§2.2 数学期望共18页

E X 11p k (11)1 ( 1p k)
k
k
1(1p)k 1
k
， 当 E X 1 (1 p )k 1 1 即 (1 p )k1 时（2）方法比（1）好
k
k
例2.2.3 （只领取最高额奖金）
解：X表示一张彩票的得奖金额，则 X=0，10，50，500，5000，50000，500000
X 500000 50000 5000 500 50
10
0
P1
9
9
9
9
9
9
10 6
10 6
10 5
10 4
10 3
10 2
10
10 1
10 6
10 2 10 6
10
103 102 106
104 103 106
105 104
106
106 105 106
E 5 1 5 1 6 X 5 1 0 4 0 9 1 6 0 5 1 3 0 9 1 5 0 5 1 2 0 9 1 4 0 5 1 0 9 1 3 1 0 9 1 0 2
法二： X
i
-2
-1
0
1
2
Y
4
1
0
1
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
Y
0
1
4
P
0.1
0.4
0.5
EY y j p j
j
0.4 2 2.4
例2.2.4 X~U(a,b)
p(x) b1a a xb
0
else
E X x(x p )d x a bxb 1 a d x 2 b ( 2 b a a 2 ) b 2 a“中点”
2 10 1 .5 a 05 a x 0 0 x 2 0 .5 a3 ax 0 0210(a045)2056.52
当 a=450吨时，平均利益最大。
例2.2.6 求Y X2的期望
X
-2
-1
0
1
2
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
法一： E Y x i 2 p i ( 2 ) 2 0 . 2 ( 1 ) 2 0 . 1 0 1 2 0 . 3 2 2 0 . 3 0 . 2
前言
1、分布全面地描述了随机变量的取值的统计规律性。 但不能明显反应取值的集中位置、集中（或离散）程 度，两个变量相依程度等数字特征。
2、分布如X~U(a,b)，X~Simpson(a,b) 这里的参数可以反应X的数字特征。
3、实际应用中，分布太复杂时，研究确切形式，是 不经济的作法，仅需要研究其数字特征。
（2）N个人分组，k个人一组，混合检验，则
1
呈阴性，每个人验了（k ）次 呈阳性，每个人验了（1 1 ）次
k
疾病发病率为 p，且相互独立。 解：令X为每个人检验次数。 （1）EX=1 P(X1)1 单点分布
（2） X P
1
1 1
k
k
Ckk(1p)k 1(1p)k
表示k个人 表示k个人中
无病
有人是有病的
i
保证绝对收敛
g(X ) 连续型
g(x)p(x)dx
2、离散场合下的均值
例2.2.6
3、连续场合下的均值
例2.2.7
三、期望的性质
1、常数的期望=本身。 Ecc
2、线性函数的期望=期望的线性 EcXcEX
3、和（差）的期望=期望的和（差）
E ( g (X ) g ( Y ) ) E (X ) g E ( Y ) g
3.2
例2.2.5 Cauchy分布的期望不存在。
p(x)111x2 x
|x | p ( x ) d x |x | 1 1 d 2 x x 1 1 d 1 x l1 n x 2 ) (
1 x 2
0 1 x 2
0
∴EX不存在。
Thank you
X~U(a,b)则 , EX ab 2
例2.2.1 (分来自百度文库本问题)
已知三局：甲赢二局，乙赢一局
（1）根据已赌局数分赌本 甲甲乙
甲分2/3 , 乙分1/3
（2）根据未来获准可能性分赌本 乙 甲 √
甲分3/4 , 乙分1/4
甲甲乙
乙
甲甲
√
乙
√
例2.2.2 验血有两种检验方法
（1）N个人检验，验N次，则一个人验1 次
3、均值不一定存在。必须保证，绝对收敛性，其均值才存在。 EX一旦存在了，必定确定且唯一。
2、离散型随机变量的期望公式应用
例2.2.1 例2.2.2 例2.2.3
3、连续型随机变量的期望公式应用
例2.2.4
二、随机变量函数g(X)的数学期望
1、DEF
Eg(X)
g(X ) 离散型
g(xi )pi
证明：直接带入期望的定义就得到了
END
例2.2.7
解：市场需要量X~U（300,500）。设公司组织a吨， 利益为Y（千元）。则
1.5a
aX 1.5a
aX
Y=g(X)=
=
1.5X0.5(aX) aX
2X0.5a aX
E YE(X g) g (x)p(x)dx 210 [a 50 0 1.5 0ad 3 ax0 (2 0 x0.5x)d]x
例如比较两个品种的母鸡的产蛋量。通常是比较两种品 种的母鸡的年产蛋量的平均值，就可以了。
不会把两种母鸡的产蛋量的分布做出来。
一、随机变量X的数学期望（期望、均值） ：加权平均
1、DEF 离散型
X
EX xi pi
i
| xi |pi
i
连续型
EX xp(x)dx | x| p(x)dx
1、存在条件：绝对收敛 2、期望不一定存在。 例如：Cauchy分布