性质
课程目标
重难点和关键
➢难点：球面上两点间的距离.
➢重点：球的概念，球的截面的性质.
O
Rd
ß
r
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§9.10球和它的性质
大圆小圆
观察球被平面所截发生的现象
模 拟 演 示
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§9.10球和它的性质
大圆小圆
由 d R 2 r 2 rR 2 d 2
① 当 d 0 时 R ， r,则截,称 面作 圆 .
② 当 dR 时r， 0,截面和 . 球相
分别为 25 、144，则这两个平面间的距离是
_______________．
BN=5，AM=12
B
N
A
M
13
13 O
O.
F
ON=12，OM=5
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§9.10球和它的性质
例5、 A,B两地地处南纬300线上,且经 度差为600, 地球半径设为Ｒ， 求 (1)南纬线的长度； (2)A,B两地在纬线上的劣弧长
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§9.10球和它的性质
经度纬度
2.地球的纬度
北极
➢ 赤道是一个大圆， 其它的纬线都是小圆.
➢某点的纬度就是经 过这点的球半径与赤 道面所成角的度数.
地
P
轴
O 赤道
A
➢由地理知识知：AOP的度数为P点纬度.
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§9.10球和它的性质
经度纬度
P
➢半圆的圆心叫做球心.
•一个球用它的球心字母
来表示，例如 球O.
A
O
B
➢连结球心和球面上任意一点的
线段叫做球的半径（线段OP). ➢连结球面上两点并经过球心的
线段叫做球的直径（线段AB).
➢ 球体与球面的区别
•球面：半圆以它的直径为旋转轴,旋转所成的曲面.
•球(即球体):球面所围成的几何体.
•它包括球面和球面所包围的空间.
两个点A、B,A在西经400,B在东经500.求 AB所在纬线圈的长及AB两点的球面距离
O1
O1
B
A
BA
O
πR O 3
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§9.10球和它的性质
例题讲解
例3.设点A位于地球(半径为R)上东经44°、北纬30°
处间，的点球面B位距于离东. 经134°、北纬60°处，求AN、B两点
O2 B
分析：求球面距离，
B2O A2O .
在 RtAO 2B中，
A 2 B A 2 2 O B 2 2 O 7 4 23 R 2 (1 2 R )2 4 23 R 2 . A
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O2 B O1 O
O2 B
O1
O
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§9.10球和它的性质
例题讲解
在 R A t1 O O 中 A ， 1O OsA i6n 0 2 3R
c =2π·AK
= 2π·OAcosOAK
2O c4 A o 0 s
≈2×3.142×6370×0.7660， 由计算器算得
K
A
40°
OB
C≈3.066×104（km）.
答：北纬40°纬线长约等于3.066×104km.
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§9.10球和它的性质
例2、设地球的半径为R,在北纬45０圈上有
➢关键：正确运用已有的知识发现 并归纳出球的概念和性质.
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§9.10球和它的性质
球的概念
观察现实生活中的各种球形
➢篮球
➢保龄球
➢地球仪
➢木星
➢网球
➢足球
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§9.10球和它的性质
球的概念
观察球的形成过程
模 拟 演 示
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课堂练习
1.判断正误：（对的打√，错的打×.）
（1）半圆以其直径为轴旋转所成的曲
面叫球.
（）
×
（2）在空间，到定点的距离等于定长
的所有点的集合叫球. （ ） ×
（3）球的小圆的圆心与球心的连线垂
直于这个小圆所在平面. （ ） √
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§9.10球和它的性质
源自文库
课堂练习
课堂练习
球面距离
例1.已知地球半径为R,A、B两点均位于北纬45度
线上，其经度差为90度.
⌒ 求(1)在北纬45度圈上劣弧 AB的长度; ⌒ (2) 在经过A、B两地的大圆上劣弧 AB的长度.
(1)解
：在
BOO
中
1
，
m
OO1 B 90, OB R,
O1
2 OB 1O 45 , B1 O 2R .
A
B
在 ABO
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§9.10球和它的性质
球的概念
1.球的定义
•球的旋转定义
半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲 面叫做球面.球面所围成的几何体叫做球体.
•球的集合定义
与定点(圆心)的距离等于或小于定长(半径) 的点的集合叫做球体，简称球.
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§9D.10球和它的性质
2.球的有关概念球的概念
球面距离
假如你要乘坐从北京直飞纽约的飞机,设 想一下,它需要沿着怎样的航线飞行呢?航程大 约是多少呢?
(1)北京和纽约间的距离是一条线段的长吗? ---不是,是一端圆弧的长.
(2)经过球面上的这两点有多少条弧呢? ---无数条.
(3)这无数条弧长哪条最短?
我们不妨先看一个例子！
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§9.10球和它的性质
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§9.10球和它的性质
截面性质
观察球的截面的形状？
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§9.10球和它的性质
截面性质
•截面的定义：用一个平面去截一个球,截面是圆面(黄色圆面). •截面的性质：
1.球心和截面圆心的连线垂直于该截面.
2.球心到截面的距离d与球的 半径R,小圆半径 r ,有下面 的关系:
解：设地球的球心为O，
O2 B
30°与60°的北纬线
O1
的圆心分别为O1与O2，如图， A
则有AOO1 90-30 60,
O
B2 O 9 -6 0 O 0 3 ,0
二面角A-OO2-B为134°- 44°= 90°, 即平面AOO2⊥平面BOO2，
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§9.10球和它的性质
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§9.10球和它的性质
球的画法
z
➢画轴:经过点O画x轴y轴z轴,
两轴之间夹角为均为120°.
➢画大圆：以O为中心分
别按x轴、y轴,y轴、z轴,z 轴、x轴画半径为R的圆的
O
直观图（三个椭圆）.
➢成图：以点O为圆心画 x
y
一个圆与三个椭圆都相切.
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§9.10球和它的性质
例题1
我国首都北 京靠近北纬 40度，求北 纬40度纬线 的长度（地 球半径约是 6370km)
C
本
地
初
子
轴
北京
午
线
O 纬 度 40
经 度 116
A
B
赤
道
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§9.10球和它的性质
例题讲解
解：如图，A是北纬40°纬线上的一点，AK是它的半
径，所以OK⊥AK.设c是北纬40°的纬线长，因为 ∠AOB=∠OAK=40°，所以