相容性独立性完全性

实际上，在公理化集合论建立、“罗素悖论”被化解 以后，同一个庞加莱就打过比喻，说：现在“罗素悖论”这 样的“狼”是被圈在外面了，但圈内有没有隐藏的“狼”， 并不知道。
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3）数学的任务不能仅仅是逻辑推理
数学的任务不仅仅是形式化的逻辑推理，还必须 对外界进行观察和研究，不断用对客观世界的新发现 来丰富数学；而这些新的发现，可以是不能使用原来 的数学知识去证明的。
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如用另一种方式把该系统扩大：不是增加第五公设， 而是增加下边的公理（称为罗巴契夫斯基公理）：过直线 外一点，至少能作两条直线与已知直线平行（从而可作无 穷条直线与已知直线平行）。
这样就产生了非欧几里得几何的系统（叫罗氏几何， 也叫双曲几何）。在这一系统内，“三角形三内角之和为 １８０°”的命题，就可以被证否。而“三角形三内角之 和小于１８０°”的命题，却可以得到证明。
所谓不可判定命题，是指该命题和其反 命题都不能由该系统中的公理推导出来。
（A与非A都能导出叫“不相容”，A与非 A都不能导出叫“不完全”）】
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二、哥德尔的不完全性定理
1.关于 数学证明 与 科学证明 的再认识
公理＋逻辑推理 假说＋观察、实验 （主观符合客观）
不能推翻
可能推翻
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数学证明是依靠逻辑推理导出结论，定理一经证明就永远是对的， 除非发现证明本身有误。
１９０３年的“罗素悖论”，曾对此给以“当头棒喝”，引起了历史 上的第三次数学危机；虽然危机后来由集合论的公理化而局部化解了。
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但哥德尔的两条定理出世以后，有谁敢说，数学已经 得到严格的基础了？相反，现在比较有共识的看法是，关于 “数学基础”的问题，很可能不会有一个最终的、为一切人 所接受的解决。
20条公理，分为五组：关联公理，顺序公理，合同公理，平行公理，连续公理。
形式的公理化方法在逻辑上的要求，是满足相容性、独 立性和完全性。
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1.相容性：不允许从公理系统推出矛盾 2.独立性：每一个公理不可由其它公理
推出 3.完全性：该形式系统中所有命题都能
判定真伪
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【含有“不可判定命题”的系统是不完全 的。
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２.确定性并未丧失
不敢苟同“数学丧失了确定性”的原因有二： １）哥德尔定理乃至“确定性的丧失”，本身是非常确定 的，是用非常确定的数学方法得出的非常确定的结果。 ２）是的，数学的“确定性”不是绝对的，是有局限性的； 但这种局限性不是含糊的，数学是“非常确定”地阐明了自 己的不确定性。即，局限性在哪里，是“确定的”。
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当然，这里所说的“自我指谓”，与罗素悖论 的“自我指谓”还不完全一样，因为形式的公理化 方法本来就是自成系统的。所以这种“自我指谓” 的毛病，来自公理系统自身。
这表明，公理化方法确有局限性，公理化方法 在逻辑方面的三大基本要求，本身是无法完全满足 的。
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５.哥德尔的重大贡献
哥德尔的两条定理可以说是所有数学定理中 最具重要意义的定理之一。由此，人类对于宇 宙的认识和对于数学地位的认识，被迫作出了 根本性的改变：数学不再是精确论证的顶峰， 不再是绝对真理的化身，数学也有它自己的局 限性。
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如果再用另一种方式把该系统扩大：不是增加第五公 设，而是增加下边的公理（不妨称为黎曼公理）：过直线 外一点，不能作任何直线与已知直线平行。
这样就产生了另一种非欧几何的系统（叫黎曼几何， 也叫椭球几何）。在这一系统内，“三角形三内角之和为 １８０°”的命题，就可以被证否，而“三角形三内角之 和大于１８０°”的命题，却可以得到证明。
１９６３年，科恩又证明，“连续统假设”在ＺＦ系 统中是独立的，即不能从其它公理导出。这样，如果把 “连续统假设”的否命题加进该系统中也是相容的，不会 导出矛盾。我们把这样扩充后得到的公理化集合论，叫非 康托集合论。
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３.用非形式的数学方法去“补救”
刚才说的扩大形式系统，仍是采用“形式系统”的 方法去“补救”数学，希望每一个具体的命题（在扩大的 形式系统中）总可以证明或证否。这样，虽然不是在同一 个形式系统中做到的，人们也可以满足了。
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具体地，哥德尔的贡献可以简要地从三个方面来阐述： １）把“正确”与“可证明”区别开来
按照哥德尔的定理，任一个形式系统中都存在不可判定的命题。而 逻辑里的排中律告诉我们：一个命题Ａ和它的否命题非Ａ必有一个是正 确的；现在又说：对于不可判定命题Ａ，Ａ和非Ａ在系统中都不可证明。 这就表明：“正确”与“可证明”是两回事，而且“正确”弱于“可证 明”――“可证明”一定“正确”，“正确”不一定“可证明”。
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这些，是我们过去的认识。但是，形式的、公理化的、逻辑的推理方 法确实是无懈可击吗？数学真理一定是绝对真理吗？
1931年，年仅25岁的奥地利数学家和逻辑学家哥德尔（Kurt .Godel 1906年－1978年）在《数学物理期刊》上发表了一篇题为“论《数学原 理》和有关系统中的形式不可判定命题”的论文。他当时在维也纳大学。 论文刚发表时并未受到重视，但仅过了几年，就被数学界认为是数学和 逻辑的基础方面的划时代文献。哥德尔的论文提出了公理化方法的局限 性，这是人们始料不及的。哥德尔证明了两个重要的定理，即哥德尔第 一定理和哥德尔第二定理。
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４.问题的核心仍是“自我指谓”
在讲集合论的“罗素悖论”时，我们提到过“含有自 身的集合”这样的词句，说明过该悖论的要害是“自我 指谓”，即命题中又说到命题本身。
还有“说谎者悖论”的要害也是“自我指谓” （说谎者说： “这句话是谎话”，则，说“这句话是实话”将导致这句话是谎话， 说“这句话是谎话”又将导致这句话是实话，左右为难）（命题中 有“这句话”一词）。
例如，观察、实验、实践等等方法。
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５.数学家并未失去信心，也未停止工作
数学的逻辑基础，虽然从２０世纪三十年代起就由哥德尔定理发 现了问题，但数学仍然有力地解决着各种实际问题，发挥着越来越大 的作用。卫星上了天，人类也登上月球。数学不但得到认可，而且深 入各个角落。这与１７世纪微积分诞生以后的情形很相似。当时，虽 然有“贝克莱悖论”，但数学仍然有力地解决着机械、航海、天文等 各领域的大量实际问题，发挥着巨大的作用。
“这句话是不能证明的。” 该悖论要害也是“自我指谓” 。
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哥德尔第一定理说，相容的体系中存在不可判定的命 题。这就是，如果只从体系内去判断体系里的命题，这就 是“自我指谓”。古诗说“不识庐山真面目，只缘身在此 山中”，也是这个道理。
哥德尔第二定理说，公理体系的相容性不能在体系中 被证明。这就是，如果只想从体系中去证明体系本身的相 容性，这就是“自我指谓”。俗话说：“老王卖瓜，自卖 自夸”。人们不能只听他自己的宣传，就判定他的瓜是好 的；也不能只从公理体系自己的逻辑推理，就推出体系自 己的相容性来。
哥德尔第一定理是说，在一个相容的形式系统内，有该系统无法 证明也无法证否的命题。但根岑想到，在一个扩大的形式系统中该命题 是可能被证明或证否的。这使我们找到了“补救”数学的途径。
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２.扩大形式系统去“补救”
上面“算术相容性”被证明的例子，使我们了解了 公理化方法的局限性和补救的一种办法：对每一个具体的 公理化形式系统，总有不可判定的命题；但是，适当扩大 这个形式系统，又可以证明或证否该命题。
“相容性、独立性和完全性”的观点
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一、相容性、独立性和完全性
组织、表述数学知识和理论的经典方法，往往是形式的 公理化方法，即从一批公理、定义出发，通过逻辑推理，得 到一系列结论（称为命题、定理或推论）的方法。
公元前300年欧几里得的 几何《原本》：5条公理；5条共设；119个定义；465个命题 1899年希尔伯特的《几何基础》：几何对象的深刻抽象；公理系统的逻辑要求
而其它学科的证明，往往是在某些依据下提出一种假说，当观察和 实验与该假说相符，就成为假说成立的证据。如果该假说不仅能描述已 知的现象，而且能预见未知的事实，就成为假说成立的更强的证据。证 据积累到一定的数量，假说就改称为理论而被人们接受。
观察和实验是可能出错的，或者可能是不精确的，从而只能提供近 似的证据，导出相对正确的理论。所以其它学科的理论，可能在后来会 被证明是错的，从而导致科学上的革命，以至用新理论去代替旧理论。 数学证明却与此不同，数学证明不是依赖于观察和实验，而是依赖于逻 辑，所以，数学证明具有“绝对的意义”。
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例2）关于“连续统假设”
在康托的集合论的系统内，有一个“连续统假设”， 是说，“无穷势中可数无穷势是最小的势，连续统势是 次小的势”。证明这一命题为真，被列为希尔伯特２３ 个问题中的第一个问题。后来的研究表明，“连续统假 设”在上述系统内，既不能被证明，也不能被证否。
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１９３３年，哥德尔证明，把“连续统假设”加进该 系统（集合论的ＺＦ系统）中是相容的，不会导出矛盾。 我们把这样扩充后得到的公理化集合论，叫康托集合论。
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２.哥德尔第一定理：对于包含自然数 系的任何相容的形式体系Ｓ，Ｓ中都有不 可判定命题，从而该体系是“不完全”的。
（这里，“包含自然数系”不是特别的要求， 一般的形式体系都包含自然数系。）
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哥德尔第一定理表明，相容的体系一 定是不完全的，这太令人吃惊了！
例如哥德巴赫猜想，至今未被证明，也 未被推翻，它是不可判定的命题吗？那样我 们就永远也不能证明它了！
这为数学研究大大拓宽了视野。
20Fra Baidu bibliotek
三、对数学如何“补救”
１.算术相容性的证明
“算术相容性”，本来在希尔伯特的“元数学”体系中是一个不 可判定命题，但是根岑（Gentzen,Gerhard,1909年-1945年）在１９３ ６年证明了它。
根岑是扩大了希尔伯特的元数学中所允许采用的逻辑而应用了 超限归纳法，从而完成了这一证明。
所以说，数学家并未因数学基础的问题尚未解决而失去信心，也从 来没有停止他们的数学工作。
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四、《数学：确定性的丧失》
１.克莱因的一本材料丰富的书
美国著名数学家Ｍ•克莱因１９８０年出版了一本 名为《数学：确定性的丧失》的书。 这是一本材料十 分丰富的书。这本书早已有了中译本。
但对这一书的书名，有不少数学家说：“实在不敢 苟同”。
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例1）关于非欧几何
对欧几里得的第五公设，在“去掉第五公设的欧 氏几何系统”内，用欧氏几何的其它公理公设，不能 证明、也不能证否。“三角形三内角之和为１８０°” 这一命题，也是 既不能证明又不能证否的命题。
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现在，把该形式系统扩大，增加第五公设：过直线外 一点，能作且只能作一条直线与已知直线平行。这样就产 生了欧几里得几何的系统。在这一系统内，“三角形三内 角之和为１８０°”的命题，就可以得到证明。
但是，除了形式的方法外，也还可以有非形式的数学 方法，去解决具体的数学问题。例如构造的方法、问题的 方法。我们是否可以用非形式的数学方法去解决问题，以 “补救”数学呢？
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４.用非数学的方法去“补救”
数学是为认识宇宙产生的，但解决宇宙中的问题， 判断一个命题的真伪，除了数学的方法外，还可以有非数 学的方法。采用多种方法，我们总可以一步步前进，逐渐 地认识世界。
这就是说，公理化体系对逻辑的三条最基本的要求—— 相容性、独立性、完全性，是无法同时满足的。
公理化体系大厦的基础崩塌了！
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据说，哥德尔对“形式化”方法的怀疑， 是受到一个 有名的悖论的启发
说谎者悖论：“这句话是谎话。” 哥德尔的模仿：“这句话是不能证明的。”
启发：任何形式系统中都有这样的命题 ——在该系统中既不能证明，也不能证否
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３. 哥德尔第二定理：对于包含自然数系的任何相
容的形式体系Ｓ，“Ｓ的相容性”是不可判定的。 只有有穷个命题的体系，“体系的相容性”原则上是可
以判定的；但包含自然数系的形式体系中有无穷个命题（因为 自然数有无穷多个），而哥德尔又证明了：对于包含自然数系的 任何相容的形式体系Ｓ，“Ｓ的相容性”是不可判定的。
这是极其深刻的：一方面把逻辑真与“主观符合客观”之谓真，区 别开来了；另一方面，又把逻辑真与逻辑的可证明区别开来了。
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２）清醒地提出 “‘数学基础’的问题能否彻底解决”
的问题
从１７世纪起，数学家就在寻求“数学基础”，极限理论和实数 理论的建立，康托的集合论，希尔伯特的公理化思想，使人们看到了解 决这一问题的希望，以致１９００年庞加莱在国际数学家大会上宣称 “完全的严格性已经达到了！”