概率论与数理统计第2讲

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表1-2 试验序号 1 试验次数n m 52 m/n 0.52
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3 4 5 6 7
53
52 54 52 67 54
0.53
0.52 0.54 0.52 0.67 0.54
8
9 10 总计
59
53 51 547
0.59
0.53 0.51 0.547
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概率的客观存在性是很重要的，概率论的基 础就建立在任何给定的试验的各种事件的概 率的客观存在性上。
同理可证明n个两两互不相容事件A1,A2,…,An 的和事件的概率也满足 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) (1.5)
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定理 1.3如果AB，则 P(A-B)=P(A)-P(B) (1.6) 和P(A)P(B)。 证 因为AB，则必有AB=B，将A表达为两个 互不相容事件的和事件，即 A AB AB B ( A - B) 则由定理 1.2得 P(A)=P(B)+P(A-B) 经整理后得到式(1.6)。由公理(1)可知P(AB)0，再由式(1.6)知P(A)P(B)。
有利于A的基本事件数 m P( A) (1.2) 试验的基本事件总数 n
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例 1.6 袋内装有5个白球，3个黑球。从中任 取两个球，计算取出的两个球都是白球的概 率。 2 解 组成试验的基本事件总数 n C53 组成所求事件A={取到两个白球}的基本事件 数 mC
2 5
，由式(1.2)有：
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n个事件A1,A2,…,An总共可以组成多少个最小 项呢？ 首先，A1可以有不取逆的A1和取逆的A1 两种 选择，在这两种选择中的每一种，A2也相应 地有两种，…，依此类推，因此n个事件总共 可以组成2n个最小项。
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例如，A,B两个事件共可组成4个最小项为 AB, AB, AB , AB 而A,B的任何逻辑式子都可以由这4个最小项 中的几个的和构成，例如 A AB AB , A B AB AB AB 等等。而不难看出各个不同的最小项的相互 之间是互不相容的。
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因此研究概率的公理化体系和相应的定理， 其实也都是价格的计算规律，就是想象将整 个样本空间出售，总价钱定为1，则每一个事 件都有自己相应的价格，且互不相容事件的 和事件的价格是各个事件的价格相加。当然 必须假设这些价格是不打折的。
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还有一种掌握上述公理和定理的办法，就是利用图 形。观察图 1-1中的各个事件的运算，同时将描述 样本空间W的正方形视为几何概型中的区域，试验 是向此正方形区域投掷一点，而投到区域A或者B 就是事件A或者B发生，整个正方形的面积是1，代 表W的概率，而区域A或者B的面积就恰好是事件A 与B的发生概率。这是因为面积和概率其实都是测 度。用这种思考办法，上述的公理和定理都很容易 地从图形上得到解释，甚至不需要专门地去记忆。
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源自文库
定理 1.2 (加法定理)如果A与B互不相容，则 有 P(A+B)=P(A)+P(B) (1.4) 证 将A+B表示为可列个互不相容事件的和事 件为 A+B=A+B+++… 则根据公理(3)和定理 1.1即得 P(A+B)=P(A)+P(B)+P()+P()+… =P(A)+P(B)
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根据古典概型我们已经知道了一枚对称的硬 币，正面出现的概率是0.5，既然如此这些科 学家为什么还要反复地做这种试验呢？
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假设频率可以做为概率的一种测量手段，就 象秤可以做为物体的重量的测量手段一样。 有时需要验证一下秤是否准确，因此将一个 已知重量的物体放在秤上称，如果秤在允许 误差范围内是准确的，就相信秤是可以工作 的。从表 1-1中可以看出，只要试验次数足够 大，则事件发生的频率确实可以作为事件发 生概率的测量值。
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历史上一些科学家做的掷硬币试验如表 1-1所 示。
试验者 表 1-1 抛掷次数 正面出现次数 正面出现频率 n m 2048 1061 0.518 4040 2048 0.5069 12000 6019 0.5016 24000 12012 0.5005 30000 14994 0.4998
德•摩尔根 蒲丰 皮尔逊 皮尔逊 维尼
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定理 1.4任何随机事件A都有P(A)1。 证 因对任何事件A都有WA, 由定理 1.3有 P(W)P(A), 再根据公理(2) P(W)=1可得结论。
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定理 1.5 (广义加法定理)任给两个事件A,B, 它 们不必互不相容，则有下式成立： P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) (1.7) 证 根据式(1.1)将A+B表示成两个互斥事件的 和事件即A+B=A+(B-AB)，再根据定理 1.2和 定理 1.3及BAB可得 P(A+B)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB)
2 5 2 8
m C 5 4 5 P( A) 0.357 n C 8 7 14
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二. 几何概型
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如果一个试验的结果是在一线段上的各处等 可能，或者平面上的一区域等可能，或者立 体空间中的一区域等可能，这样的试验模型 称之为几何概型。
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若在一个面积为S(W)的区域W中等可能地掷 一个点，例如，可以想象用围栏将这个区域 围起来后向区域中掷一乒乓球，待乒乓球静 止后，试验结果就是球的位置，考虑事件为 球落入某个区域A，我们同样用字母A表示落 入这个区域的事件，区域A的面积为S(A), 则 由于等可能性导致了事件A发生的概率用下 式计算：
S ( A) P( A) S ( W) (1.3)
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例 1.7 在一个边长为a的一个正方形内等可能 地掷一个质点，求质点落在正方形内接圆内 的概率。
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例 1.7 在一个边长为a的一个正方形内等可能 地掷一个质点，求质点落在正方形内接圆内 的概率。 解 设事件A={质点落在正方形内接圆内}，正 方形的面积S(W)=a2, 正方形内接圆的直径为a， 则圆的面积 1 2 S ( A) a 4 由式(1.3)有： 1 2 a S ( A) 4 1 P ( A) 0.8754 2 S (W) a 4
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频率当然和概率不同，频率只是概率的测量 值，但是在实际生活中，媒体在宣布某一个 事件的概率的时候，其实是在宣布一个事件 发生的频率。但这是一种简化的说法并无大 碍。正如媒体宣布珠穆朗玛峰的高度为海拔 8848.43米，但是这是一种说法的简化，严格 的说法是珠穆朗玛峰的海拔高度的测量值为 8848.43米。
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就如同任何给定的物体的重量也是客观存在 的。在实际生活中经常遇到一些试验无法在 同样条件下重复进行，但是对应的各个事件 的概率仍然是客观存在的，只不过我们缺少 了用频率进行测量的手段而已。正如在实际 生活中有一些物体的重量也没有办法拿到秤 上去秤，例如一座山的重量，一朵云的重量， 但是我们仍然相信这些物体的重量是客观存 在的。
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掷硬币试验，我们当然知道正面的概率是0.5， 但是如果是掷围棋子呢？因为围棋子是不对 称的，正面和反面的概率是不同的，因此是 无法计算出来正面朝上的概率的，因此就只 有通过反复试验这种办法来进行测量。笔者 就尝试掷了1000次双元牌的围棋子，是按每 100次一组，共掷了10组，试验的记录如表 1-2所示，其中m为正面朝上的次数。
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在求解一些概率论问题时，虽然有可能试验 无法重复进行，但是在大脑的思考中，在想 象中将试验作上多次，是一种好的思考办法。
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1.3 3条公理
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概率论有关概率的计算有3条公理如下： ⑴ 对任何事件A，P(A)0； ⑵ P(W)=1； ⑶ 若可列个事件A1,A2,…两两互不相容，则 P(A1+A2+…)=P(A1)+P(A2)+… 由这3条公理可以证明一些定理。
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广义加法定理可以推广到三个以上的事件的 和事件的概率, 如P(A+B+C), 只要先将A+B和 C这两个事件代入广义加法定理一次后，按 P(A+B)再展开一次，就不难得到下式： P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C) -P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) (1.8)
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定理 1.6对于任何事件A，都有
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而三个事件A,B,C共可由组成八个最小项为 ABC , ABC , ABC , ABC , ABC , ABC , ABC , ABC 这三个事件的任何一个逻辑式子都可以由这 八个最小项中拿出几个的和来表示。 例如，最常用的表示{A,B,C至少发生两个}的 事件可以表示为AB+AC+BC, 但是用最小项表 示，就是 ABC ABC ABC ABC
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三. 用频率测量概率
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给定一个试验和此试验下定义的一个事件， 我们相信这个事件发生的概率是一个客观存 在的量。
但是，除了上面讲的古典概型和几何概型这 样的等可能模型外，有许多事件的概率往往 是无法通过运算得到的。这就让我们想到测 量。
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关于这一点我们可以拿概率和其他的一些物 理量比较。一个物体的重量是一个客观的存 在。如果我们有条件，可以用一个秤来秤这 个物体，我们就可以得到这个物体的重量的 测量值。一座山的高度也是一个客观的存在， 我们可以通过各种测量仪器测得山的高度。
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1.2 随机事件的概率
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给定了一个试验并给定一个事件A，则在此 试验中事件A有可能发生也有可能不发生， 事件A发生的可能性大小，被称之为事件A的 概率，或者也有一些学术著作称为几率或者 或然率。但是这是当初从英语翻译过来时不 同的翻译造成的情况，对应的英语单词都是 probability。
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概率设计成必然事件W的概率为1，1代表可 能性最高，必然发生，而不可能事件的概 率为0，0代表可能性最低，不可能发生。而 一般的事件的概率，通常都是一个介于0与1 之间的纯小数，这个数字越大，事件发生的 可能性越大。
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定理 1.1 P()=0。 证 不可能事件的一个重要性质就是任意两个 不可能事件都是互不相容的，这是因为它们 根本不可能发生，因此都发生也是不可能的， 而可列个不可能事件的和事件仍然是不可能 事件，即=++…, 将它们代入到公理(3) 中就可以得到 P()=P()+P()+… 由公理(1)知 , 但只有当P()=0时上式成立。
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而对于一个给定试验的事件A，如果这个试 验我们有条件反复地做，假设重复地做了n次， 其中事件A发生的次数有nA次，我们称比值 nA n 为事件A发生的频率，记为f(A)。只要试验的 次数足够多，我们就可以用频率来作为某个 事件发生的概率的测量值。这一点被称为大 数定律。
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当然，后来人们又在概率论的公理化体系下 严格地证明了大数定律，则这时大数定律又 可称之为大数定理了。
概率论与数理统计第2讲
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四. 几个事件的最小项表示
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给定n个事件A1,A2,…,An，将其中的一些取逆， 取逆的事件的数目可以是0,1,…,n，将这些取 逆的和不取逆的n个事件的积事件，称之为由 A1,A2,…,An这n个事件的一个最小项。
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将事件A的概率记为P(A)。概率论就是研究概 率的学科。因此，概率是一种特殊的函数， 和一般的数学学过的实函数不同在于，一般 的实函数的自变量和函数值都是实数，而概 率这种特殊的函数，自变量却是事件，前面 也已经讲过事件就是试验结果的集合，因此 是集合的函数，也就是说，每给定一个集合， 就有一个称之为概率的实数和它对应。下面 先介绍概率的古典概型。
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一. 古典概型
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古典概型的试验具有这样的特点，每次试验 只有有限种可能的试验结果，即组成试验的 基本事件总数为有限个，每次试验中，各基 本事件的可能性相同。
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定义 1.1 若试验结果一共由n个基本事件 E1,E2,…,En组成，并且这些事件的出现具有相 同的可能性，而事件A由其中某m个基本事件 的并构成，则古典概型的事件A的概率可按 下式计算
P( A) 1 - P( A)
(1.9)
证 因为 1 P(W) P( A A) P( A) P( A) 整理即得式(1.9)
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其实，上述的这么些公理定理也不需要费很 大的力气去背，而是知道“概率是一种测度” 就行。在数学上测度这个概念是在实变函数 理论中提出的，简略地说，长度，面积，体 积都是测度，而概率还属于一种广义测度， 就是类似价格这样的测度，价格就是一种测 度。