高等动力学10分析动力学9Kane方法
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v 1
的偏速度可以 表示为基点的
P点的偏速度为
v(v) p
vo(v)
ω(v)op
偏速度的函数
2020/10/8
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刚体的广义主动力
N
Fv
Fi
v(v) i
i1
v(r) pi
vo(r)
ω(r)opi
N
N
广义主动力为: Fv Fivo (v) Fi(ω(v)opi)
i1
i1
利用体积公式 V a (b c ) (a b )c
m B lc o s m B l 2 m B g s i n 0F2mBgsin
( m A m B ) x m B ( lc o s l2 2 s i n ) 0
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偏速度：刚体
设刚体B上的P1,P2,…,PN点处分别作用有主动力F1,F2,…,FN。 取刚体的上的O点为基点，取伪速度为u1,u2,…,uf。
v1
f
ri
vi(v)uv
v(0) i
广义速率本质上为伪速度，标量
v1
偏速度的作用是赋予广义速率以
方向性，矢量。
广偏 义速 速度
伪速度可以看成是真实速度在偏 速度上的投影。
率
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质点系的Kane方程
f
质点速度的变分可以表示为： ri vi(v) uv
N
v 1
虚功率原理： (Fi miri )ri 0
广义惯性力：
F 1 *F A *v (A 1 ) F B *v ( B 1 )
m A x ii
m B x i l(ic o s js in) l2 2 ( is in jc o s) i
m A x m B x m B ( lc o s l2 2 s i n )
( m A m B ) x m B ( lc o s l2 2 s i n ) 0 F1 0
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例1：质点系的Kane方程
F 2 *F Av (A 2 ) F Bv ( B 2 ) m Axi0
v(1) A
i;v(A2)
0
v(1) B
i;v(B2)
l(cosisinj)
m Bxil(icosjsin)l2 2(isinjcos)
l(cosisinj)
m B lco sm B l2
i1
i1
其中：
v
( i
v
)
ri uv
方程是否仅含有广义速率而不包含广义坐标？
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例1：质点系的Kane方程
广义速率： u1x;u2
y
mA g
x
质点的速度为：
O
A
x
rAu1i
rBu1ilu2(cosisinj)
偏速度：
v(1) A
i;v(A2)
0
B
v(1) B
i;v(B2)
设刚体基点O的速度、角速度与伪速度的关系是：
f
vo vo(r)uv vo(0) v1
偏速度
f
偏角速度
ω ω(r)uv ω(0)
v1
刚体上的任意一点P的速度为 vpvoωop
f
vp
vo (v)uvvo (0) f
ω (v)uvω (0) op
v 1
v 1
刚体上任一点
f
vp vo (v) ω (v) o pu vvo (0 ) ω (0 ) o p
如何取得最少变量： 笛卡尔坐标广义坐标广义速度伪速度
如何建立方程
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偏速度：质点系
由N个质点组成的系统，有f=3N-r-s个自由度，广义速度：
r i r i(q 1 ,q 2, ,q l,t)
f
ri
l k1
ri qk
qk
ri t
伪速度： qj hjvuvhj0 (j1,2, l)
牛顿方法
变量(坐标)：
ri xiiyijzikT
基本方程：
F im iriN i0
消去约束力，减少变量数
虚功率原理
N
(Fi miri )ri 0 速度变分不一定独立
i1
Kane方法 独立变量(伪速度)
基本方程：
f
ri
vi(v)uv
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
v(0) i
v1
N
N
Fi vi(v) (miri)vi(v) 0
i1
N
定义广义主动力： Fv
Fi
v(v) i
i 1
N
定义广义惯性力：Fv*
(miri )
v(v) i
i1
Kane方程： F v * F v 0(v 1 ,2 , f)
各广义速率所对应的广义主动力和广义惯性力之和为0 将力投影到伪速度上所得到的平衡方程。
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质点系Kane方程的基本思路
mBlgsin
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例1：质点系的Kane方程
惯性力： F A * m A xi m A u 1 i
v(1) A
i;v(A2)
0
rBrAlel2en
v(1) B
i;v(B2)
l(cosisinj)
x i l( i c o s j s i n ) l2 2 ( i s i n j c o s )
广义惯性力为:
F v * B a o ε o p ω ω o p v o ( v ) ω ( v ) o p d m
令 B a o ε o p ω ω o p v o (v )d m
B a o ε o p ω ω o p ω ( v ) o p d m
分析动力学之 Kane方程
清华大学航天航空学院 王天舒（tswang@tsinghua.edu.cn）
2020/10/8
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本节内容
建立动力学方程的方法： 牛顿欧拉方法：方程简单，但需考虑约束力 第二类拉氏方程：不考虑约束力，只用到速度，要求导 第一类拉氏方程：可处理非完整约束，引入代数方程 Apell方程：引入伪速度，需计算加速度 是否有类似于牛顿方法的最少变量方法？
l(cosisinj)
mBg
广主义动主力动：力：FAF 10 ;F F B A v ( A 1 )m BF gB jv ( B 1 ) 0ri
f v1
vi(v)uv
v(0) i
F 2 F A v ( A 2 ) F B v ( B 2 ) m B g j l ( c o s i s i n j )
F vNF ivo (v)NopiF iω (v)
i1
i1
F v F v o (v ) L oω (v ) FLo是是外外力力的的主主矢矩量
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刚体的广义惯性力
Fv*BaPv(pv)dm
a p a o ε o p ω ω o p
v(v) p
vo(v)
ω(v)op
的偏速度可以 表示为基点的
P点的偏速度为
v(v) p
vo(v)
ω(v)op
偏速度的函数
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刚体的广义主动力
N
Fv
Fi
v(v) i
i1
v(r) pi
vo(r)
ω(r)opi
N
N
广义主动力为: Fv Fivo (v) Fi(ω(v)opi)
i1
i1
利用体积公式 V a (b c ) (a b )c
m B lc o s m B l 2 m B g s i n 0F2mBgsin
( m A m B ) x m B ( lc o s l2 2 s i n ) 0
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偏速度：刚体
设刚体B上的P1,P2,…,PN点处分别作用有主动力F1,F2,…,FN。 取刚体的上的O点为基点，取伪速度为u1,u2,…,uf。
v1
f
ri
vi(v)uv
v(0) i
广义速率本质上为伪速度，标量
v1
偏速度的作用是赋予广义速率以
方向性，矢量。
广偏 义速 速度
伪速度可以看成是真实速度在偏 速度上的投影。
率
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质点系的Kane方程
f
质点速度的变分可以表示为： ri vi(v) uv
N
v 1
虚功率原理： (Fi miri )ri 0
广义惯性力：
F 1 *F A *v (A 1 ) F B *v ( B 1 )
m A x ii
m B x i l(ic o s js in) l2 2 ( is in jc o s) i
m A x m B x m B ( lc o s l2 2 s i n )
( m A m B ) x m B ( lc o s l2 2 s i n ) 0 F1 0
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例1：质点系的Kane方程
F 2 *F Av (A 2 ) F Bv ( B 2 ) m Axi0
v(1) A
i;v(A2)
0
v(1) B
i;v(B2)
l(cosisinj)
m Bxil(icosjsin)l2 2(isinjcos)
l(cosisinj)
m B lco sm B l2
i1
i1
其中：
v
( i
v
)
ri uv
方程是否仅含有广义速率而不包含广义坐标？
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例1：质点系的Kane方程
广义速率： u1x;u2
y
mA g
x
质点的速度为：
O
A
x
rAu1i
rBu1ilu2(cosisinj)
偏速度：
v(1) A
i;v(A2)
0
B
v(1) B
i;v(B2)
设刚体基点O的速度、角速度与伪速度的关系是：
f
vo vo(r)uv vo(0) v1
偏速度
f
偏角速度
ω ω(r)uv ω(0)
v1
刚体上的任意一点P的速度为 vpvoωop
f
vp
vo (v)uvvo (0) f
ω (v)uvω (0) op
v 1
v 1
刚体上任一点
f
vp vo (v) ω (v) o pu vvo (0 ) ω (0 ) o p
如何取得最少变量： 笛卡尔坐标广义坐标广义速度伪速度
如何建立方程
2020/10/8
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偏速度：质点系
由N个质点组成的系统，有f=3N-r-s个自由度，广义速度：
r i r i(q 1 ,q 2, ,q l,t)
f
ri
l k1
ri qk
qk
ri t
伪速度： qj hjvuvhj0 (j1,2, l)
牛顿方法
变量(坐标)：
ri xiiyijzikT
基本方程：
F im iriN i0
消去约束力，减少变量数
虚功率原理
N
(Fi miri )ri 0 速度变分不一定独立
i1
Kane方法 独立变量(伪速度)
基本方程：
f
ri
vi(v)uv
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
v(0) i
v1
N
N
Fi vi(v) (miri)vi(v) 0
i1
N
定义广义主动力： Fv
Fi
v(v) i
i 1
N
定义广义惯性力：Fv*
(miri )
v(v) i
i1
Kane方程： F v * F v 0(v 1 ,2 , f)
各广义速率所对应的广义主动力和广义惯性力之和为0 将力投影到伪速度上所得到的平衡方程。
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Page 4
质点系Kane方程的基本思路
mBlgsin
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例1：质点系的Kane方程
惯性力： F A * m A xi m A u 1 i
v(1) A
i;v(A2)
0
rBrAlel2en
v(1) B
i;v(B2)
l(cosisinj)
x i l( i c o s j s i n ) l2 2 ( i s i n j c o s )
广义惯性力为:
F v * B a o ε o p ω ω o p v o ( v ) ω ( v ) o p d m
令 B a o ε o p ω ω o p v o (v )d m
B a o ε o p ω ω o p ω ( v ) o p d m
分析动力学之 Kane方程
清华大学航天航空学院 王天舒（tswang@tsinghua.edu.cn）
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Page 1
本节内容
建立动力学方程的方法： 牛顿欧拉方法：方程简单，但需考虑约束力 第二类拉氏方程：不考虑约束力，只用到速度，要求导 第一类拉氏方程：可处理非完整约束，引入代数方程 Apell方程：引入伪速度，需计算加速度 是否有类似于牛顿方法的最少变量方法？
l(cosisinj)
mBg
广主义动主力动：力：FAF 10 ;F F B A v ( A 1 )m BF gB jv ( B 1 ) 0ri
f v1
vi(v)uv
v(0) i
F 2 F A v ( A 2 ) F B v ( B 2 ) m B g j l ( c o s i s i n j )
F vNF ivo (v)NopiF iω (v)
i1
i1
F v F v o (v ) L oω (v ) FLo是是外外力力的的主主矢矩量
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刚体的广义惯性力
Fv*BaPv(pv)dm
a p a o ε o p ω ω o p
v(v) p
vo(v)
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