2022新教材高中数学第二章函数章末检测含解析北师大版必修第一册

函数
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知函数f (x ＋1)＝e
x －1
，则f (2)＝( )
A ．1
B ．0
C ．e
D ．e 2
解析：选A ∵f (x ＋1)＝e x －1
，
∴f (2)＝f (1＋1)＝e
1－1
＝1.
2．已知幂函数f (x )＝kx α
(k ∈R ，α∈R)的图象过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，2，则k ＋α等于( )
A.1
2 B ．1 C.32
D ．2
解析：选A ∵幂函数f (x )＝kx α
(k ∈R ，α∈R)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，∴k ＝1，⎝ ⎛⎭
⎪⎫12α
＝2，∴α＝－12，∴k ＋α＝1－12＝1
2
.
3．函数f (x )＝3－x
2x 2－9x ＋4的定义域是( )
A ．(－∞，3]
B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3
C.⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，3 D ．(3，4)∪(4，＋∞)
解析：选C 要使函数f (x )有意义，则⎩
⎪⎨⎪
⎧3－x ≥0，2x 2－9x ＋4≠0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ≠12
且x ≠4，即x <12或1
2<x ≤3.故选C.
4．已知函数f (x )＝x k
(k ∈Q)，在下列函数图象中，不是函数y ＝f (x )的图象的是( )
解析：选C 函数f (x )＝x k
(k ∈Q)为幂函数，图象不过第四象限，所以C 中函数图象不
是函数y ＝f (x )的图象．故选C.
5．已知A ，B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A 地前往B 地，在
B 地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x (千米)表示为
时间t (时)的函数表达式是( )
A ．x ＝60t
B ．x ＝60t ＋50
C ．x ＝⎩
⎪⎨⎪
⎧60t ，0≤t ≤2.5，150－50t ，t >3.5
D ．x ＝⎩⎪⎨⎪
⎧60t ，0≤t ≤2.5，150，2.5<t ≤3.5，150－50（t －3.5），3.5<t ≤6.5
解析：选D 由于在B 地停留1小时期间，距离x 不变，始终为150千米，故选D. 6．已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且对任意x 1，x 2∈(－∞，0]，当x 1≠x 2时总有
f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则满足f (1－2x )－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13>0的x 的范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，23 解析：选A 由题意，f (x )在(－∞，0]上是增函数，又f (x )是定义域为R 的偶函数，
故f (x )在[0，＋∞)上是减函数．由f (1－2x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13>0可得f (1－2x )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，即f (|1－2x |)>f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
13
，所以|1－2x |<13，解得13<x <23
.
7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧（a －3）x ＋5，x ≤1，2a x ，x >1是R 上的减函数，那么a 的取值范围是
( )
A ．(0，3)
B ．(0，3]
C ．(0，2)
D ．(0，2]
解析：选D ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧（a －3）x ＋5，x ≤1，2a x ，x >1是R 上的减函数，
∴x ≤1时，f (x )单调递减，即a －3<0，①
x >1时，f (x )单调递减，即a >0，②
且(a －3)×1＋5≥2a
1，③
联立①②③解得0<a ≤2，故选D.
8．在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当
a <
b 时，a ⊕b ＝b 2.已知函数f (x )＝(1⊕x )x －2(2⊕x )(x ∈[－2，2])，则满足f (m ＋1)≤f (3m )
的实数的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞
B ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2 C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，23 D.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－1，23 解析：选C 当－2≤x ≤1时，f (x )＝1·x －2×2＝x －4； 当1<x ≤2时，f (x )＝x 2
·x －2×2＝x 3
－4.
所以f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x －4，－2≤x ≤1，
x 3－4，1<x ≤2.
易知，f (x )＝x －4在区间[－2，1]上单调递增，f (x )＝x 3
－4在区间(1，2]上单调递增，且－2≤x ≤1时，f (x )max ＝－3，1<x ≤2时，f (x )min ＝－3，则f (x )在区间[－2，2]上单调递增，所以由f (m ＋1)≤f (3m )得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m ＋1≤2，－2≤3m ≤2，m ＋1≤3m ，
解得12≤m ≤2
3
，故选C.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9.已知定义在区间[－7，7]上的一个偶函数，它在[0，7]上的图象如图，则下列说法正确的有( )
A ．这个函数有两个单调递增区间
B ．这个函数有三个单调递减区间
C ．这个函数在其定义域内有最大值7
D ．这个函数在其定义域内有最小值－7
解析：选BC 根据偶函数在[0，7]上的图象及其对称性，作出其在[－7，7]上的图象，如图所示．由图象可知这个函数有三个单调递增区间，有三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不是－7，故选B 、C.
10．若函数y ＝ax ＋1在区间[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值可以是( )
A ．2
B ．－2
C ．1
D ．0
解析：选AB 显然a ≠0，当a >0时，y ＝ax ＋1在x ＝2取得最大值，在x ＝1取得最小值，所以2a ＋1－(a ＋1)＝2，即a ＝2；当a <0时，y ＝ax ＋1在x ＝1取得最大值，在x ＝2
取得最小值，所以a ＋1－(2a ＋1)＝2，即a ＝－2.
11．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋2.x ≤－1，
x 2，－1<x <2，关于函数f (x )的结论正确的是( )
A ．f (x )的定义域为R
B ．f (x )的值域为(－∞，4)
C ．若f (x )＝3，则x 的值是 3
D ．f (x )<1的解集为(－1，1)
解析：选BC 由题意知函数f (x )的定义域为(－∞，2)，故A 错误；当x ≤－1时，f (x )的取值范围是(－∞，1]，当－1<x <2时，f (x )的取值范围是[0，4)，因此f (x )的值域为(－∞，4)．故B 正确；当x ≤－1时，x ＋2＝3，解得x ＝1(舍去)．当－1<x <2时，x 2
＝3，解得x ＝3或x ＝－3(舍去)．故C 正确；当x ≤－1时，x ＋2<1，解得x <－1，当－1<x <2时，x 2
<1，解得－1<x <1，因此f (x )<1的解集为(－∞，－1)∪(－1，1)，故D 错误，故选B 、C.
12．具有性质：f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数中
满足“倒负”变换的函数是( )
A ．f (x )＝x －1
x
B ．f (x )＝x ＋1
x
C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，
0，x ＝1，
－1
x
，x >1
D ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，
0，x ＝1，
1x ，x >1
解析：选AC 对于A ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x
－x ＝－⎝
⎛⎭
⎪⎫x －1x
＝－f (x )，满足“倒负”变换．对于B ，
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1
x ＋x ＝x ＋1
x ＝f (x )≠－f (x )，不满足“倒负”变换．对于C ，当0<x <1时，1
x >1，f ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
1x ＝－11x
＝－x ＝－f (x )；当x ＝1时，1x ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝0＝－f (x )；当x >1时，0<1x <1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1
x
＝
－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝－f (x )，满足“倒负”变换．对于D ，当0<x <1时，1x >1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1
1
x
＝x ≠－f (x )，
不满足“倒负”变换．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．若函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧2x 2
＋7x －4，x >0，
g （x ），x <0为奇函数，则f (g (－1))＝________．
解析：当x <0时，－x >0.因为f (x )是奇函数，
所以f (－x )＝－f (x )＝2(－x )2－7x －4＝2x 2
－7x －4， 所以f (x )＝－2x 2
＋7x ＋4.即g (x )＝－2x 2
＋7x ＋4， 因此，f (g (－1))＝f (－5)＝－50－35＋4＝－81. 答案：－81
14．已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝x (1－x )，则当x <0时，f (x )＝________． 解析：因为x <0，所以－x >0，所以f (－x )＝(－x )(1＋x )，又函数f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－(－x )(1＋x )＝x (1＋x )，所以当x <0时，f (x )＝x (1＋x )．
答案：x (1＋x )
15．已知二次函数f (x )＝2x 2
－4x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32上的最大值为________．
解析：二次函数f (x )＝2x 2
－4x 图象的对称轴为直线x ＝1，因此函数f (x )在区间[－1，
1]上单调递减，在⎝ ⎛⎦
⎥⎤1，32上单调递增．
因为f (－1)＝6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－32，所以f (－1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32上的最大值为f (－1)＝6.
答案：6
16．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 的值为________．若f (x )在[3，＋∞)为增函数，则a 的范围为________．
解析：由题得函数f (x )在⎝ ⎛
⎦⎥⎤－∞，－a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫
－a
2，＋∞上单调递增，则－a
2＝
3，即a ＝－6.由f (x )在[3，＋∞)为增函数，故－a
2
≤3，∴a ≥－6.
答案：－6 [－6，＋∞)
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧3－x 2
，x >0，2，x ＝0，1－2x ，x <0.
(1)画出函数f (x )的图象；
(2)求f (a 2
＋1)(a ∈R)，f [f (3)]的值； (3)当f (x )≥2时，求x 的取值范围． 解：(1)图象如图所示：
(2)f (a 2
＋1)＝3－(a 2
＋1)2
＝－a 4
－2a 2
＋2，f [f (3)]＝f (－6)＝13. (3)当x >0时，3－x 2
≥2，解得0<x ≤1； 当x ＝0时，满足f (x )＝2； 当x <0时，1－2x ≥2，解得x ≤－1
2
.
综上，当f (x )≥2时，x 的取值范围为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－1
2或0≤x ≤1.
18．(本小题满分12分)已知函数f (x )的定义域为(－1，1)，且满足下列条件：①f (x )为奇函数；②f (x )在定义域上是减函数；③f (1－a )＋f (1－a 2
)<0.求实数a 的取值范围．
解：∵f (x )为奇函数，∴f (1－a 2
)＝－f (a 2
－1)，
∴f (1－a )＋f (1－a 2
)<0⇒f (1－a )<－f (1－a 2
)⇒f (1－a )<f (a 2
－1)． ∵f (x )在定义域(－1，1)上是减函数， ∴⎩⎪⎨⎪
⎧1－a >a 2
－1，－1<1－a <1，－1<a 2－1<1，解得0<a <1， 故实数a 的取值范围为(0，1)．
19．(本小题满分12分)已知定义在R 上的偶函数f (x )，当x ∈(－∞，0]时，f (x )＝－
x 2＋4x －1.
(1)求函数f (x )在(0，＋∞)上的解析式； (2)求函数f (x )在[－2，3]上的最大值和最小值． 解：(1)设x >0，则－x <0，∴f (－x )＝－x 2
－4x －1. ∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝－x 2
－4x －1(x ∈(0，＋∞))．
(2)由(1)得f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧－x 2
－4x －1，x >0，－x 2
＋4x －1，x ≤0. ∴f (x )在[－2，0]上单调递增，在[0，3]上单调递减， ∴f (x )max ＝f (0)＝－1，
f (x )min ＝min{f (－2)，f (3)}＝f (3)＝－22.
∴函数f (x )在[－2，3]上的最大值是－1，最小值是－22. 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax ＋1
x
2(x ≠0，a ∈R)．
(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数f (x )在(2，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：(1)函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当a ＝0时，f (x )＝1
x
2，对定义域内的任意x ，都有f (－x )＝f (x )，
所以当a ＝0时，函数f (x )是偶函数． 当a ≠0时，f (1)＝a ＋1，f (－1)＝1－a . 因为a ＋1≠1－a ，且1－a ≠－(a ＋1)， 所以f (x )既不是奇函数，也不是偶函数． (2)任取x 1>x 2>2，则
f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 21－ax 2－1
x 22
＝a (x 1－x 2)＋x 22－x 2
1
x 21x 22
＝(x 1－x 2)⎝
⎛⎭
⎪⎫
a －
x 1＋x 2x 21x 22. 因为x 1－x 2>0，f (x )在(2，＋∞)上单调递增， 所以a >
x 1＋x 2x 21x 22恒成立，即a >1x 1x 22＋1x 21x 2
恒成立． 又x 1>x 2>2， 所以
1
x 1x
22
＋
1x 21x 2
<18＋18＝14，所以a ≥14
. 故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫14，＋∞. 21．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝－2x ＋1，且f (2)＝15.
(1)求函数f (x )的解析式； (2)令g (x )＝(1－2m )x －f (x )．
①若函数g (x )在区间[0，2]上不是单调函数，求实数m 的取值范围； ②求函数g (x )在区间[0，2]上的最小值．
解：(1)设f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)，则f (x ＋1)－f (x )＝2ax ＋b ＋a ＝－2x ＋1，∴2a ＝－2，a ＋b ＝1，∴a ＝－1，b ＝2.又f (2)＝15，∴c ＝15，∴f (x )＝－x 2
＋2x ＋15.
(2)g (x )＝(1－2m )x －f (x )＝x 2
－(2m ＋1)x －15，其图象的对称轴为直线x ＝m ＋12.
①∵g (x )在[0，2]上不单调，∴0<m ＋1
2
<2，
∴m ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，32. ②当m ＋12≤0，即m ≤－12时，g (x )min ＝g (0)＝－15；当0<m ＋12<2，即－12<m <3
2时，g (x )min
＝g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫m ＋12＝－m 2
－m －614；当m ＋12≥2，即m ≥32时，g (x )min ＝g (2)＝－4m －13.
综上，g (x )min
＝⎩⎪⎨⎪⎧－15，m ≤－1
2
，
－m 2
－m －614，－12<m <32
，－4m －13，m ≥32
.
22．(本小题满分12分)已知f (x )是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数x ，
y 满足f (xy )＝f (x )＋f (y )．
(1)求f (1)，f (－1)的值； (2)证明：f (x )为偶函数；
(3)若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，求不等式f (3－x )≤f (2)＋f (3)的解集． 解：(1)在f (xy )＝f (x )＋f (y )中，
令x ＝y ＝1，得f (1)＝f (1)＋f (1)，得f (1)＝0； 再令x ＝y ＝－1，得f (1)＝f (－1)＋f (－1)， 得f (－1)＝0.
(2)证明：在f (xy )＝f (x )＋f (y )中， 令y ＝－1，得f (－x )＝f (x )＋f (－1)， 即f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．
(3)f (2)＋f (3)＝f (6)，不等式f (3－x )≤f (2)＋f (3)， 即f (3－x )≤f (6)．
当3－x >0时，根据函数的单调性和不等式f (3－x )≤f (6)，得3－x ≤6，解得－3≤x <3； 当3－x <0时，
f (3－x )＝f (x －3)≤f (6)，
由函数单调性，得x －3≤6，解得3<x ≤9.
综上，不等式f (3－x )≤f (2)＋f (3)的解集为[－3，3)∪(3，9]．。