2018版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.2简单几何体的面积与体积试题理北师大版

第八章 立体几何与空间向量 8.2 简单几何体的面积与体积试题 理

北师大版

1．多面体的表面积、侧面积

因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．

2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱 圆锥 圆台

侧面展开图

侧面积公式 S 圆柱侧＝2πrl S 圆锥侧＝πrl

S 圆台侧＝π(r 1＋r 2)l

3.柱、锥、台和球的表面积和体积

名称

几何体 表面积

体积

柱体(棱柱和圆

柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底

V ＝Sh

锥体(棱锥和圆

锥) S 表面积＝S 侧＋S 底

V ＝13

Sh

台体(棱台和圆

台) S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下

V ＝13

(S 上＋S 下＋S 上S 下)h

球

S ＝4πR 2

V ＝43

πR 3

【知识拓展】

1．与体积有关的几个结论

(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等． 2．几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ； ③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .

(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2

＋b 2

＋c 2

. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( √ ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积．( × ) (3)球的体积之比等于半径比的平方．( × )

(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．( √ ) (5)长方体既有外接球又有内切球．( × )

(6)圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS .( × )

1．(教材改编)已知圆锥的表面积等于12π cm 2

，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )

A ．1 cm

B ．2 cm

C ．3 cm D.32 cm

答案 B

解析 S 表＝πr 2

＋πrl ＝πr 2

＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π， ∴r 2

＝4，∴r ＝2 cm.

2．某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )

A ．90 cm 2

B ．129 cm 2

C ．132 cm 2

D ．138 cm 2

答案 D

解析 该几何体如图所示，长方体的长，宽，高分别为 6 cm,4 cm ，3 cm ，直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为3 cm,4 cm ，5 cm ，所以表面积S ＝[2×(4×6＋4×3)＋3×6＋3×3]＋(5×3＋4×3＋2×12

×4×3)＝99＋39＝138(cm 2

)．

3．(2016·全国甲卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为( ) A ．12π B.

32

3

π C ．8π D ．4π

答案 A

解析 由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线23即为球的直径，所以球的表面积为4πR 2

＝(2R )2

π＝12π，故选A.

4．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺313寸，容纳米2 000斛(1丈＝10

尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底面圆周长约为( ) A ．1丈3尺 B ．5丈4尺 C ．9丈2尺 D ．48丈6尺

答案 B

解析 设圆柱底面半径为r 尺，高为h 尺，依题意，圆柱体积为V ＝πr 2

h ＝2 000×1.62≈3×r 2

×13.33，所以r 2

≈81，即r ≈9，所以圆柱底面圆周长为2πr ≈54,54尺＝5丈4尺，即圆柱底面圆周长约为5丈4尺，故选B.

5．(2016·成都一诊)如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去

部分的体积之比为________．

答案 1∶1

解析 由三视图可知半球的半径为2，圆锥底面圆的半径为2，高为2，所以V 圆锥＝13×π×2

3

＝83π，V 半球＝12×43π×23

＝163π，所以V 剩余＝V 半球－V 圆锥＝83π，故剩余部分与挖去部分的体积之比为1∶1.

题型一 求空间几何体的表面积

例1 (1)(2016·淮北模拟)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )

A ．21＋ 3

B ．18＋ 3

C ．21

D ．18

(2)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________． 答案 (1)A (2)12

解析 (1)由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示，

因此该几何体的表面积为 6×(4－12)＋2×34×(2)2

＝21＋ 3.故选A.

(2)设正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h ′. 由题意，得13×6×1

2×2×3×h ＝23，

∴h ＝1，∴斜高h ′＝12

＋3

2

＝2，

∴S 侧＝6×1

2

×2×2＝12.

思维升华 空间几何体表面积的求法

(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．

(2016·大连模拟)如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为

________．

答案 26

解析 该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长，宽，高分别为4,1,2，挖去半圆柱的底面半径为1，高为1，

所以表面积为S ＝S 长方体表－2S 半圆柱底－S 圆柱轴截面＋S 半圆柱侧＝2×4×1＋2×1×2＋2×4×2－π×1

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