回归系数的假设检验
对偏回归系数进行假设检验
2.单边或双边检验
注意由于先验地预期钟表年代的系数为正，所以这里
可以用单边检验，建立零假设和备择假设如下：
H 0 : B2 0, H1 : B2 0
在5％的显著水平下，该单边t检验的临界值为 1.699，回归结果中的t值为13.965，落入拒绝域，我 们可以认为，钟表年代对拍卖价格有显著正影响。
(4-44)
在5%显著水平下B2的置信区间：
B2 12.7413 2.0450.9123 12.7413 2.0450.9123
10.8757 B2 14.6069
我们将得到与显著性检验方法同样的结论。
假定对古董钟拍卖价格的回归结果，作如下假设：
H 0 : B2 0, H1 : B2 0 b2 B2 b2 计算得： t seb2 seb2
B2
0
Байду номын сангаас
12.7414 13.9653 0.9124
可以用置信区间法或显著性检验法进行假设检验。
我们用t显著性检验。假定选择 =0.05, 此时的 自由度为29(n=32)，查t分布表求得t临界值:
t0.025,29 t0.025 (29) 2.045
(4-43) P 2.045 t 2.045 0.95 计算得到的t值为13.965，落入拒绝域，可以得到结 论:钟表年代对拍卖价格有显著影响.
注意：1.根据式（4-42）可知，在零假设下计算的t 值接近14，显然超过临界t值2.045。因此，拒绝零 假设并得出结论：钟表年代对拍卖价格有影响。根 据式（4-37）给出的p值（几乎为零），再一次验证 了我们的结论。即如果零假设为真，获得t值大于等 于14的机会几乎为零。因此，比只选择的α值（1% 或5%），根据p值能够更充分地拒绝零假设。
相关系数与回归系数的符号
相关系数与回归系数的符号相关系数（Correlation Coefficient）和回归系数（Regression Coefficient）的符号有以下几点联系和区别：1. 符号一致性：对于同一组数据，如果同时计算相关系数和回归系数，它们的符号通常是相同的。
这意味着如果相关系数为正，那么回归系数也应该是正的；如果相关系数为负，回归系数也应该为负。
2. 含义不同：相关系数（通常用r表示）衡量的是两个变量之间的线性关系强度和方向，其值范围在-1到1之间。
正值表示正相关（一个变量增加时，另一个变量也倾向于增加），负值表示负相关（一个变量增加时，另一个变量倾向于减少），0表示两个变量之间没有线性关系。
回归系数（通常用b表示）是在一个或多个自变量与因变量之间的线性关系中，表示自变量变化对因变量影响的大小和方向。
如果回归系数为正，表示自变量增加一个单位时，因变量预计会增加相应的量；如果回归系数为负，表示自变量增加一个单位时，因变量预计会减少相应的量。
3. 假设检验等价性：对于同一样本，相关系数和回归系数的假设检验是等价的，即t 值相等，即tr=tb。
4. 决定系数（Coefficient of Determination，通常用R²表示）：决定系数是通过回归分析得到的一个指标，表示因变量的总变异中能被自变量解释的比例。
决定系数的值介于0和1之间，越接近1表示回归模型对因变量的解释能力越强，也就是相关的效果越好。
需要注意的是，虽然相关系数和回归系数的符号通常一致，但它们描述的是不同的关系。
相关系数关注的是两个变量间的线性关系，而回归系数则是在一个特定模型（包括其他自变量的影响）中描述一个自变量对因变量的影响。
此外，相关系数不考虑单位或者变量的尺度，而回归系数则依赖于变量的度量单位。
回归系数的假设检验
l b l
XY XX
=0.058826
b0 Y bX =0.000419
39
列出回归方程：
y=0.000419+0.058826x
40
直线回归方程的图示
在自变量X的实测范围内任取相距 较远且易读数的两X值代入回归方程求 得两点坐标、连线即得其回归直线
41
三、直线回归的统计推断
表1
不同饲料组大鼠肝中维生素A含量（IU/g）
大鼠对号 （1 ）
1
正常饲料组 （2 ）
3550
维生素 E 缺乏组 （3 ）
2450
2
3 4 5 6 7 8 合计
2000
3000 3950 3800 3750 3450 3050 26550
2400
1 800 3200 3250 2700 2500 1750 20050
（一）总体回归系数的估计与假设检验 1、总体回归系数的区间估计 bt/2,sb
sb
sy . x l xx
2 ( y y )
sy . x
n2
(y y )
2
l yy
l
2 xy
l xx
2、回归系数的假设检验
方差分析 t检验
回归系数的假设检验：方差分析法
30
例13.2 对例13.1进行回归分析
表2 SAH患者血清和脑脊液IL-6(pg/ml)检测结果 患者号 1 2 3 4 5 6 7 8 血清IL-6 22.4 51.6 58.1 25.1 65.9 79.7 75.3 32.4 脑脊液IL-6 134.0 167.0 132.3 80.2 100.0 139.1 187.2 97.2
第二章-3回归系数的区间估计和假设检验
三、参数的假设检验
（一） 关于 的假设 2 1、 未知， 2检验的步骤如下：
1）提出原（零）假设和备择假设
H: 0
0
2
2）若 成立 H 0 ，则
H:0
1
2
t
ˆ2 SEˆ(ˆ2)
~t(n2)
3）对给定的 ，查 t 分布表确定临界值 t
2
4）根据样本数据计算 t
5）若 t t 2
2
x2 i
t SˆE1ˆ(ˆ11)
ˆ1 1 ˆ2 Xi2
~t(n2)
n xi2
二、参数的区间估计
（一）区间估计的概念
设待估 i， 参 对 数 给 为 、 定 （ 0 的 1 ） 正， 数有
P ( ˆi i ˆi ) 1
6050
7920
22893.6
ˆ2nn X X iY i2i ( X Xii )Y 2i xxiiy 2i
1 0 22.6 8 5 94 3 209 .7 9 0 .4845 1 0 43 0 50 4 2 8 0
ˆ1Yˆ2X3.805 Y ˆ3 .80 0 .5 48X45
称ˆ（ i,ˆi）为 i的置1 信 的 度 置 为 信区间；1为置信Βιβλιοθήκη 数（或 置可 信靠 概程 率度）；
ˆi 、ˆi 分别称为下置信 置限 信、 限上 。
** 参数 2的区间估计
1P 、 （ 总 Z体 2服 S ˆ2( E 从 ˆ22 )正 Z态 S2） E（ 分 1 ˆ 2） 布 已 （知）ZSˆ2E(ˆ22 ) ~N(0,1)
1 、总体服 2 已 从知 正） 态 1 的 ， 分 置 参 布 1 信 的 数 （ 度 置 为 信区
多元线性回归模型的各种检验方法
对多元线性回归模型的各种检验方法对于形如u X X X Y k k +++++=ββββ 22110 （1） 的回归模型，我们可能需要对其实施如下的检验中的一种或几种检验：一、 对单个总体参数的假设检验：t 检验在这种检验中，我们需要对模型中的某个（总体）参数是否满足虚拟假设0H ：j j a =β，做出具有统计意义（即带有一定的置信度）的检验，其中j a 为某个给定的已知数。
特别是，当j a =0时，称为参数的（狭义意义上的）显著性检验。
如果拒绝0H ，说明解释变量j X 对被解释变量Y 具有显著的线性影响，估计值j βˆ才敢使用；反之，说明解释变量j X 对被解释变量Y 不具有显著的线性影响，估计值j βˆ对我们就没有意义。
具体检验方法如下：（1） 给定虚拟假设 0H ：j j a =β；（2） 计算统计量 )ˆ(ˆ)ˆ()(ˆjj j j j j Se a Se E t βββββ-=-= 的数值； 11ˆ)ˆ(++-==j j jj jj j C C Se 1T X)(X ，其中σβ（3） 在给定的显著水平α下（α不能大于1.0即 10%，也即我们不能在置信度小于90%以下的前提下做结论），查出双尾t （1--k n ）分布的临界值2/αt ；（4） 如果出现 2/αt t >的情况，检验结论为拒绝0H ；反之，无法拒绝0H 。
t 检验方法的关键是统计量 )ˆ(ˆj jj Se t βββ-=必须服从已知的t 分布函数。
什么情况或条件下才会这样呢？这需要我们建立的模型满足如下的条件（或假定）：（1） 随机抽样性。
我们有一个含n 次观测的随机样(){}n i Y X X X i ik i i ,,2,1:,,,,21 =。
这保证了误差u 自身的随机性，即无自相关性，0))())(((=--j j i i u E u u E u Cov 。
（2） 条件期望值为0。
给定解释变量的任何值，误差u 的期望值为零。
对回归方程中的回归系数进行解释
对回归方程中的回归系数进行解释
回归方程中的回归系数是用于衡量自变量对因变量的影响程度的指标。
它们代表了自变量的单位变化对因变量的单位变化产生的影响。
回归系数的解释可以从以下几个方面进行：
1. 方向性解释：回归系数的正负号表示了自变量与因变量之间的关系方向。
正系数表示自变量的增加与因变量的增加呈正相关关系，负系数表示自变量的增加与因变量的增加呈负相关关系。
2. 影响程度解释：回归系数的绝对值大小表示了自变量的单位变化对因变量的单位变化产生的影响程度。
绝对值越大，影响程度越大；绝对值越小，影响程度越小。
3. 相对重要性解释：回归系数的大小可以用来比较自变量对因变量的相对重要性。
较大的回归系数表示该自变量对因变量的影响更为显著，较小的回归系数表示该自变量对因变量的影响相对较小。
4. 统计显著性解释：回归系数的统计显著性可以用来判断回归系数是否真实存在。
通过假设检验，可以确定回归系数是否显著不等于零。
如果回归系数的p值小于事先设定的显著性水平（通常为0.05），则可以认为该回归系数是显著的。
5. 可解释性解释：回归系数的解释还可以从实际问题的背景知识出发，给出更具体的解释。
例如，对于一个房价的回归方程，回归系
数可以表示每增加一平方米的房屋面积，房价平均上涨多少元。
回归方程中的回归系数是对自变量与因变量之间关系的量化描述，可以从不同角度进行解释，帮助我们理解自变量对因变量的影响程度、方向性和相对重要性。
计量经济学第6章假设检验
i1
n
或直接取自输出结果2.2.1中的方差分析部分“回归分析（行） F（列）”(399.09999)。(见表2.4.4)
有时S（回归系数的标准差，有时也记为 S e ）也可不写；t统计 量右上角*的表示显著性水平的大小，**一般表示在显著性水平 1％下显著，*一般表示在显著性水平5％下显著，无*表示5％下 不显著。
b1
L xx L yy
n
( x x ) ( y y ) 其 中 x y
i 1
L
n
L xx
L
yy
n
i 1
( xi x )2
i 1
( yi y )2
为x与y的简单线性相关系数，简称相关系数。它表示x和y的线 性相 关关系的密切程度。其取值范围为|r| 1，即-1 r 1。 当r=-1时，表示x与y之间完全负相关； 当r=1时，表示x与y之间完全正相关； 当r=0时，表示x与y之间无线性相关关系，即说明x与y可 能无相关关系或x与y之间存在非线性相关关系。 5、四种检验的关系 前面介绍了t检验、拟合优度（ ）检验、 F检验和相关 R 2 系数（r）检验，对于一元线性回归方程来说，可以证 明，这四种检验：
第二步：计算F统计量 因为ESS＝1602708.6 (计算过程见表2.4.3) 或直接取自输出结果 2.2.1中的方差分析部分“回归分析（行） SS（列）”(1602708.6)。
ˆ＝ RSS ( yi y )2 40158.071 (计算过程见计算表2.3.3) 或直接取
多元线性回归模型的各种检验方法
对多元线性回归模型的各种检验方法对于形如u X X X Y k k +++++=ββββΛΛ22110 （1）的回归模型，我们可能需要对其实施如下的检验中的一种或几种检验：一、 对单个总体参数的假设检验：t 检验在这种检验中，我们需要对模型中的某个（总体）参数是否满足虚拟假设0H ：j j a =β，做出具有统计意义（即带有一定的置信度）的检验，其中j a 为某个给定的已知数。
特别是，当j a =0时，称为参数的（狭义意义上的）显著性检验。
如果拒绝0H ，说明解释变量j X 对被解释变量Y 具有显著的线性影响，估计值j βˆ才敢使用；反之，说明解释变量j X 对被解释变量Y 不具有显著的线性影响，估计值j βˆ对我们就没有意义。
具体检验方法如下：（1） 给定虚拟假设 0H ：j j a =β；（2） 计算统计量 )ˆ(ˆ)ˆ()(ˆjj j j j j Se a Se E t βββββ-=-= 的数值； 11ˆ)ˆ(++-==j j jj jj j C C Se 1T X)(X ，其中σβ（3） 在给定的显著水平α下（α不能大于1.0即10%，也即我们不能在置信度小于90%以下的前提下做结论），查出双尾t （1--k n ）分布的临界值2/αt ；（4） 如果出现 2/αt t >的情况，检验结论为拒绝0H ；反之，无法拒绝0H 。
t 检验方法的关键是统计量 )ˆ(ˆj jj Se t βββ-=必须服从已知的t 分布函数。
什么情况或条件下才会这样呢？这需要我们建立的模型满足如下的条件（或假定）：（1） 随机抽样性。
我们有一个含n 次观测的随机样(){}n i Y X X X i ik i i ,,2,1:,,,,21ΛΛ=。
这保证了误差u 自身的随机性，即无自相关性，0))())(((=--j j i i u E u u E u Cov 。
（2） 条件期望值为0。
给定解释变量的任何值，误差u 的期望值为零。
线性回归
( X X )(Y Y ) 41.20 b 0.061 677 . 42 ( X X )
2
6
Y X
Y
n X n
99.2 31 534 31
3.2 17.23
a Y b X 3.2 0.06117.23 2.15
Y a bX 2.15 0.061 X
5
编号 （1）
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
尿雌三醇 mg/24h （2） 17 25 27 15 15 15 16 19 18 17 18 20 22 25 24
产儿体重 kg （3） 3.2 3.2 3.4 3.4 3.4 3.5 3.5 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 4.0 3.9 4.3
17
18
19
R相关系数
20
b ANOVA
Model 1
Reg ression Residual Total
Sum of Squares 2.506 4.234 6.740
df 1 29 30
Mean Square 2.506 .146
F 17.162
Sig . .000a
a. Predic to rs: (Cons tant), 尿 雌三 醇 （ mg/24h ） b. Dep endent Variable: 产 儿体 重 (kg)
22
3.利用回归方程进行统计控制 利用回归方程进行逆估计，即要求因变 量y的容 许取值范围，逆向估计X的取值范围。
4.利用多重回归描述多因素的影响 在实际应用中，我们会发现，通常一个结果 的产生是由多种原因造成的。为了综合考虑这些 因素，可以用多重回归的方法来解决。
相关分析：直线回归相关及假设检验
zhengjinlai@
在待产妇尿中雌三醇含量和产儿体重之间 的关系中，知道了二者之间成正相关。 那么，如果我们知道了一位待产妇的尿雌 三醇含量，能推断出产儿的体重吗？或产 儿的体重可能在什么范围内呢？ 这要用直线回归的方法来解决。zhengjinlai@
相关与偏相关
16
zhengjinlai@
问题：我们能否得出结论？ 待产妇尿中雌三醇含量与产儿体重 之间成正相关，相关系数是0.61？ 为什么？
相关与偏相关
17
zhengjinlai@
三、相关系数的假设检验
上例中的相关系数r等于0.61，说明了31例样本中雌三醇含 量与出生体重之间存在相关关系。但是，这31例只是总 体中的一个样本，由此得到的相关系数会存在抽样误差。
相关与偏相关
13
zhengjinlai@
孕妇尿中雌三醇含量与产儿体重之间的关系
4.5
4.0
3.5
3.0
产儿体重
2.5
2.0 0 10 20 30
尿雌三醇
相关与偏相关
14
zhengjinlai@
Correlations 尿 雌 三醇 Pearson Correlation Sig. (2-tailed) N Pearson Correlation Sig. (2-tailed) N 尿 雌 三醇 产 儿 体重 1 .610** . .000 31 31 .610** 1 .000 . 31 31
相关与偏相关
8
zhengjinlai@
一、相关的类型
★正相关 ★负相关 ★完全正相关 ★完全负相关 ★零相关
zhengjinlai@
二、相关系数
50简单线性回归回归系数的假设检验
t 检验
• 统计量t的计算公式
−
=
=
=
=−
∙
ഥ )ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
σ( −
样本回归系数的标准误
∙ =
)
σ( −
=
−
Y的剩余标准差
n为对子数
剩
−
1.建立检验假设，确定检验水准
H0：β = 0，肝癌患者血清胆固醇与三酰甘油间无线性回归关系
回 ൗ回 回
=
=
= 37.716 回 = 1 剩 = 19
剩 ൗ剩 剩
3.确定P值，作出统计推断
➢查F界值表，得F0.05,(1,19)=4.38，本例F=37.716>4.38，故P<0.05
➢按α=0.05的检验水准，拒绝H0，该总体回归系数β与0的差异有
统计学意义，可以认为肝癌患者血清胆固醇与三酰甘油有线性
)
( −
ഥ ) = (
−
ഥ ) + ( −
)
( −
总 = 回 + 剩
总 = 回 + 剩
总 = −
回 =
剩 = −
回 ൗ回 回
=
=
剩 ൗ剩 剩
1.建立检验假设，确定检验水准
−
ഥ ) ，SS回，回归平方和，反映在Y的总变异中由
➢σ(
于X与Y的直线回归关系而使Y变异减小的部分，也就是
总变异中可以用X解释的部分。SS回越大，回归效果越
好。
) ，SS剩，剩余平方和，反映X对Y的线性影响
➢σ( −
之外的一切因素对Y的变异的影响，也就是总变异中不
logistic回归系数可信区间估计及假设检验的三种方法比较
回归 系数估计值为 。重复抽样步骤 Ｔ次 ， 得到 丁个 ｂ ， 这 ，求 Ｔ个 ｂ ，的标准差 ， 即为 岛 标准误 的估计 值 ｓ 。当 ６ 服从 近 Ｊ
似正态分布时 ， 利用 正态近 似原理 可估计 相应 可信 区 间。 由 于 Ｂ ｏｓｒｐ的检验统计量 ｔ ｏｔ ａ ｔ 一 服从 学生 式 ｔ分布 ， 故通 过
和轮廓似然三种方法 ， 比较其应用前提。应用 Ｍｏ ｔ Ｃ ｒｌ ｎｅ ａｏ 模拟方法 ， － 分别产生 自变量为二分类 变量和连续 型变 量 的二分 类 ｌｇｓｉ ｏｉ ｃ ｔ 分析数据， 比较三种方法 的准确性和稳定性。结果 ： 无论 自变量为连续 型或二分类变 量 ， ｏｓｒｐ法 和轮廓似 然法的检 验效 能均高 ｏ Ｂ ｔｔａ 于 ｗａｄ法 ， ｌ 该差异在小样本情形下更为明显。但 Ｂ ｏｓｒｐ方法的稳定性较差 ， Ｉ ｏ ｔｔａ 对 类错误的控制也欠 佳。结论 ： 轮廓 似然方法最 为 稳健 ， 能严格控制 Ｉ 类错误率 ， 且检验效 能优 于 ｗａ ｌ ｄ方法 ， 值得推荐 。 关键词 ： ｌｇｓｉ ｏ ｉｔ ｃ回归 ； 可信 区间 ； Ｍｏ ｔ￣ ａｌ模 拟 ｎｅＣ ｒ ｏ
ｂ ｊ
为此 ， 本研 究将应 用 Ｍｏ ｔ－ ａｌ ｎｅＣ ｒ ｏ方法 ， 从定 量水平更 直 观、 准确地模拟 比较 三种 方法 的统计 性 能 ， 以期 为 ｌ ｉ ｉ ｏ ｓ ｃ回 ｇｔ
归 的应 用提 供 方 法 学 依 据
１ 方 法 简 介
Ｂ ｏｓ ａ 方法 能够得 到回归系数 岛的（ －ａ 可信 区间为 ６± ｏ ｔｔ ｐ ｒ １ ） Ｊ ／ 。当 为偏 态 分 布时 ， ｚ 取上 、 ２ ５百 分位 数 作 为 其 下 ． ９ 的可信 区间， ｂ 服从正态分布时 ， ５ 当 ｊ 该法 与正态近似法 结 果相 当近似［ 。本文模拟采用非参数 的百分位数 法得到 回归 ４ ］
回归系数假设检验方法
回归系数假设检验方法
回归系数假设检验方法是用来检验回归模型中各自变量的系数
是否显著不为零。
一般来说，可以使用t检验或F检验来进行回归系数的假设检验。
1. t检验：对于单个自变量的系数，可以使用t检验来判断其系数是否显著不为零。
t检验的原假设是回归系数为零，备择假设是回归系数不为零。
计算t值，然后根据设定的显著性水平（通常为0.05）来判断是否拒绝原假设。
2. F检验：对于多个自变量的系数，可以使用F检验来判断它们的系数是否显著不为零。
F检验的原假设是所有自变量的系数均为零，备择假设是至少一个自变量的系数不为零。
计算F值，然后根据设定的显著性水平（通常为0.05）来判断是否拒绝原假设。
在进行回归分析时，通常会同时进行t检验和F检验来判断回归系数的显著性。
如果t检验和F检验的p值均小于设定的显著性水平，则可以拒绝原假设，认为回归系数显著不为零。
统计学,回归分析
9) 回归分析的条件
• • • • 线性 独立 正态 等方差
• 10) 相关与回归的注意事项
1.相关与回归的关系
• 二者反映的是一个问题的两个角度 相关：关联程度 回归：数量关系
本实例回归方程的评价
• 回归模型的方差分析： F=67.923 P=0.000
• 回归系数的t检验： tb=8.2416 , P=0.000
• R2=0.8291
7) 直线回归图
• 若两变量间存在直线关系,在散点图上绘 上回归直线,形成直线回归图.
直线回归图的CHISS实现
1、进入数据模块 点击 数据→文件→打开数据库表 打开文件名为：b12-1.DBF →确认 2、进入图形模块 进行绘图 点击 图形→统计图→曲线拟合 →确认 横轴：X脂肪 纵轴:Y热量
回归直线与散点图的关系
•
b>0
b<0
b=0
•
b=0
b=0
b=0
4 ) 回归方程的检验
• 回归方程的抽样误差:
• 回归方程来自样本，存在抽样误差
回归方程的假设检验步骤:
• 1 建立假设:
H0：回归方程无统计学意义 H1：回归方程有统计学意义 α =0.05
2 变异的分解: 方差分析思想
yi- y = (yi - y^) + (y^ - y)
上机练习
• <<医学统计与CHISS应用>> • P145 例12-1---例12.4
爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”
《计量经济学》第五章最新完整知识
第五章 多元线性回归模型在第四章中，我们讨论只有一个解释变量影响被解释变量的情况，但在实际生活中，往往是多个解释变量同时影响着被解释变量。
需要我们建立多元线性回归模型。
一、多元线性模型及其假定 多元线性回归模型的一般形式是i iK K i i i x x x y εβββ++++= 2211令列向量x 是变量x k ，k =1，2，的n 个观测值，并用这些数据组成一个n ×K 数据矩阵X ，在多数情况下，X 的第一列假定为一列1，则β1就是模型中的常数项。
最后，令y 是n 个观测值y 1, y 2, …, y n 组成的列向量，现在可将模型写为：εββ++=K K x x y 11构成多元线性回归模型的一组基本假设为 假定1. εβ+=X y我们主要兴趣在于对参数向量β进行估计和推断。
假定2. ,0][][][][21=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n E E E E εεεε 假定3. n I E 2][σεε='假定4. 0]|[=X E ε我们假定X 中不包含ε的任何信息，由于)],|(,[],[X E X Cov X Cov εε= （1）所以假定4暗示着0],[=εX Cov 。
（1）式成立是因为，对于任何的双变量X ，Y ，有E(XY)=E(XE(Y|X))，而且])')|()([(])')((),(EY X Y E EX X E EY Y EX X E Y X Cov --=--=))|(,(X Y E X Cov =这也暗示 βX X y E =]|[假定5 X 是秩为K 的n ×K 随机矩阵 这意味着X 列满秩，X 的各列是线性无关的。
在需要作假设检验和统计推断时，我们总是假定： 假定6 ],0[~2I N σε 二、最小二乘回归 1、最小二乘向量系数采用最小二乘法寻找未知参数β的估计量βˆ，它要求β的估计βˆ满足下面的条件 22min ˆ)ˆ(ββββX y X y S -=-∆ （2）其中()()∑∑==-'-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∆-nj Kj j ij i X y X y x y X y 1212ββββ，min 是对所有的m 维向量β取极小值。
(卫生统计学)第十九章 Logistic回归分析
结果解释
3个βi的估计值都是正数，表明这三个因素都是危险因素且都有统计学意 义。从优势比OR上可以看出，在因素x2和x3固定不变时，因素x1每增加一个 等级所引起的优势比为增加前的3.034倍；在因素X1和X3固定不变时，因素x2 每增加一个等级所引起的优势比为增加前的2.019倍 。在因素x1和x2固定不变 时，因素x3每增加一个等级所引起的优势比为增加前的2.651倍。同时在考察 因素相对贡献大小时，从标准系数看， β'1> β' 3 > β'2 ，故x1的相对贡献比x2和 x3大。
OR
P1 P0
/1 /1
P1 P0
e i
亦称比数比
反映某一个危险因素 xi在不同暴露水平下发病 与不发病的比。
当阳性率 P 1时， OR RR
二、参数估计
由于Logistic回归是一种概率模型，通常采用最大似然估计法（maximum likelihood estimate）求解模型中的参数βj的估计值 bj (j=0,1,2,….k)。
1. 相对危险度 RR（ Re lative Risk ） RR P1 P0
反映某一个危险因素 xi两个不同暴露水平 1与 0的发病率的比
2. 优势 Odds
Odds P1 P1 1 P1 q1
亦称比数
反映某一个危险因素 xi在暴露水平 1下发病率与不发病率的 比
3. 优势比 OR （ Odds Ratio ）
个例预测
设某AMI患者在症状5小时内送到医院（x3=0），未发生休克（x1=0）， 已有心衰（x2=1），求抢救成功的概率。
第3章 一元回归模型：假设检验
ui ~ N (0, )
2
回顾：正态分布由来
高尔顿钉板
回顾：正态分布由来
高尔顿钉板
回顾：正态分布的平均值和方差
第327页
第三章 一元回归模型：假设检验
3.1 古典线性回归模型的基本假定
第三章 一元回归模型：假设检验
3.1 古典线性回归模型的基本假定
第三章 一元回归模型：假设检验
问：随机误差项
答：使用残差项
se(b2 ) var(b2 )
u i 的方差 2 不知道怎么办？？ ei 的方差来估计随机误差项的方差：
EViews 回归结果
第三章 一元回归模型：假设检验
3.3 OLS估计量的性质
高斯-马尔科夫定理：
如果满足古典线性回归模型的基本假定，则OLS 估计量是最优线性无偏估计量（Best Linear Unbiased Evaluation , BLUE）。
3.1 古典线性回归模型的基本假定
二、对随机误差项
u i 的假定：
5. 解释变量与随机误差项不相关。
cov(ui , X i ) 0
6. 随机误差项之间不相关（无自相关、无序列相关）。
cov(ui , u j ) 0
i j i, j 1, 2,..., n
回顾：变量间的相关性
相关系数
第三章 一元回归模型：假设检验
3.3 OLS估计量的性质
1. 线性： b1和b2是线性估计量，即它们是Y的线性函数：
b1 Y b2 X
x y ( X X )(Y Y ) b x (X X ) X Y nXY X nX
i i i i 2 2 i 2 i i i 2 i 2
回归系数的假设检验(7)
回归系数的假设检验前面所求得的回归方程是否成立，即X 、Y 是否有直线关系，是回归分析要考虑的首要问题。
我们知道即使X 、Y 的总体回归系数β为零，由于抽样误差，其样本回归系数b 也不一定为零。
因此需作β是否为零的假设检验，可用方差分析或t 检验。
.P(x, y)YY ˆ- Y Y Y ------------------------------------ --------------Y YX应变量Y 的平方和划分示意图任一点P 的纵坐标被回归直线与均数Y 截成三段：第一段)ˆ(YY -，表示实测点P 与回归直线的纵向距离，即实际值Y 与估计值Yˆ之差，称为剩余或残差。
第二段)ˆ(Y Y -，即Y 估计值Y ˆ与均数Y 之差，它与回归系数的大小有关。
|b|值越大，)ˆ(Y Y -也越大，反之亦然。
当b=0时，)ˆ(Y Y -亦为零，则)ˆ(Y Y -=)(Y Y -,也就是回归直线不能使残差)ˆ(YY -减小。
第三段Y ，是应变量Y 的均数。
依变量y 的总变异)(y y -由y 与x 间存在直线关系所引起的变异)ˆ(y y -与偏差)ˆ(yy -两部分构成，即 )ˆ()ˆ()(y y y yy y -+-=- 上式两端平方，然后对所有的n 点求和，则有=-∑2)(y y 2)]ˆ()ˆ([y y y y-+-∑ )ˆ)(ˆ(2)ˆ()ˆ(22y y y y y y y y--+-+-=∑∑∑ 由于)(ˆx x b y bx a y-+=+=，所以)(ˆx x b y y -=- 于是)ˆ)(()ˆ)(ˆ(y y x x b y y y y--=--∑∑)]())[((x x b y y x x b ----=∑)()())((x x b x x b y y x x b -⋅----=∑∑ =0 所以有=-∑2)(y y ∑∑-+-22)ˆ()ˆ(y y y y2)(∑-y y 反映了y 的总变异程度，称为y 的总平方和，记为y SS ；∑-2)ˆ(y y反映了由于y 与x 间存在直线关系所引起的y 的变异程度，称为回归平方和，记为R SS ；∑-2)ˆ(yy 反映了除y 与x 存在直线关系以外的原因，包括随机误差所引起的y 的变异程度，称为离回归平方和或剩余平方和，记为SS r 。
医学统计学考题（按章节）第4题【15分】__回归分析
医学统计学考题（按章节）第4题【15分】__回归分析四、回归分析 15分可能涉及范围：多元线性回归、logistic 回归。
要求： 1、提供某⼀资料，选择统计分析⽅法2、偏回归系数、标准偏回归系数、决定系数、校正决定系数、OR 等常⽤指标的意义与应⽤3、列回归⽅程例 27名糖尿病⼈的⾎清总胆固醇、⽢油三脂、空腹胰岛素、糖化⾎红蛋⽩、空腹⾎糖的测量值如下表：（1）欲分析影响空腹⾎糖浓度的有关因素，宜采⽤什么统计分析⽅法？多元线性回归分析（2）已知⽢油三酯(X2)、胰岛素(X3)和糖化⾎红蛋⽩(X4)是主要影响因素，现欲⽐较上述因素对⾎糖浓度的相对影响强度，应计算何种指标？标准偏回归系数可⽤来⽐较各⾃变量Xj 对Y 的影响强度，有统计意义下，回归系数绝对值越⼤，对Y 的作⽤越⼤。
SPSS 输出的多元回归分析结果中给出的各变量的标准偏回归系数,⽐较三个标准偏回归系数：⽢油三脂0.354: 胰岛素0.360: 糖化⾎红蛋⽩0.413≈1:1.02:1.17（倍）糖化⾎红蛋⽩对⾎糖的影响强度⼤⼩依次为：糖化⾎红蛋⽩X4、胰岛素X3、⽢油三脂X2（3）分析其回归模型的好坏宜选⽤何种指标？校正决定系数（ R 2a ）作为评价标准⼀般说决定系数（R 2）越⼤越优，但由于R 2是随⾃变量的增加⽽增⼤，因此，不能简单地以R 2作为评价标准，⽽是⽤校正决定系数（ R 2a ）作为评价标准。
R 2a 不会随⽆意义的⾃变量增加⽽增⼤。
（4）根据给出SPSS 结果，做出正确的结论。
空腹⾎糖浓度与总胆固醇⽆关，与⽢油三脂、空腹胰岛素、糖化⾎红蛋⽩线性相关。
（5）列出回归⽅程。
最优回归⽅程为：432663.0287.0402.05.6?X X X y+-+= Model Summary(最终模型的拟合优度检验验表)相关分析【完全分析答案】jszb1、此资料包含有四个变量，属于多变量计量资料，为多因素设计。
要分析多因素对空腹⾎糖浓度的影响，宜采⽤多元线性回归分析。
回归模型的假设检验(附)
第6章 回归模型的假设检验1，区间估计—基本概念假设对消费函数回u Y C ++=21ββ归分析之后，得出边际消费倾向2β的估计值为0.509。
这是对未知的总体MPC 2β的一个单一的点估计。
这个点估计可不可靠？虽然在重复抽样中估计值的均值可能会等于真值))ˆ((22ββ=E ，但由于抽样波动，单一估计值很可能不同于真值。
在统计学中，一个点估计量的可靠性有它的标准误差来衡量。
因此，我们不能完全依赖一个点估计值，而是围绕点估计量构造一个区间。
比方说，在点估计量的两旁各划出宽为2或3个标准误差的一个区间，使得它有95%的概率包含着真实的参数值。
这就是取件估计的粗略概念。
假定我们想知道宽竟，比方说，2ˆβ离2β有多“近”。
为了这个目的，试求两个正数δ和a ,10<<a ，使得随机区间)ˆ,ˆ(22δβδβ+-包含2β的概率为a -1。
a -=+≤≤-1)ˆˆPr(222δββδβ （1） 如果存在这个区间，就称之为置信区间，)1(a -称置信系数或置信度，a 称为显著水平。
置信区间的端点称临界值。
上限和下限。
0.05，0.01。
比方说05.0=a ，（1）式就可读为：试中的区间包含真实的2β的概率为95%。
2，回归系数的置信区间一元回归时，在i u 的正态性假定下，OLS 估计量21ˆ,ˆββ本身就是正态分布的，其均值和方差已随之列出。
以2ˆβ为例 2ˆ22ˆβββS Z -=--（2） 2ˆβ的方差∑-=22)(X X σ这是一个标准化正态变量。
因此，如果知道真实的总体方差2σ已知，就可以利用正态分布对2β作概率性表达。
当2σ已知时，以μ为均值，2σ为方差的正态变量有一个重要性质，就是σμ±之间的面积约占68%，95%，99%。
但是2σ很少能知道，在现实中用无偏估计量2σ来确定。
用σˆ代替σ，（2）可以改写为 )ˆ(ˆ222βββS t -= （3）这样定义的t 变量遵循自由度为n-2的t 分布。
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统计预测：
1、总体回归系数β的区间估计
根据参数估计原理，回归系数b是总体回归系数β的点估计，正像样本均数 不一定恰好等于总体均数 一样，需要对总体回归系数β 进行区间估计。
式中Sb为回归系数的标准误；n-2为自由度。
回归方程为
根据资料的样本回归系数b=0.141估计总体回归系数β的95%可信区间。
（2）、t检验
基本思想与样本均数与总体均数比较的t检验类似，而检验统计量t值的计算按下式完成：
df = n-2
本例n =20，SS剩=1.3795 , lxx=3216.95, b=0.141
按df = 18，查t界值表，t0.05(18)=2.101, t0.01(18)=2.878，按=0.05水准，拒绝H0，接受H1，结论同上。
X
应变量Y的平方和划分示意图
任一点P的纵坐标被回归直线与均数 截成三段：
第一段 ，表示实测点P与回归直线的纵向距离，即实际值Y与估计值 之差，称为剩余或残差。
第二段 ，即Y估计值 与均数 之差，它与回归系数的大小有关。|b|值越大， 也越大，反之亦然。当b=0时， 亦为零，则 = ,也就是回归直线不能使残差 减小。
（9.71-2.101 0.3418,9.71+2.101 0.3418）= ( 8.99, 10.43)
即当年龄为50岁时，估计其胆固醇的的总体均数 在(8.99, 10.43) 范围内的可能性为95%。
3、个体Y值的容许区间
总体中，X为一定值时，个体Y值的波动范围，可按下式求出：
式中SY为X取一定值时，个体Y值的标准差，其计算公式为
试计算当X0=50时，个体Y值的95%容许区间。
已知 =9.71，t0.05(18)=2.101 ，SY.X=1.175
故当X0=50岁时，个体Y值的95%容许区间为：
（9.71-2.101 1.2230, 9.71+2.101 1.2230）=(7.14, 12.28)
即当年龄为50岁时，总体中有95%的个体Y值波动在(7.14，12.28) 的范围内。
本例 ，=0.05，=90-2=88，查表得单侧t0.05(88)=1.6624。由于本例未给出每小时汽车流量的均数及 ，且样本含量较大，故以 代替 ，计算个体Y值单侧95%容许区间的上限：
当 时，解得X=1209，即只要把汽车流量控制在1209辆/小时以下，那么就有95%可能使NO2不超过最大容许浓度0.15mg/m3。
式中 即 的标准误，可按下式计算：
式中SY.X为剩余标准差。当 时， ，此时，可信区间的范围最窄，预测精度相对较高。
试计算当X0=50岁时， 的95%可信区间。
已知 ， , sy.x=1.175
=2.661+0.141 50 = 9.71
t0.05(18)=2.101
当X0=50时， 的95%可信区间为
已知b=0.141,sb=0.0207, t0.05(18)=2.101
则总体回归系数β的95%可信区间为
(0.141-2.101 0.0207, 0.141+2.101 0.0207)=(0.0975,0.1977)
2、 的区间估计
是指总体中自变量X为某一定值X0时， 的总体均数。对 的估计可计算可信区间：
上式又可表示为：
这表明y的总平方和划分为回归平方和与离回归平方和两部分。与此相对应，y的总自由度 也划分为回归自由度 与离回归自由度 两部分，即
在直线回归分析中，回归自由度等于自变量的个数，即 ；y的总自由度 ；离回归自由度 。于是：
离回归均方 ，回归均方
(1)、方差分析法：
具体计算如下：
1、建立无效假设：
H0：β= 0，即胆固醇与年龄之间无直线关系
H1：β≠0，即胆固醇与年龄之间有直线关系
α= 0.05
2、计算
SS总=88.8081 df总=19
SS回=b lxy=0.141 (453.7385)=63.9771 df回=1
SS剩=SS总— SS回=88.8081-63.9771=24.8310 df剩=18
第三段 ，是应变量Y的均数。
依变量y的总变异 由y与x间存在直线关系所引起的变异 与偏差 两部分构成，即
上式两端平方，然后对所有的n点求和，则有
由于 ，所以
于是
=0
所以有
反映了y的总变异程度，称为y的总平方和，记为 ； 反映了由于y与x间存在直线关系所引起的y的变异程度，称为回归平方和，记为 ； 反映了除y与x存在直线关系以外的原因，包括随机误差所引起的y的变异程度，称为离回归平方和或剩余平方和，记为SSr。总变异SS总是由回归关系引起的SS回和与回归无关的其它各种因素产生的SS剩所构成。若回归直线与各实测点十分吻合，则SS回将明显大于SS剩，当全部实测值都在回归直线上时，SS总=SS回，SS剩=0，反之，若回归直线拟合不好，SS回相对较小，SS剩则相对增大。可见SS回/SS剩反映了回归的效果。
/L时的x值，故取单侧t0.05(18)=1.734，所得方程为：
由此式解得x = 32.64(mu/L) ,即如要将一名糖尿病人的血糖控制在6.66mol/L以内，胰岛素水平可维持在32.64(mu/L)以上。
又例：某市环境监测站在某交通点连续测定30天，每天定时采样3次，发现大气中NO2浓度Y(mg/m3)与当时的汽车流量X(辆/小时)呈直线关系，根据90对观测数据求得回归方程 ，剩余标准差 。若NO2最大容许浓度为0.15mg/m3,则汽车流量应如何控制？设=0.05。
方差分析结果表
变异来源
SS
df
MS
F
总变异
88.8081
19
回归
63.9771
1
63.9771
46.377
剩余
24.8310
18
1.3795
3、查表确定p值
F0.05(1,18)= 4.41 , F0.01(1,18)= 8.29 P<0.01故按α= 0.05水准拒绝无效假设，接受备择假设。
4、结论：可以认为高血脂病人治疗前胆固醇与年龄由直线关系。
回归系数的假设检验
前面所求得的回归方程是否成立，即X、Y是否有直线关系，是回归分析要考虑的首要问题。我们知道即使X、Y的总体回归系数为零，由于抽样误差，其样本回归系数b也不一定为零。因此需作是否为零的假设检验，可用方差分析或t检验。
.P(x, y)
Y
----------------------------------- --------------
用回归方程进行统计控制
控制是指党要求Y值在一定的范围内波动时，如何通过控制X的范围来实现统计控制的目标,所以统计控制是利用回归方程进行的逆估计。如：为使一名糖尿病人的血糖维持在正常范围（4.44－6.66mol/L），如何控制血中胰岛素水平？这可以对回归的逆运算来实现。
例如：资料已建立了有胰岛素估计血糖平均水平的直线回归方程，问：欲将血糖水平控制在正常范围的上限6.66mol/L以内时，血中胰岛素应维持在什么水平上？