相关系数的计算

相关系数的计算

相关系数一般可以通过实验测量的方法或理论经验的分析得到。即一是用同时观测两个量的方法确定相关系数估计值；二是当两个量或以上均因与同一个量有关而相关时，依据相关系数定义公式，计算相关系数的估计值。

1．根据对x 和y 两个量同时测量的n 组测量数据，相关系数的估计值按公式(4)计算： 1

()()

(,)(1)()()

n

i

i

i x X y Y r x y n s x s y =--=

-∑ （4）

式中，s (x )，s (y )---为X 和Y 的实验标准偏差。

公式（4）还可以表示为：

()()

()()

∑∑∑===⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛

=

⋅=

n

k n

k j jk i ik n

k j jk i ik j i j i x x x x x x x x x u x u x x u y x r 112

2

1,, （5）

示例1：用同一钢卷尺测量某矩形的面积,对矩形的长（l ）和宽（d ） 各测量10次,其测量列如表1 所示。

表1 矩形长和宽的测量数据

矩形面积的数学模型：l d s ⨯=，因为对长和宽采用了同一测量

仪器，则它们的估计值会出现相关，根据表1有l 和d 算术平均值的标准不确定度为：

()()()

()mm l l l s i i 021.0110101

10

1

2

=--⨯=∑=

()

()()

()mm d

d d s i i 021.0110101

10

1

2

=--⨯=∑=

()()

d d l l

i i i

--∑=10

1

=0.03()2mm

()

04.02

10

1

=-∑=i i l l ()

2

mm

()

041.02

10

1

=-∑=i i

d

d

()

2

mm

所以相关系数

()()()()

74

.0041

.0040.003.02

10

1

210

1

101=⨯=

----=

∑∑∑===i i

i i i i i

d

d

l l d

d l l

r

面积S=l ·d =804.81mm 2

则考虑相关系数 r 得：()()()

()()

%15.022

1

2

2

=⎪⎭⎪

⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥

⎦⎤

⎢⎣⎡=d d s l l s r d d s l l s s

s u c 当不考虑相关系数r 时，()()()

%12.02

1

2

2=⎪⎭

⎪

⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧

⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥

⎦⎤

⎢⎣⎡=d d s l l s s

s u c 从以上两式的结果可以看出考虑相关系数与不考虑相关系数存在明显的区别，不考虑相关系数时，明显使评定的不确定度偏小。

2.当两个量均因与同一个量有关而相关时，计算相关系数的估计值。假如在得到两个输入量的估计值x i 和x j 时，是使用了同一个测量标准、测量仪器或参考数据或采用了相同的具有相当大不确定度的测量方法，则x i 和x j 两个量均因与同一个量有关而相关。

示例2：2014年度一级注册计量师考试《测量数据处理及计量专业实务》科目中的单项选择题第26题为“用1k Ω的标准电阻R s 校准标称值均为1k Ω的两个电阻器，校准值S R R 11α=,S R R 22α=.已知标准电阻

R s

的标准不确定度为()Ω

=1.0s R u ，若

,11≈α,12≈α()()421101-⨯==ααu u ，假设1α、2α、R 1 互不相关，则R 1与

R 2的相关系数为（ ）。

A.1.0

B.0.75

C.0.5

D.0.25 ” [解] 1)每个电阻R i 校准时与标准电阻R s 比较得到比值αi ，校准值为：

R i =αi R s

2) 根据不确定度传播定律，每个R i 的标准不确定度： u (R i ) =

22)]([)]([S i i S R u u R αα+

式中的u (αi )对每一个校准值近似相等，且αi ≈1，由比较仪的不确定度为u (αi )= ()()421101-⨯==ααu u ， 则:

u (R i ) =

)()(222

S i S R u u R +α

3) 任意两个电阻校准值的相关系数： S i i R R α= ；S j j R R α= R i 、R j 之间协方差的估计值：

u (R i ，R j )=)()()(2

222S S j i S S

j S i R u R u R u R R R R ααα==∂∂∂∂ 由于αi ≈αj =α ≈1，协方差u (R i ，R j ) = u 2(R S )

R i 、R j 之间相关系数：

ij r =()()

S i S S j i j i j i R u u R R u R u R u R R u R R r 2

2

2

2)()

()(),(),(+=

=

α