高等数学 对弧长的曲线积分

x,
yds,
(7)
转动惯量
Ix
y2 f x, y ds,
L
I y
x2 f x, y ds
L
Io
x2 y2
L
f x, y ds
式中Ix, Iy, Io分别表示质量弧L对于x轴、y 轴、原点的 转动惯量.
如果曲线L是空间曲线, 也可以得出类似的公式.
下面给出第一型曲线积分的几何意义.
设有一曲线形构件, 它在xOy y 平面内是一条光滑曲线弧L,见图9-
1.
线密度为连续函数z = f (x, y),
L
利用分割作和、取极限的方法求
该构件的质量.
o
x
图9-1
在L上取点M1, M2, …, Mn-1 , 把L分成n小段, 在 Mi-1Mi上任
意取一点(i, i), 弧段 Mi-1Mi
44a 2c o s6t a 2s in 6t23 a c o ss in td t 0
12 a38 1co8ts0 28 1si8nt0 23a3
例2 求 x2 y2ds L为圆 x2 + y2 = ax ( a > 0 ). L
解 把L写成极坐标形式r = a cos , - /2 /2
设L: r = r ( ) ( ), 则有
L f x , y d s f r , c o s r 2 r 2 d
设L: x =(t), y =(t), z =(t) ( t ), 则有
( 3 )
( 4 )
L f x , y , z d s ห้องสมุดไป่ตู้ f t , t , t 2 t , 2 t , 2 t d t ( 5 )
2
2
2
x3 y3 a3
解 设 L1: x = cos3t , y = sin3t , (0 t / 2),
由定理3可知, xyds 0.于是 L
fx 2 y 2 x y d s 4fx 2 y 2
L
L 1
原 式 4 0 4 f a c o s 3 t2 a s i n 3 t2 a c o s 3 t 2 a s i n 3 t 2 d t
的长度为si, 记
= max{s1, s2, , sn}
则该构件的质量为
n
mlim 0 i1
f
i,i si,
y •B
• Mn1
(i,i)•• M i
• Mi1 L
• M2
• M1 •A
o
x
图9-1
定义2 设L为xOy平面内的一条光滑曲线, z = f (x, y)
为L上的连续函数, 用分点M1, M2, …, Mn-1, 把L分成n
性质5 f (x, y) g (x, y), 则
Lfx ,yd s Lfx ,yd s
性质6 在L上若设m f (x) M, 则
m L 0Lfx,yd sM L 0.
其中L0表示L的长度 性质7 当 f (x, y)在光滑曲线弧 L上连续时, 必有L
上某点(, ), 使得
Lfx,yd s f,L 0
定理1 当 f(x, y)在光滑曲线或分段光滑曲线弧L上
连续时, 对弧长的曲线积分 L f x, yds存, 在.
二、 对弧长的曲线积分的性质 由对弧长的曲线积分的定义可知, 定积分的所有
性质都可以移植过来. 设下面所涉及的对弧长的曲线积分都存在. 性质1 设k为常数, 则
L k fx ,y d s k Lfx ,y d s .
本章讨论的基本问题是两类曲线积分与两类曲面 积分, 重点是曲线积分与路径无关的问题以及Green (格林)公式与Gauss(高斯)公式.
一、对弧长的曲线积分的定义 二、对弧长的曲线积分的性质 三、对弧长的曲线积分的计算 四、对弧长的曲线积分的应用
一、对弧长的曲线积分的定义
定义1 如果连续曲线y = f (x)上到处都有切线, 当 切点连续变动时, 切线也连续转动, 就称此曲线为光 滑曲线.
2 a2b2 a2b2t2 dt 0
2 a2b2a24 32b2
例4 求
x2ds,
为圆周:
x2y2z2 a2, xyz0,
(a0)
解 直接利用(5)完成, 计算量很大, 注意到
于是
x2d s y2d sz2ds
原式 1 (x2y2z2)ds 1 a2ds
3
3
1a2 2a 2 a 3.
当 f ( x, y ) 0时, 如果 f ( x, y )在平面曲线L上连续,
L光滑或分段光滑, 见图9-2 曲线积分
z
zf(x,y)
L f x,yds
表示柱面的面积A, 即
o
y
ALf(x,y)d.s
L
x
图9-2
例5 设有柱面 x2y21 y0,z0
59 被平面z = y所截, 求所截得有限部分的柱面面积.
性质2
L f x , y g x , y d s L f x , y d s L g x , y d s
性质3 将L分成L1 与L2, 则
L fx ,y d s L 1fx ,y d s L 2fx ,y d s 性质4 L ds L0, 其中L0表示L的长度
第九章 曲线积分与曲面积分
第一节 对弧长的曲线积分 第二节 对面积的曲面积分 第三节 对坐标的曲线积分 第四节 对坐标的曲面积分 第五节 Green公式 第六节 Gauss公式 第七节 Stokes公式
第一节 对弧长的曲线积分
对整体量进行分割、作和、取极限所产生的定积 分与重积分已经带来了很大的方便, 但是, 有些实际问 题与理论问题, 这两种积分还解决不了, 于是, 又引进 了曲线积分与曲面积分, 它们与前者的基本思想是一 致的.
3
3
四、 对弧长的曲线积分的应用
设在xOy平面内有一条分布着质量的光滑曲线弧
(或分段光滑曲线弧)L, 在点(x, y)处的线密度为连续函
数 f (x, y), 利用微元分析法不难推得下面各计算公式.
质量
m Lfx ,y d s
设重心为 x , y 则
(6 )
x
1
mL
xf
x,
yds,
y
1
mL
yf
小段, 在 Mi-1Mi 上任意取一点(i, i), si表示 Mi-1Mi
的长度, 记 = max{s1, s2, , sn}, 如果
n
mlim 0 i1
f
i,i si,
存在, 则将此极限值称为函数f (x, y)在L上对弧长的曲
线积分, 记为 L f x, yds,
其中, f (x, y)称为被积函数, L称为积分弧段.
利用公式(4), 有
原 式 2 a c o sa c o s2 a c o s2d 2
a2
2
cosd2a2
2
例3 求 x2y2z2ds,
为螺旋线: x = acost , y = asint , z = bt , 0 t 2.
解 利用公式(5), 有
原 式 0 2 a c o s t 2 a s i n t 2 b t 2 a c o s a c o s t 2 a s i n t 2 b t 2 d t
三、对弧长的曲线积分的计算
定理2 设 f (x, y)在曲线 L上连续, L的参数方程为
x (t),
y
(t
),
(
t
)
其中 (t), (t) 在[, ]上具有一阶连续导数, 且 2(t)
+ 2(t) 0, 则有公式(1)成立.
L fx ,y d s ft ,t2 t 2 t d t(1)
定理3 设 f ( x, y )和L满足定理2的条件, 若f (x, y) = f (x, y ), L关于轴对称, L1表示L的位于 x 轴上方 的部分, 则有
Lfx ,y d s 2 L 1fx ,y d s;
若 f (x, y) = f (x, y), 则
L f x,yds0.
例1 求f x2,y2,xydsL是整条星形线 L
解 所求柱面面积为
ALydsLzds
式中L为半椭圆 x2 y2 1 y0,
59
其参数方程为 x 5 c o s t,y 3 s in t, 0 t
于是
A 3sint
5cost23sint2dt
0
3sint
54cos2tdt 915ln5.
0
4
作业 P84 1、2、3、5
设下面的函数和曲线都满足定理2的条件, 则还有
如下公式. 积分上限要大于下限.
设L: y = y ( x ) (a x b), 则有
L fx ,y d s a b fx ,y x 1 y 2 x d x ( 2 )
设L: x = x ( y ) (c y d), 则有
L f x ,y d s c d fx y ,y 1 x 2 y d y