最新第三章系统的时间响应分析机械工程控制基础教案教学文案

Chp.3时间响应分析
基本要求
(1) 了解系统时间响应的组成；初步掌握系统特征根的实部和虚部对系统自由响应项的
影响情况，掌握系统稳定性与特征根实部之间的关系。

(2 ) 了解控制系统时间响应分析中的常用的典型输入信号及其特点。

(3) 掌握一阶系统的定义和基本参数，能够求解一阶系统的单位脉冲响应、单位阶跃响
应及单位斜坡响应；掌握一阶系统时间响应曲线的基本形状及意义。

掌握线性系统中，存在微分关系的输入，其输出也存在微分关系的基本结论。

(4) 掌握二阶系统的定义和基本参数；掌握二阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应
曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻尼比之间的对应关系；掌握二阶系统性能指标的定义
及其与系统特征参数之间的关系。

(5) 了解主导极点的定义及作用；
(6) 掌握系统误差的定义，掌握系统误差与系统偏差的关系，掌握误差及稳态误差的求
法；能够分析系统的输入、系统的结构和参数以及干扰对系统偏差的影响。

(7) 了解单位脉冲响应函数与系统传递函数之间的关系。

重点与难点
重点
(1) 系统稳定性与特征根实部的关系。

(2) 一阶系统的定义和基本参数，一阶系统的单位脉冲响应、单位阶跃响应及单位斜坡响应曲线的基本形状及意义。

(3) 二阶系统的定义和基本参数；二阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应曲线的
基本形状及其振荡情况与系统阻尼比之间的对应关系；二阶系统性能指标的定义及其与系统
特征参数之间的关系。

(4) 系统误差的定义，系统误差与系统偏差的关系，误差及稳态误差的求法；系统的输
入、系统的结构和参数以及干扰对系统偏差的影响。

难点
(1) 二阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻
尼比之间的对应关系；二阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的关系。

(2) 系统的输入、系统的结构和参数以及干扰对系统偏差的影响。

建立数学模型后进一步分析、计算和研究控制系统所具有的各种性能。

时域分析法利用L变换对系统数学模型求解，可以导出各种时域性能指标。

§1 时间响应及组成
1、响应：古典控制理论中响应即输出，一般都能测量观察到；现代控制理论中，状
态变量不一定都能观察到。

能直接观察到的响应叫输出。

2、时间响应：系统在输入信号作用下，其输出随时间变化的规律。

若系统稳定，时间响应由瞬态响应和稳态响应组成。

3、瞬态响应：系统在达到稳态响应前的时间响应。

4、稳态响应：当t→∞时的时间响应。

实际给出一个稳态误差Δ，|x(t)-x(∞)|≤Δ·x(∞)
5、过渡过程：在x i(t)作用下，系统从初态到达新状态之间出现一个过渡过程。

原因：系统中总有一些储能元件，使输出量不能立即跟随其输入量的变化。

过渡过程中系统动态性能充分体现：
①快速性：响应是否快速；
②平稳性：是否有振荡，振荡程度是否剧烈；
③稳定性：系统最后是否稳定下来。

6、时间响应的数学概念：
从数学观点上理解时间响应。

线性定常系统→非齐次常系数线性微分方程，其全解=通解+特解
通解：对应齐次方程，由系统初始条件引起（零输入响应，自由响应）
特解：由输入信号引起，包括瞬态和稳态响应。

例：质量-弹簧单自由度系统
动力学方程：my″(t)+ky(t)=Fcosωt
全解：y(t)=y1(t)+y2(t) (通解+特解)
=Asinωn t+Bcosωn t+Ycosωt
求出A、B、Y，得：
§2 典型输入信号
系统动态性能通过时间响应表现。

时间响应不仅取决于系统本身特性，还与输入信号的形式有关。

系统输入信号大多具有随机性质。

但从考察系统性能出发，总可以选取一些具有特殊性质的典型输入信号来替代它们。

选取原则：①应能使系统充分显露出各种动态性能；
②能反映系统工作的大部分实际情况；
④能反映在最不利输入下系统的工作能力；
⑤应是简单函数，便于用数学公式表达、分析和处理。

典型输入信号：
①脉冲信号：
理想单位脉冲函数δ(t)
L[δ(t)]=1
模拟：碰撞、敲打、冲击等
②阶跃信号：
单位阶跃信号1(t)：R=1时，L[1(t)]=1/s
模拟：指令、电压、负荷等的突然转换。

③横速信号（斜坡函数）：
单位横速信号v(t)：R=1时，L[v(t)]=1/s2
模拟：速度信号
④恒加速信号：
单位横加速信号a(t)：R=1时，L[a(t)]=1/s3
模拟：系统输入一个随时间而逐渐增加的信号。

⑤正弦信号：
x i(t)=Asinωt
模拟：系统受周期信号作用。

本章讨论δ(t)和u(t)的时间响应。

§3 一阶系统
定义：可用一阶微分方程描述的系统。

传递函数：
特征参数：T
一、单位脉冲响应：
输入：x i (t)=δ(t) X i(s)=1
响应：W(s)=X0(s)=G(s)
单位脉冲响应：
讨论：①只有瞬态项，稳态响应为0；
②单调下降指数曲线；
③过渡过程时间Ts：对Δ=2% Ts=4T
④惯性环节：一阶系统惯性较大；
⑤脉冲信号要求：脉冲宽度ε＜0.1时间常数T。

二、单位阶跃响应：
输入：x i (t)= 1(t) X i(s)=1/s
响应：X0(s)= G(s)X i (s)=
单位脉冲响应：
讨论：①瞬态项：，稳态项：0；
②单调上升指数曲线；
③过渡过程时间Ts：对Δ=2% Ts=4T
④两种方法求T：x o(t)=0.632时，t=T
⑤t→∞时，x0(t)=1,输入与输出一致；
⑤，求出x ou(t)，再方便求出w(t) 。

§4 二阶系统
定义：可用二阶微分方程描述的系统。

传递函数：
特征参数：系统固有频率ωn，系统阻尼比ξ。

特征方程：s2+2ξωn s+ωn2=0
特征根：
一、单位脉冲响应：
输入：x i (t)=δ(t) L[x i (t)]=1
响应：
单位脉冲响应：
①欠阻尼系统0＜ζ＜1：
特征根为共轭复数fig.3.4.2
阻尼频率
②无阻尼系统ζ=0：
特征根：共轭纯虚数s1,2=±jωn
③临界阻尼系统ζ=1：
特征根：两个相等负实数s1,2=-ωn
④过阻尼系统ζ＞1：
特征根：两个不等负实数根
为两个一阶系统单位阶跃响应函数的叠加。

讨论：a) ζ=0，等幅持续振荡状态；（实际系统不可能无阻尼）fig.3.4.3
ζ＞1，无振荡，且w(t)永远为正值；
0＜ζ＜1，减幅振荡状态，幅值衰减快慢取决于衰减系数ζωn
b) 最大振峰：当0＜ζ＜1时
则
二、单位阶跃响应：
输入：x i (t)= u(t) L[u(t)]=1/s
响应：
单位脉冲响应：
①欠阻尼系统0＜ζ＜1：
瞬态项：减幅振荡，稳态项：x(∞)=1
②无阻尼系统ζ=0：
x0(t)=1-cosωn t 持续等幅振荡
③临界阻尼系统ζ=1：
无振荡，指数规律单调增加，x(∞)=1
④过阻尼系统ζ＞1：
无振荡
当ζ＞1.5时，
fig.3.4.6
三、性能指标计算（瞬态指标）：
1、指标形式：二阶系统的单位阶跃响应（时域，单位阶跃输入，二阶系统）
原因：①容易获得；
②最不利输入；
③二阶系统能较全面反映系统动态特性。

2、指标定义及计算：
在欠阻尼0≤ζ＜1下给出，选ζ=0.4～0.8
fig.3.4.7
1）上升时间t r：
ζ一定，若ωn↑，则t r↓
ωn一定，若ζ↑，则t r↑
2）峰值时间t p:
t p是有阻尼振荡周期2π/ωd的一半，t p随ωn和ζ变化情况与t r相同。

3）最大超调量M P：
M P直接反映系统过渡过程的平稳性；
M P只与ζ有关，与ωn无关；
ζ=0.4～0.8时，M P=25%～0.5%，ζ=0.7时，M P=1.5%
4）调整时间t s（过渡过程时间）：
定义：︱x0(t)-x0(∞)︱≤Δ·x0(∞) (t≥t s)
讨论：①最佳阻尼比（使t r和M P均小）
当Δ=0.02，ζ=0.76时，t s最小
当Δ=0.05，ζ=0.68时，t s最小取设计平均值→ζ=0.707
②ζ过大（ζ＞0.8），不但不减小，反而趣于增大。

原因：阻尼过大，造成迟缓。

5）振荡次数N：
定义：在0≤t≤t s，系统以阻尼频率ωd为振荡频率所经历的振荡次数。

振荡周期：2π/ωd调速时间t s
N反映系统响应平稳性。

N随ζ增大而减小，直接反映系统阻尼特性。

6）结论：
a)系统时间响应性能：由特征量ζ、ωn决定。

提高ωn：t r↓, t p↓, t s↓, →提高系统响应速度
增大ζ： M P↓, N↓→获得较好的平稳性
b)同时提高ωn和增大ζ矛盾：即响应速度和振荡性能之间存在矛盾。

c)合理设计系统，满足三方面性能指标。

稳定性（首要），快速性（灵敏性），准确性（精度）
设计中，先从稳定性出发，给出M P以确定ζ，然后根据其它指标确定ωn。

§5 高阶系统
分析方法：抓主要矛盾，忽略次要因素，将问题简化。

实际系统大多为复杂的高阶系统。

建立闭环主导极点概念，将高阶系统简化为一、二阶系统的组合。

二阶系统最能反映系统过渡特性，用二阶系统分析结论，对高阶系统近似分析。

一、高阶系统的时间响应：
系统在单位阶跃作用下有两种情况：
1、G(s)的极点是不相同的实数，全在复平面左半部；（实数极点可组成一阶项）
在阶跃信号下，
L-1变换：
式中，第二项包含多项式分量，随t→∞，各项均趣于0
p i值不同，衰减速度不一致。

关注：衰减较慢的分量（p i较小）主要影响过渡过程。

忽略：衰减较快的分量，从而将高阶→低阶。

2、极点位于复平面左半部，为实数极点和共额复数极点（可组成二阶项）
在阶跃信号下，
可见，①高阶系统的单位阶跃响应，不管极点是复实数或共额复数，都可看成一阶和
二阶单位阶跃响应的叠加。

②在各低阶响应中，各极点对系统的动态性能影响不同。

二、主导极点：
条件：①距虚轴最近的一对共额极点s1、s2的附近没有零点;
②其它极点距虚轴的距离都在这队极点距虚轴距离的五倍以上；
则这对距虚轴最近的极点称为主导极点。

讨论：①主导极点的调整时间是其它极点的5倍。

T s1≥5t s3
②主导极点衰减最慢。

③忽略非主导极点的影响，将高阶系统近似为二阶振荡系统。