加权残值法求解梁的弯曲问题.
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1 2 2
(1.10)
11
权函数为：
R 24 EI C1 R EI (120 x 48l ) C2
(1.11) (1.12)
消除残值方程为：
R l R Ci dl 0 (1.13)
12
即
l R l R C1 dl 0 {EI [24(C1 2C2l ) 120C2 x] q} 24EIdx
1 2
(2.1) (2.2)
消除残值方程为：
RW dv 0
v i
(2.3)
17
即
3 3 RW dv { EI [ C ( ) sin x C ( ) sin x ] q } sin xdx 0 l l l l l (2.4)
l 4 4 l 1 0 1 2
(1.5)
7
求解上面两个方程得到待定系数的线性方程组:
3.8473e+013C -8.0146e+006C =0 -8.0146e+006C +2.5242e+017C =0
1 2 1 2
(1.6)
解线性方程组得系数为:
C1 0.0126, C2 0.001 (1.7)
挠度的近似方程为:
3 x 4 {E I [C1 ( ) sin x 81C2 ( ) sin x sin ] EIq( ) sin x}dx 0 0 l l l l l l l
l 2 2 8 2 8
(1.4)
l R 4 3 4 3 x 3 4 3 R dl { EI [ C ( ) sin x C ( ) sin ] q } [ EI ( ) sin x]dx 1 2 l C2 0 l l l l l l l 3 2 4 3 x 3 3 x 3 3 2 2 {E I [C1 ( 2 ) sin x sin C2 ( )8 sin 2 ] EIq( ) 4 sin x}dx 0 0 l l l l l l l
3 3 3 RW dv {EI [C ( l ) sin l x C ( l ) sin l x] q} sin l xdx 0 (2.5)
l 4 4 l 2 0 1 2
求解上面两个方程得到代定系数的线性方程组:
7.5986e+006C -1.5829C =0 -0.0195C +6.1549e+008C =0
1 2 1 2
(1.16)
13
解线性方程组得系数为：
C -0.4938 e-003,
1
C 0
2
(1.17)
挠度的近似方程为：
w (-0.4938 e-003)x (l x)
2 2
(1.18)
14
近似解与精确解比较如下图所示：
15
误差分析如下图所示：
16
二、伽辽金法
伽辽金法的权函数为试函数项Wi，即： x W sin l 3 x W sin l
1 2 1 2
(2.6)
解线性方程组得系数为:
C 0.0126,
1
C 0.0001
2
(2.7)
解线性方程组得系数为: 3 w 0.0126sin x 0.0001sin x l l
(2.8)
19
近似解与精确解比较如下图所示:
20
误差分析如下图所示:
21
三、配点法
由于配点法的权函数为函数，由函数的性质，
(1)
w(0) 0, w(l ) 0
(2)
3
选取试函数为:
w Ci sin(2i 1)
i 1
n
x
l
(3)
取前两项有为:
3 x w C1 sin C2 sin l l
则
x
(4)
d w 4 3 4 3 x C1 ( ) sin x C2 ( ) sin 4 dx l l l l
3 x w 0.0126sin 0.0001sin l l
x
(1.8)
8
近似解与精确解比较如下图所示：
9
误差分析如下图所示：
10
为讨论试函数对解的影响，另选取试函数为： w x (l x) (C C x) (1.9)
2 2 1 2
பைடு நூலகம்
式中C1 、C2 都是待定系数。
将上式代入(1)式得到残值方程为: R EI [24(C 2C l ) 120C x] q
4
(5)
4
将（5）式代入（1）式得到残值为:
3 4 3 x R EI [C1 ( ) sin x C2 ( ) sin ]q l l l l
4
(6)
为了消除残值，采用三种方法讨论： 最小二乘法 伽辽金法 配点法
5
一、最小二乘法
R 最小二乘法的权函数为: Ci
则
R 4 EI ( ) sin x C1 l l
加权残数法求解梁的弯曲问题
例：如下图所示的简支梁受均布载荷作用，载荷
集度q=50KN, 梁的长度L=3m, 弹性模量E=200Gpa, 横
截面宽a=75mm,长 b=150mm 。
2
梁的挠度微分方程:
d 4w EI 4 q 0 dx
式中: EI——梁的抗弯刚度 w ——挠度 简支梁的边界条件为：
R 3 4 3 x EI ( ) sin C2 l l
(1.1)
(1.2)
消除残值方程为:
R l R Ci dl 0 (1.3)
6
即
l R 4 3 4 3 x 4 l R C1 dl 0 {EI [C1 ( l ) sin l x C2 ( l ) sin l ] q} [ EI ( l ) sin l x]dx
(1.14)
l R l R C2 dl 0 {EI [24(C1 2C2l ) 120C2 x] q} EI (120 x 48l )dx (1.15)
求解上面两个方程得到代定系数的线性方程组：
3.075541650432e+016C +4.613312475648e+016C -1.518768e+013=0 4.613312475648e+016C +6.4586374659072e+017C -2.278152e+17=0
(1.10)
11
权函数为：
R 24 EI C1 R EI (120 x 48l ) C2
(1.11) (1.12)
消除残值方程为：
R l R Ci dl 0 (1.13)
12
即
l R l R C1 dl 0 {EI [24(C1 2C2l ) 120C2 x] q} 24EIdx
1 2
(2.1) (2.2)
消除残值方程为：
RW dv 0
v i
(2.3)
17
即
3 3 RW dv { EI [ C ( ) sin x C ( ) sin x ] q } sin xdx 0 l l l l l (2.4)
l 4 4 l 1 0 1 2
(1.5)
7
求解上面两个方程得到待定系数的线性方程组:
3.8473e+013C -8.0146e+006C =0 -8.0146e+006C +2.5242e+017C =0
1 2 1 2
(1.6)
解线性方程组得系数为:
C1 0.0126, C2 0.001 (1.7)
挠度的近似方程为:
3 x 4 {E I [C1 ( ) sin x 81C2 ( ) sin x sin ] EIq( ) sin x}dx 0 0 l l l l l l l
l 2 2 8 2 8
(1.4)
l R 4 3 4 3 x 3 4 3 R dl { EI [ C ( ) sin x C ( ) sin ] q } [ EI ( ) sin x]dx 1 2 l C2 0 l l l l l l l 3 2 4 3 x 3 3 x 3 3 2 2 {E I [C1 ( 2 ) sin x sin C2 ( )8 sin 2 ] EIq( ) 4 sin x}dx 0 0 l l l l l l l
3 3 3 RW dv {EI [C ( l ) sin l x C ( l ) sin l x] q} sin l xdx 0 (2.5)
l 4 4 l 2 0 1 2
求解上面两个方程得到代定系数的线性方程组:
7.5986e+006C -1.5829C =0 -0.0195C +6.1549e+008C =0
1 2 1 2
(1.16)
13
解线性方程组得系数为：
C -0.4938 e-003,
1
C 0
2
(1.17)
挠度的近似方程为：
w (-0.4938 e-003)x (l x)
2 2
(1.18)
14
近似解与精确解比较如下图所示：
15
误差分析如下图所示：
16
二、伽辽金法
伽辽金法的权函数为试函数项Wi，即： x W sin l 3 x W sin l
1 2 1 2
(2.6)
解线性方程组得系数为:
C 0.0126,
1
C 0.0001
2
(2.7)
解线性方程组得系数为: 3 w 0.0126sin x 0.0001sin x l l
(2.8)
19
近似解与精确解比较如下图所示:
20
误差分析如下图所示:
21
三、配点法
由于配点法的权函数为函数，由函数的性质，
(1)
w(0) 0, w(l ) 0
(2)
3
选取试函数为:
w Ci sin(2i 1)
i 1
n
x
l
(3)
取前两项有为:
3 x w C1 sin C2 sin l l
则
x
(4)
d w 4 3 4 3 x C1 ( ) sin x C2 ( ) sin 4 dx l l l l
3 x w 0.0126sin 0.0001sin l l
x
(1.8)
8
近似解与精确解比较如下图所示：
9
误差分析如下图所示：
10
为讨论试函数对解的影响，另选取试函数为： w x (l x) (C C x) (1.9)
2 2 1 2
பைடு நூலகம்
式中C1 、C2 都是待定系数。
将上式代入(1)式得到残值方程为: R EI [24(C 2C l ) 120C x] q
4
(5)
4
将（5）式代入（1）式得到残值为:
3 4 3 x R EI [C1 ( ) sin x C2 ( ) sin ]q l l l l
4
(6)
为了消除残值，采用三种方法讨论： 最小二乘法 伽辽金法 配点法
5
一、最小二乘法
R 最小二乘法的权函数为: Ci
则
R 4 EI ( ) sin x C1 l l
加权残数法求解梁的弯曲问题
例：如下图所示的简支梁受均布载荷作用，载荷
集度q=50KN, 梁的长度L=3m, 弹性模量E=200Gpa, 横
截面宽a=75mm,长 b=150mm 。
2
梁的挠度微分方程:
d 4w EI 4 q 0 dx
式中: EI——梁的抗弯刚度 w ——挠度 简支梁的边界条件为：
R 3 4 3 x EI ( ) sin C2 l l
(1.1)
(1.2)
消除残值方程为:
R l R Ci dl 0 (1.3)
6
即
l R 4 3 4 3 x 4 l R C1 dl 0 {EI [C1 ( l ) sin l x C2 ( l ) sin l ] q} [ EI ( l ) sin l x]dx
(1.14)
l R l R C2 dl 0 {EI [24(C1 2C2l ) 120C2 x] q} EI (120 x 48l )dx (1.15)
求解上面两个方程得到代定系数的线性方程组：
3.075541650432e+016C +4.613312475648e+016C -1.518768e+013=0 4.613312475648e+016C +6.4586374659072e+017C -2.278152e+17=0