第8章 序列的抽取与插值

h 0
1 T1
h
X (e jw )

xa(t)信号的频谱
x(n)信号的频 谱

2
wh 0 w T h h
1 DT1
2
w
X d (e jw )

2
xd(n)信号频谱
' 0 w ' D wh D h h h
w
2、抽取器框图
x(n)
抽取器D
等效于
已抽样序列 x p ( n )
x d ( n)
n n
抽取序列
x d ( n)
Xd(ejw)表示为:
X d (e
k
jw
)
k p
x

d
( k )e
jwk
x
( Dk )e
jwk
令n=Dk或k=n/D,就可得
X d (e )
jw
p n为D的整数倍
x
( n )e
第八章 序列的抽取与插值
引言
• 前面抽样频率fs为固定的抽样频率。 • 现讨论抽样频率的变换问题，系统工作在 “多抽样率”情况下。 • 例如：多种媒体的传输、语言、视频、数据 等，它们的频率很不相同，抽样率自然不同， 必须实行抽样率的转换； • 又如：为了减少抽样率太高造成的数据冗余， 有时需要降低抽样率；
1、整数倍（I倍）插值的方法
• 整数倍（I倍）插值的方法： （1）在已知抽样序列x(n)的相邻两抽样点 之间等间隔地插入(I-1)个零值点 （2）然后进行数字低通滤波，即可求得I 倍插值的结果。
2、整数倍（I倍）插值的框图
x(n)
I
x p (n)
h( n)
x1 (n)
图中I表示在x(n)的相邻抽样点间补（I-1）个零 值点，也就是它表示零值插值，称为零值插值 器. x(n)经零值插值器后得到xp(n),再经数字低通滤波 (抗镜像滤波器）得到I倍插值的结果x1(n).
(n kD)

（ 1 ）
即：每D个抽样中取一个抽样。 P(n)其为离散周期序列(周期为D个点），其频域 为付里叶级数表示：
P(k )
p ( n )e
n 0 D 1
D 1
2 j( ) kn D
( 2) (3)
1 p ( n) P ( k )e D k 0
2 j( ) kn D
例子
• 例如，在抽取器之前加上防混叠的滤波器。 即：把序列x(n)先通过数字低通滤波器 H(ejw)，使信号的频带限制在：
s2 2
以下，得到Y(ejw). 然后进行抽取得到Xd(ejw).
x (t )
抽样
x(n)
h(n) H(ejw)
y (n)
D
x d ( n)
X d (e )
jw
X ( j )
2、连续时间信号付里叶变换与抽样后信号的付 里叶变换的关系
FT x (t ) X ( j ) 时域抽样 频域周期延拓 k 1 FT x ( nT ) X ( j jk s） T k 1 k 2 X ( j jk ） T k T
n jw D
当n不为D的整数倍时 Xd(ejw)表示为:
x p (n) 0
)
j w D
X d (e
又因为
jw
jw
n
x

p
( n )e
n jw D
X p (e
)
D 1
1 1 j ( w kws ) jw jw X p (e ) X (e ) P (e ) X (e ) 2 D k 0
x d ( n ) x p ( Dn )
xp(n)和x(n)在D的整数倍上的值都是相等的， 可等效为
x d ( n ) x ( Dn )
为了确定抽取后在频域的效果，求xd(n)的付 里叶变换Xd(ejw)和X(ejw)之间的关系.
x(n)
序列x(n)
0
p (n)
n 抽样序列p(n)
x p (n)
• 减少抽样率的过程称为信号的“抽取” 也称为“抽样率压缩”。 • 增加抽样率的过程称为信号的“插值”， 亦称为“抽样率扩张”。 • 二者即为信号时间尺度变换。 • 抽取和插值有时是整数倍，有时是有理 分数倍的。抽取的插值是多抽样率数字 信号处理的基本环节。
复习
1、连续时间信号的尺度变换其付里叶变换 FT x (t ) X ( j) 1 FT x ( at ) X(j ) a a
x a (t ) X a ( j ) x ( n ) X (e ）
jw
x d ( n ) X d (e ）
jw
可得序列的付里叶变换与连续信号付里叶变换的 关系： 1 2 jT jw
X (e ） X (e

1
)
T1 k
X
a
( j j
T1
k)
1 X a ( j jk s1 ) T1 k T
T2 DT1 f s2 f s1 D
x a (t )
原信号
t
x(n)
采样后的信号 x(n)=xa(t)|t=nT
n
x d ( n)
抽取后的信号 xd(n) (D=T2/T1=3)
T2 3T1
n
1、抽取过程对频域产生的影响
用连续信号抽样的概念来直观地讨论抽取过程 对频域所产生的影响. 如果令序列x(n),xd(n)所对应的模拟信号为xa(t),它 们各自满足以下的付里叶变换关系；
X d (e ) X（ p e
jw
w j D
)
X (e jw )
原信号的频谱
2

2 ws ws
wh
wh
P (e jw）
2 ws
2
w w
ws 10 jw X ( e ) p 1 D1 wh 0 wh
1 D1
X p 2 (e jw )
2
ws
jw 关系 jw
x(n)
序列x(n)
0
p (n)
n 抽样序列p(n)
x p (n)
已抽样序列
x p (n)
x d ( n)
n n
抽取序列
x d ( n)
（1）直接抽取过程
• 直接抽取：即序列的脉冲串抽样问题。
x(n) p (n)
x p (n)
（2）脉冲串p(n)的时频表示
p ( n)
k
(2)式中，用(1)式和(3)代入
P(k )
D 1 n 0
(n kD)e
n 0 k 2 j( ) kn D
D 1

j(
2 ) kn D
( n )e

1
即：
p ( n) P ( k )
DFS k
1 (n kD)
实现抽样率转换的方法
• 以往把离散时间信号(序列)x(n)经过D/A 变换器变成模拟信号x(t),再经A/D变换器 对x(t)以另一种抽样率抽样。但是，经过 D/A和A/D变换器都会产生量化误差，影 响精度。 • 我们采用直接在数字域对抽样信号x(n)作 抽样频率的变换，以得到新的抽样信号。
抽取、插值概念
二、序列的插值
• 将x(n)的抽样频率fs增加I倍，即为I倍插值 结果。 • 最简单的整数倍插值方法：在已知的相邻 抽样点之间插入(I-1)个抽样值，但由于这 (I-1)个抽样值并不是已知的，所以这个问 题比整数倍抽取看起来要复杂一些。
理论上说，和抽取时一样。 （1）将序列: x(n)=xa(nT1) 进行D/A变换得到原来的连续时间信号xa(t)。 （2）再对xa(t)作较高抽样率的抽样得到 x1(n)=xa(nT2), T1=IT2 • 式中I是大于1的整数，称为插值因子。但是 这样做是不经济的，因此，我们都是在离散 时域进行插值。
x d ( n)
x d ( n)
x(n)
D
其中 D表示抽样率降低为原来的1/D，即表 示抽取器。
从图看出： • 时域抽取得愈大，即D愈大，或抽样率愈 低，则频域周期延拓的间隔愈近，因而 有可能产生频率响应的混叠失真。 • 所以，对x(n)不能随意抽取，只有在抽取 之后的抽样率仍满足抽样定理要求时， 才不会产生混叠失真，才能恢复出原来 的信号，否则必须采取另外的措施。
3、插值过程=抽取过程的逆过程
• 插值过程可以看成抽取过程的逆过程。
n x ( ） n 0, I , 2 I ,L x p ( n) I n为其他值 0
X (e )
抽取过程框图
jw
Y (e )
jw
X a ( j )
h
0
X (e jw )
h

2 2 2 2
2
wh 0 wc 0 wc
Dw c
H (e )
jw
wh
w
Y (e )
wc
jw

Dwc
w w w
0
wc
X d (e jw )

3、序列域的直接抽取 ------其频谱间的关系
（1）将x(n)序列 进行脉冲抽样 得到xp(n)
（2）然后 去掉零值点 得到抽取序列xd(n)。 如图所示。 jw jw （3）已知： x ( n ) X (e ） x d ( n ) X d (e ）
求：
X (e ） X d (e ）
DFS
• 再研究p(n)的付里叶变换P(ejw). • 把周期序列表示成频域中的冲激，那么 周期序列p(n)也可以付里叶变换表达式。 • p(n)的付里叶变换P(ejw)为：
D 1 2 2 jw P (e ) P ( k ) ( w k ) D k 0 D D 1 2 ( w kws ) D k 0
2
w
2 2
0
X d (e )
jw
ws

2 2
w w
wh
wh
看出: • (1)已抽样序列xp(n)和抽取序列xd(n)的频谱差别在 频率尺度上不同。 • (2)原来的频谱X(ejw)限带，则Xp(ejw)中不存在频 率响应的混叠失真。抽取的效果使原序列的频谱 带宽扩展。 • （3）为避免在抽取过程中发生频率响应的混叠 失真，原序列x(n)的频谱X(ejw)就不能占满整个频 带(0~). • （4）减抽样：如果序列能够抽取而又不产生频 率响应的混叠失真，其原来的连续时间信号是过 抽样，使原抽样率可以减小而不发生混叠，此抽 取的过程称之。
1 w 2 X (e ） Xa( j k) T1 k T1
jw
1 2 jT2 jw X d (e ） X (e ) Xa( j k) T2 k T2 1 2 Xa( j k) DT1 k DT1
X a ( j )
k 0 s D 1
D 1
代入式中可得抽样后序列xp(n)的频谱Xp(ejw)为
1 1 j ( w kws ) jw jw X p (e ) X (e ) P (e ) X (e ) 2 D k 0
jw
（6）X(ejw)、Xp(ejw)、Xd(ejw)的关系
由下图可知：
一个周期序列的付里叶变换P(ejw)，可以直 接从它的离散付里叶级数系数P(k)得到。式中是 ws=2/D抽样频率.
（3）抽样后的序列xp(n)时频表示
x ( n) n kD, k 0,1, 2,...D 1( D亦为整数) x p ( n) 其他n 0
即：抽样过程在时域上就是相乘，即
x p (n) x(n) p (n)
k
x(kD) (n kD)
j j ( w )

在频域就是卷积关系为
1 X p (e ) 2
jw

ຫໍສະໝຸດ Baidu2
0
P (e ) X (e
) d
（5）抽样后序列xp(n)的频谱
将上面求得的式子
P (e
jw
2 ) D
( w kw )
• 再如：两数字系统的时钟频率不同，信号要 在此系统中传输时，为了便于信号的处理、 编码、传输和存储，则要求根据时钟频率对 信号的抽样率加以转换，等等。 • 上面的各种应用都要求转换抽样率，或者要 求系统工作在多抽样率状态。 • “多抽样率数字信号处理”的重要性逐渐显 现出来，使它成为数字信号处理的一个重要 内容。
一、序列的抽取
• 当信号的抽样数据量太大时，可以在每D 个抽样中取出一个，或说每隔D-1个抽样 取出一个，以便减小数据量，D是整数， 称为抽样因子，这样的抽取，称为整数 倍抽取。
例子
• 模拟信号xa(t),序列为x(n),其抽样时间间隔 为T1，抽样频率为：
f s1
1 T1
再进行整数倍（D）抽取，抽取后的序列 是xd(n),其抽样时间间隔为T2，抽样频率为 fs2,由于是D个抽样取一个，所以有：