2018年高考数学全国卷Ⅰ理科第20题创新解法和赏析

（1）作者 马国范 郑州市第十六中学 450007
河南省郑州市中原区友爱路26号
（2）题目
（2018年高考数学全国卷Ⅰ文科第20题）
（3）解答
(1)略.
(2)如图, 由题意
设直线l 的参数方程为2cos ,()sin x t t y t θθθθ
=+⎧≠⎨=⎩为参数，为直线l 的倾斜角且0,
代入抛物线方程整理得22sin 2cos 40t t θθ--=.因为点A 在抛物线内,所以0∆〉恒成立.
12,t 设交点M 、N 对应的参数分别为t . 根据根与系数的韦达定理得1212222cos 4,sin sin t t t t θθθ
-+==. 又1122(2cos ,sin ),(2cos ,sin )M t t N t t θθθθ++,且直线BM 、BN 的斜率都存在， 从而得1212121212sin sin 2sin cos 4sin ()04cos 4cos (4cos )(4cos )BM BN t t t t t t k k t t t t θθθθθθθθθ+++=+==++++. 故直线BM 和直线BN 的倾斜角互补,所以∠ABM=∠ABN.
（4）赏析
本题从题面上看简单、平凡，依托三条直线和抛物线的特殊位置关系考查求直线方程、证明两个角相等，这些都是平面解析几何的基本对象、基本知识；其实本题素养立意明确，内涵丰富，得分靠实力，虽然情境熟悉，但是选材考究，设问不落窠臼，不仅关注考生对数学本质的理解（证明此条件下得到的两个角相等是圆锥曲线具有的共同特点和规律），而且思维层次明显，难度适中,区分度好；命题专家抓住了解析几何的焦点和关键，考查解析法、设而不求的方法，综合考查分类与整合、
数形结合、转化化归和方程的思想，着力检验考生
数学运算、逻辑推理、直观想象等数学核心素养.同时蕴含着丰富的教育价值,对高中数学教学具有很好的导向性.
这里利用直线的参数方程来处理,可避开对直线斜率是否存在的讨论.。