高中数学 坐标系高考题集合详解

坐标系

1．(2015·江西卷)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )

A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2

B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π

4

C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π

2 D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π

4

解析 由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，y ＝1－x 可得 ρsin θ＝1－ρcos θ，即ρ＝1

cos θ＋sin θ

，

再结合线段y ＝1－x (0≤x ≤1)在极坐标系中的情形，可知θ∈⎣

⎢⎡

⎦⎥⎤0，π2。

因此线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为ρ＝1cos θ＋sin θ，

0≤θ≤π

2。故选A 。

答案 A

2．(2015·安徽皖北协作区联考)在极坐标系中，点⎝ ⎛

⎭⎪⎫2，－π3到圆ρ＝－2cos θ的圆心的距离为( )

A ．2 B.

4＋π29

C.

9＋π2

9

D. 7

解析 在直角坐标系中，点⎝ ⎛

⎭⎪⎫2，－π3的坐标即(1，－3)，圆ρ＝－2cos θ的方程为x 2＋y 2＝－2x ，即(x ＋1)2＋y 2＝1，圆心坐标是(－1,0)，所以点⎝ ⎛

⎭⎪⎫2，－π3到圆ρ＝－2cos θ的圆心的距离为

(1＋1)2＋(－3－0)2＝7，故选D 。 答案 D

3．(2015·北京西城一模)在极坐标系中，过点⎝

⎛

⎭

⎪⎫2，π2且与极轴平行

的直线方程是( )

A ．ρ＝2

B ．θ＝π

2 C ．ρcos θ＝2

D ．ρsin θ＝2

解析 极坐标为⎝

⎛

⎭

⎪⎫2，π2的点的直角坐标为(0,2)，过该点且与极轴平行的直线的方程为y ＝2，其极坐标方程为ρsin θ＝2，故选D 。

答案 D

4．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为⎩⎨

⎧

x ′＝12x ，

y ′＝3y ，

则在这一

坐标变换下正弦曲线y ＝sin x 的方程变为________。

解析

∵⎩⎨

⎧

x ′＝12x ，

y ′＝3y ，

∴⎩⎨⎧

x ＝2x ′，y ＝1

3y ′。

代入y ＝sin x 得y ′＝

3sin 2x ′。

答案 y ′＝3sin 2x ′

5．(2015·天津卷)在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点，若△AOB 是等边三角形，则a 的值

为________。

解析 由ρ＝4sin θ可得ρ2＝4ρsin θ，所以x 2＋y 2＝4y 。 所以圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，其圆心为C (0,2)，半径r ＝2；

由ρsin θ＝a ，得直线的直角坐标方程为y ＝a ，由于△AOB 是等边三角形，所以圆心C 是等边三角形OAB 的中心，若设AB 的中点为D (如图)。

则CD ＝CB ·sin 30°＝2×1

2＝1，即a －2＝1，所以a ＝3。 答案 3

6．(2015·安徽卷)在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R )距离的最大值是________。

解析 圆ρ＝8sin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝8y ，即x 2＋(y －4)2＝16。

故其圆心为(0,4)，半径r ＝4。

直线θ＝π3(ρ∈R )化为直角坐标方程为y ＝x tan π

3＝3x 。 故圆心到直线y ＝3x 的距离d ＝|3×0－4|

2＝2。 所以圆上的点到直线y ＝3x 距离的最大值为d ＋r ＝6。 答案 6

7．已知曲线C 1的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t ，(t 为参数)，以坐

标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ。

(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ≤2π)。

解 (1)将⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝4＋5cos t ，

y ＝5＋5sin t ，消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y

－5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0。

将⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝ρcos θ，

y ＝ρsin θ，

代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0。

所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0。 (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0。

由⎩⎪⎨⎪⎧

x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，

解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝0，y ＝2。

所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝

⎛

⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2。 8．(2016·遵义模拟)以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为(1，－5)，点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，若直线l 过点P ，且倾斜角为π

3，圆C 以M 为圆心，4为半径。

(1)求圆C 的极坐标方程。

(2)试判定直线l 与圆C 的位置关系。 解 (1)M 点的直角坐标为(0,4)，