第10讲 函数的图像
中考数学基础复习第10课一次函数的图象与性质课件
【知识清单】
一次函数的图象和性质 1.图象
正比例函数 y=kx(k≠0)
一次函数 y=kx+b(k≠0)
图象关系
是经过点(0,0)和点(1,___k___)的一条直线
是经过点(0，b__ )和点(____kb，0)的一条直线
一次函数y=kx+b的图象可由正比例函数y=kx的图象 平移得到,b>0,向___上____移动___b___个单位,b<0, 向___下____移动___-_b___个单位
∵m-n=4,∴m-(-2m+2)=4,解得m=2,n=-2,
∴点P的坐标为(2,-2).
反思：函数的性质可以结合图象来理解求解.
考点3 与方程(组)、不等式的关系 例3.(202X·乐山)直线y=kx+b在平面直角坐标系中的位置如图所示,求不等式 kx+b≤2的解.
【解析】根据图象得出直线y=kx+b经过(0,1),(2,0)两点,
2
.5
2
【联系课标】 【课标要求】 一次函数 (1)会利用待定系数法确定一次函数的表达式 (2)会画一次函数的图象 (3)能根据一次函数的图象和表达式探索并理解其性质 (4)体会一次函数与二元一次方程的关系
【考点剖析】 考点1 一次函数表达式的确定 例1.(202X·黔西南)如图,正比例函数的图象与一次函数y=-x+1的图象相交于 点P,点P到x轴的距离是2,求这个正比例函数的表达式.
变式1.(202X·广州)一次函数y=-3x+1的图象过点(x1,y1),(x1+1,y2),
(x1+2,y3),则 ( B )
A.y1<y2<y3
第10讲-一次函数的图象与性质(课件)-2024年中考数学一轮复习讲练测(全国通用)全文编辑修改
）
C．一、三、四
D．二、三、四
【详解】解：∵正比例函数 = ( ≠ 0)的函数值随的增大而减小，
∴ < 0，∴− > 0,2 < 0，
∴一次函数 = − + 2的图象所经过第一，三，四象限，故选：C．
【对点训练1】（2022·河南南阳·统考三模）若一元二次方程x2−4x+4m=0有两个相等的实数根，则
y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k＜0时图象的变
化情况.
➢ 会运用待定系数法确定一次函数的表达式.
稿定PPT
命题预测
一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要
的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点.各
地对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在
一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方
程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面
y=kx+b中b=0时，y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
一次函数的一般形式：y=kx+b（k，b是常数，k≠0）.
考点一 一次函数的相关概念
1. 一次函数一般形式的特征：1）k≠0； 2）x的次数为1； 3）常数b可以取任意实数.
2. 正比例函数是一次函数，但是一次函数不一定是正比例函数.
y随x的增大而减少
y
y
y
y
y
图象
x
O
经过象限
与y轴交点位置
x
O
x
x
O
O
b>0
b=0
b<0
b>0
一、二、三
一、三
一、三、四
一、二、四
y
x
O
b=0
第10讲 函数的图像(解析版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
(2)因为 y＝log1[3(x＋2)]＝－log3[3(x＋2)]＝－log3(x＋2)－1.
3
所以可以先将函数 y＝log3x 的图象向左平移 2 个单位，可得 y＝log3(x＋2)的图象，再作图象关于 x 轴对称的
由
f (x) (1)x , g(x) 2(1)x
3
3
(1)x 3 1
2
(1)x
3
(
1
log
)
1 3
1 2
3
( 1 ) x log3 3
2
知，
f
(x)
向右移动
log3
2
个单位可得到
g
(x)
，故选项
D
正确；
故选： ABD ．
5、.已知函数
f(x)＝|log3x|，实数
m，n
满足
0<m<n，且
f(m)＝f(n)，若
3
m
ln x，x≥1， 6、(一题两空)(2019·吉林调研改编)设函数 f(x)＝ 1－x，x＜1，则 f(f(0))＝________，若 f(m)＞1，则实数 m
的取值范围是________．
【答案】0 (－∞，0)∪(e，＋∞)
ln x，x≥1， 【解析】f(f(0))＝f(1)＝ln 1＝0.如图所示，可得 f(x)＝ 1－x，x＜1的图象与直线 y＝1 的交点分别为(0，1)，
【答案】B
1－x2≥0， 【解析】(1)由 |x|≠0 且|x|≠1，得－1<x<0 或 0<x<1，
高考数学大一轮复习第10讲函数的图像课件理aa高三全册数学课件
12/13/2021
第二十六页，共五十四页。
课堂考点探究
[总结反思] 通过图像变换识别函数图像要掌握两点:一是熟悉基本初等函数的图像(如
指数函数、对数函数等图像);二是了解常见的一些变换形式,如平移变换、翻折变换.
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课堂考点探究
A
B
C
D
图 2-10-3
∴函数 f(x)=ln(2-|x|)在定义域上为
偶函数,排除 C 和 D.
当 0<x<2 时,f(x)=ln(2-x)单调递减,
排除 B.故选 A.
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课堂考点探究
[总结反思] 利用性质识别函数图像是辨图中的主要方法,采用的性质主要是定义域、值
+1
+1
(2)y=
1
y=- 的图像向左平
移 1 个单位,再向上平移 2 个单位得到,如图②所
示.
|lg x|
(3)y=10
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=
, ≥ 1,
1
,0
其图像如图③所示.
< < 1,
课堂考点探究
探究(tànjiū)点二
微点(wēi diǎn)1
识图与辨图的常见方法
课前双基巩固
3.[教材改编] 函数 y=log2x 与函数 y=2x 的图像关于直线
对称.
[答案]
y=x
[解析] 两个函数互为反函数,故两
个函数图像关于直线 y=x 对称.
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第10讲 一次函数的图象与性质-中考数学一轮复习知识考点课件（35张）
A.y＝－ 1 x－5
2
C.y＝ 1 x－3
2
B.y＝
1 2
x＋3
D.y＝－2x－8
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9.(2020·内江)在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，
已知直线y＝tx＋2t＋2(t＞0)与两坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中有且
只有4个整点，则t的取值范围是( D )
A. 1 ≤t＜2
2
C.1＜t≤2
B. 1 ＜t≤1
2
D. 1 ≤t≤2，且t≠1
2
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10.(绵阳中考)在平面直角坐标系中，一条直线经过A(－1，5)，P(－2，a)，
B(3，－3)三点. (1)求a的值；
(2)设这条直线与y轴相交于点D，则△OPD的面积为_____3_______.
解：(1)设直线的解析式为y＝kx＋b.
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2.(2019·荆门)若函数y＝kx＋b(k，b是常数)的图象不经过第二象限，则k，b
应满足的条件是( A ) A.k≥0，且b≤0
B.k＞0，且b≤0
C.k≥0，且b＜0
D.k＞0，且b＜0
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3.(2020·天门)对于一次函数y＝x＋2，下列说法不正确的是( D ) A.图象经过点(1，3) B.图象与x轴交于点(－2，0) C.图象不经过第四象限 D.当x＞2时，y＜4
对点训练 1.(2020·荆州)在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋1的图象是( C )
A
B
C
D
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2.(2020·泰州)点P(a，b)在函数y＝3x＋2的图象上，则代数式6a－2b＋1的值
等于( C )Βιβλιοθήκη A.5B.3C.－3
精讲本第10讲 一次函数的图象及性质
D．当x＞－
b k
时，y＞0
7．直线y＝kx＋b是由直线y＝－2x平移得到的，且经过
点P(2，0)，则k＋b的值为__2__．
考考点点精精讲讲
对应训练
一次函数解析式的确定 1．方法：待定系数法 2．步骤：设一次函数关系式y＝kx＋b⇨找出图象上的 两个点，将坐标代入关系式得到二元一次方程组⇨解方 程组得到k，b的值⇨k，b的值代入关系式
A．x＝－3 B．x＝4
C．x＝－43
D．x＝34
考点精讲
对对应应训训练练
10．(2019·贵阳)在平面直角坐标系内，一次函数 y
＝k1x＋b1 与 y＝k2x＋b2 的图象如图所示，则关于 x，
y 的方程组yy－ －kk12xx＝ ＝bb12， 的解是
x＝2，
y＝1 .
精讲释疑
一次函数与方程(组)、一次不等式
例 2.已知直线 l1：y＝－3x＋b 与直线 l2：y＝－kx＋1 在同一坐标系中的图象交于点(1，－2)，那么方程组
3x＋y＝b， kx＋y＝1
的解是(
A
)
A．xy＝＝－1 2
B．xy＝＝21
C．xy＝＝－－21
D．xy＝＝2－1
考点精讲
对对应应训训练练
1．(2019·梧州)下列函数中，正比例函数是( A )
A．y＝－8x C．y＝8x2
B．y＝ 8 x
D．y＝8x－4
2．函数y＝5x的图象经过的象限是 一、三 ．
3．P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是正比例函数y＝－x图象上的 两点，则下列判断正确的是( C )
A.y1＞y2 C．当x1＜x2时，y1＞y2
∴∠BAH＝30°，∵△ABC 为等边三角形，
(整理)第10讲二次函数图象和性质
第10讲 二次函数（一）专题一：二次函数的图像与性质（一）知识点梳理1. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和性质 a ＞02. 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成()k h x a y +-=2的形式，其中 h ＝ ， k ＝ .3. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和2ax y =图像的关系.4. 二次函数c bx ax y ++=2中c b a ,,的符号的确定. 5、图象的平移：将二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象进行平移，可得到y=ax 2＋c ，y=a(x －h)2，y=a(x －h)2＋k 的图象．⑴ 将y=ax 2的图象向上(c ＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax 2＋c 的图象．其顶点是（0,c ）形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax 2相同． ⑵ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x －h)2的图象．其顶点是（h ，0），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．⑶ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x －h)2 +k 的图象，其顶点是（h ，k ），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．（二）：经典考题精讲例1、二次函数y=ax 2＋bx 2＋c 的图象如图所示，则a 0，b 0，c 0.（填“＞”或“＜”＝．）例2、二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与一次函数y=ax ＋c 在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）例3、在同一坐标系中，函数y=ax 2＋bx 与y=xb的图象大致是图中的（ ）例4、如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=0．0225x 2＋0．9x ＋10表示，而且左右两条抛物线关于y 轴对称，你能写出右面钢缆的表达式吗？例5、图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax 2＋（a ＋c ）x ＋c 与一次函数y=ax ＋c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）例6、抛物线y=ax 2＋bx ＋c 如图所示，则它关于y 轴对称的抛物线的表达式是 ．例7、已知二次函数y=（m －2）x 2＋（m ＋3）x ＋m ＋2的图象过点（0，5）（1）求m 的值，并写出二次函数的表达式； （2）求出二次函数图象的顶点坐标、例8、 如图所示，有一边长为5cm 的正方形ABCD 和等腰三角形PQR ，PQ=PR=5cm ，QR=8cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一直线ι上．当CQ 两点重合时，等腰△PQR 以1cm/秒的速度沿直线ι按箭头所示方向开始匀速运动，t 秒后，正方形ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积为Scm 2．解答下列问题：（1）当t=3秒时，求S 的值； （2）当t=5秒时，求S 的值；三：拓展与应用1. 抛物线()22-=x y 的顶点坐标是 .2．将抛物线23y x =-向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是 ．3. 如图所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+- 的图象，那么a 的值是 ．4.二次函数2(1)2y x =-+的最小值是（ ） A.－2 B.2 C.－1 D.15. 请写出一个开口向上，对称轴为直线x ＝2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式 .6.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如右图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．7.已知函数y=x 2-2x-2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x 的取值范围是（ ）A ．-1≤x≤3B ．-3≤x≤1C ．x≥-3D ．x≤-1或x≥38. 二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图象如图所示，则下列结论： ①a ＞0； ②c ＞0； ③ b 2-4a c ＞0，其中正确的个数是( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 第3题图第6题图9. 已知二次函数243y ax x=-+的图象经过点（－1，8）.（1）求此二次函数的解析式；（2）根据（1）填写下表.在直角坐标系中描点，并画出函数的图象；（3）根据图象回答：当函数值y<0时，x的取值范围是什么？专题二：二次函数与一元二次方程（一）：【知识梳理】1．二次函数与一元二次方程的关系：（1）一元二次方程ax2+bx+c=0就是二次函数y=ax2+bx+c当函数y的值为0时的情况．（2）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根．（3）当二次函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有两个交点时，则一元二次方程y=ax2+bx+c 有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根；当二次函数y＝ax2+ bx+c的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程y=ax2+bx+c没有实数根（二）：【经典考题剖析】1.已知二次函数y=x2－6x+8，求：（1）抛物线与x轴J轴相交的交点坐标；（2）抛物线的顶点坐标；（3）画出此抛物线图象，利用图象回答下列问题：①方程x2－6x＋8=0的解是什么？②x取什么值时，函数值大于0？③x取什么值时，函数值小于0？2.已知抛物线y＝x2－2x－8，（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积．3.如图所示，直线y=-2x+2与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，∠BAC=90o， 过C 作CD ⊥x 轴，垂足为D （1）求点A 、B 的坐标和AD 的长（2）求过B 、A 、D 三点的抛物线的解析式4.如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，回答下列问题：（1） 设运动后开始第t （单位：s ）时，五边形APQCD 的面积为S（单位：cm 2），写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围 （2）t 为何值时S 最小？求出S 的最小值5. 如图，直线334y x k=+(0)k >与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点P 是线段AB 的中点，抛物线283y x bx c =-++经过点A 、P 、O （原点）。
第10讲 函数的图像
5
m 的取值范围是
0, 2
.
③ 4.[教材] 函数 y= |1-������2|的图像大致 .(号)
图 1-10-1
课堂考点探究
变式题 分别画出 解:(1)先画出函数 y=x2-4x+3 的图像,再将其 x 轴下方的图像翻
下列函数的图像:
折到 x 轴上方,如图①所示.(2)y=2������+1=2- 1 的图像可由 y=-1的
得到曲线 C1,而且曲线 C1 与函数 g(x)的图像关于
y 轴对称,则 g(x)的解析式为
A.g(x)=e2-x C.g(x)=ex
( C)
B.g(x)=ex-2 D.g(x)=e-x
探究点二 识图与辨图的常见方法
例2
函数 f(x)=x2-
1 2
������
的图像大致是
(B
)
图 1-10-2
微点2 性质检验法
B.y=2|x|-2 D.y=2|x|-x2
图1-10-10
微点2 求不等式的解集
例 6 已知 f(x)为偶函数,当 x≥0 时,
A f(x)=
cos π������,������∈ 0, 1 ,
2
2������-1,������∈
1 2
,
+
∞
则不等式 f(x-1)≤1的解集为(
,
2
)
A.
1 4
,
第10讲 函数的图像
1.描点法作图
其基本步骤是列表、描点、连线,具体为:
首先:①确定函数的定义域;
②化简函数解析式;
③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性).
其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小
高中数学《函数的图像》高考一轮复习
高考数学一轮复习第10讲：函数的图像学习目标:1.会运用函数图像理解和研究函数的性质.2.熟记基本初等函数的图像，掌握函数作图的基本方法及函数图像的基本变换，能结合图像研究函数的性质学习方法：观察归纳；类比，转化教学重点：会运用函数图像理解和研究函数的性质.教学难点：应用函数图像求参数范围课前准备:1.教师准备：三角板、多媒体课件2.学生自备：笔、三角板考情分析：函数的图像作为函数性质的研究工具，频频在高考题中出现．主要考点及考查方向如下表：教学过程知识聚焦：（自主学习以下知识点）1．作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象2．三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等3．识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面．4．平移变换：（1）水平平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或向右平移个单位即可得到；（2）竖直平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下平移个单位即可得到．① y=f(x)y=f(x+h); ② y=f(x) y=f(x -h);③y=f(x) y=f(x)+h; ④y=f(x) y=f(x)-h.5．对称变换：（1）函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；（2）函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；（3）函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到； 6．翻折变换：（1）函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到；（2）函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴右边部分即可得到．7．伸缩变换：（1）函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到；()y f x a =+()y f x =x (0)a >(0)a <||a ()y f x a =+()y f x =x (0)a >(0)a <||a h 左移→h 右移→h 上移→h 下移→()y f x =-()y f x =y ()y f x =-()y f x =x ()y f x =--()y f x =|()|y f x =()y f x =x x x x ()y f x =x (||)y f x =()y f x =y y y ()y f x =y ()y af x =(0)a >()y f x =(1)a >01a <<a（2）函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到． ①y=f(x)y=f();②y=f(x)y=ωf(x). 链接教材：（学生自主回答）例题教学：考点一 函数图象的辨识【例1】函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )．规律方法 函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．【练习1】 (1)函数y ＝x sin x 在[－π，π]上的图象是( )．(2)函数y ＝x ＋cos x 的大致图象是( )．考点二 函数图象的变换【例2】函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x (x ≤1)，log 13x (x ＞1)，则y ＝f (1－x )的图象是( )． ()y f ax =(0)a >()y f x =(1)a >01a <<1a ω⨯→x ωxω⨯→y规律方法 作图象平移时，要注意不要弄错平移的方向，必要时，取特殊点进行验证；平移变换只改变图象的位置，不改变图象的形状．【练习2】设函数f(x)的定义域为R ，则函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图像关系为（ ）A ．直线y=0对称B ．直线x=0对称C ．直线y=1对称D ．直线x=1对称 考点三 函数图象的应用【例3】已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )．A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个练习3：设f(x)是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，f （2-x ）=f （x+2）且当x ∈[-2,0]时，f(x)=x )21(-1，若关于x 的方程f(x)-log a (x+2)=0（a>1）在区间(-2,6]内恰有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是【例4】已知不等式x 2－log a x ＜0，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时恒成立，求实数a 的取值范围． 练习4：设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________ . 规律方法 (1)利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解．数形结合是常用的思想方法．(2)利用图象，可观察函数的对称性、单调性、定义域、值域、最值等性质.课堂小结1．掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．2．识图的要点：重点根据图象看函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、特殊点(与x 、y 轴的交点，最高、最低点等)．3．识图的方法(1)定性分析法：对函数进行定性分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决；(3)排除法：利用本身的性能或特殊点进行排除验证．4．研究函数性质时一般要借助于函数图象，体现了数形结合思想；5．方程解的问题常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题来解决．。
第3单元 第10课时 一次函数的图像与性质
第1部分 数与代数
第3单元 函数及其图像
第10课时 一次函数的图像与性质
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1．一般地，形如___y_＝__k_x_＋__b_(k_，__b_为__常__数__，____ __且__k_≠_0_) _____的函数叫做一次函数，其中x是自变 量，y是x的函数．特别地，当b＝0时，y＝kx(k为常 数，k≠0)，y叫做x的__正__比__例__函数．
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(1)求直线 l 的函数表达式； 解：把x＝－1，y＝－2；x＝0，y＝1代入y＝kx ＋b，得b－＝k1＋，b＝－2，解得kb＝ ＝31， ， ∴直线l的函数表达式为y＝3x＋1.
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(2)请在图 1.10-8 上画出直线 l′(不要求列表计 算)，并求直线 l′被直线 l 和 y 轴所截线段的长；
来看，解方程组相当于求两条直线的__交__点__坐__标____．
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5．一次函数表达式的确定：使用__待__定__系__数____ 法.
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重难点1 一次函数图像的性质【链接：2019 徐
州 T18】
【例 1】 (2020·泰州)点 P(a，b)在函数 y＝3x
＋2 的图像上，则代数式 6a－2b＋1 的值等于( C )
(3)直线 y＝kx＋b 可以看作由直线 y＝kx 平移|b| 个单位长度得到(当 b＞0 时，向____上____平移；当 b<0 时，向___下_____平移)．
(4)直线 y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2 的位置关系：平 行：__k_1_＝__k_2_，b1≠b2；重合：k1＝k2，__b_1＝__b_2__； 关于 y 轴对称：k1＋k2＝0，b1＝b2；关于 x 轴对称： k1＋k2＝0，b1＋b2＝0；垂直：k_1_·__k_2_＝__－__1．
第十讲 导数放缩和数列 教师版
（放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x <−>⎛⎫ ⎪⎝⎭，()11ln 012x x x x >−<<⎛⎫⎪⎝⎭，)ln 1x x<>，)ln 01x x ><<，（放缩成二次函数）2l n x x x ≤−，()()21ln 1102x x xx +≤−−<<，()()21ln 102x x xx +≥−>（放缩成类反比例函数）1ln 1x x≥−，()()21ln 11x x x x −>>+，()()21ln 011x x x x −<<<+，()ln 11x x x+≥+，()()2ln 101x x x x+>>+，()()2ln 101x x x x+<<+第二组：指数放缩一次：1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥，类反比例：()101x e x x ≤≤−，()10x e x x <−<，二次：（泰勒）()21102x e x x x ≥++>，2311126x e x x x ≥+++， 第三组：指对放缩（双切线） ()()ln 112x e x x x −≥+−−=第四组：三角函数放缩()sin tan 0x x x x <<>，21sin 2x x x ≥−，22111cos 1sin 22x x x −≤≤−.第五组：以直线1y x =−为切线的函数ln y x =，11x y e−=−，2y x x =−，11y x=−，ln y x x =.3.放缩的思路二、课堂练习例1．已知函数()1x f x e x =−−． （1）证明()0f x ；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222n m ++⋯+<求m 的最小值．【答案】【解答】解：（1）()1x f x e '=−，当0x >时，()0f x '>，函数单调递增，当0x <时，()0f x '<，函数单调递减， 故当0x =时，函数取得最小值(0)0f =， 所以()0f x ；（2）由（1）知，当0x >时1x e x >+， 所以(1)x ln x >+，令12n x =，则可得11(1)22n n ln +<， 从而2211(1)111111122(1)(1)(1)111222222212n n n nln ln ln −++++⋯++<++⋯+==−<−， 故2111(1)(1)(1)222n e ++⋯+<，而23111(1)(1)(1)2222+++>，故m 的最小值为3．变式1．已知函数()1f x elnx x =−+． （1）讨论()f x 的单调性； （2）证明：*(1)2((123)n n e n N ln n +>∈⨯⨯⨯⋯⨯，且2)n ．【答案】【解答】解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()1e e xf x x x−'=−=． 在(0,)e 上，()0f x '>，在(,)e +∞上，()0f x '<．()f x ∴在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减． （2）由（1）知()f x f （e ）1=，11elnx x ∴−+，即xlnxe，当且仅当x e =时取等号． 从而11ln e<，22ln e <，33ln e <，⋯，n lnn e <，∴123123nln ln ln lnn e+++⋯++++⋯+<，∴(1)(123)2n n ln n e+⨯⨯⨯⋯⨯<， ∴(1)2(123)n n e ln n +>⨯⨯⨯⋯⨯．例2．已知()x f x e =，()1(g x x e =+为自然对数的底数）． （1）求证：()()f x g x 恒成立；（2）设m 是正整数，对任意正整数n ，2111(1)(1)(1)333n m ++⋯+<，求m 的最小值．【答案】【解答】解：（1）令()()()1x h x f x g x e x =−=−−，()1x h x e '=−，()0h x '=，则0x =，当0x <，()0h x '<；0x >时，()0g x '>，所以()h x 在(0,)+∞单调递减，在(,0)−∞单调递增，所以()()00h x h ==最小值，即()0h x 恒成立； 所以()()f x g x ；（2）由（1）令13n x =，可知131013nn e <+<，由不等式性质得2211(1)3311111111111[1()]33333332322111(1)(1)(1)2333n n n n n e e e e ee e −++⋯+−−++⋯+<⋯===<=．所以m 的最小值为2．变式1．已知函数()1f x xlnx x =−+，()x g x e ax =−，a R ∈． （Ⅰ）求()f x 的最小值；（Ⅱ）若()1g x 在R 上恒成立，求a 的值；（Ⅲ）求证：2111(1)(1)(1)1222n ln ln ln ++++⋯++<．【答案】【解答】解：()()I f x lnx '=，∴当01x <<时，()0f x '<，1x >时，()0f x '>，()f x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， ∴当1x =时，()f x 取得最小值f （1）0=；()II 由()1x g x e ax =−恒成立可得1x ax e +恒成立， 设()x h x e =，则()x h x e '=，故(0)1h '=，(0)1h =，∴函数()y h x =在(0,1)处的切线方程为1y x =+， 1x x e ∴+恒成立． 1a ∴=；()III 由()II 可知，1x x e +恒成立，两边取对数得(1)ln x x +，令1(12ix i ==，2，3)n ⋯累加得2211(1)111111122(1)(1)(1)111222222212n n n n ln ln ln −++++⋯++++⋯+==−<−，所以原不等式成立．例3．已知实数0a >，函数()1(x f x e ax e =−−是自然对数的底数） （1）求函数()f x 的单调区间及最小值． （2）若()0f x 对任意x R ∈恒成立，求a 的值． （3）证明：*1111(1)()23ln n n N n+++⋯+>+∈． 【答案】【解答】解：（1）()f x 的定义域为R ，()x f x e a '=−， 令f ‘()0x >得，x lna >，令f ’ ()0x <的，x lna <，()f x ∴的单调减区间为(,)lna −∞，增区间为(0,)+∞， ()()1min f x f lna a alna ∴==−−．（2）)()0f x 等价于()0min f x ，∴由（1）得10a alna −−，设g （a ）1a alna =−−，则g ‘（a ）lna =−， 令g ’（a ）0=得1a =，g ∴（a ）在(0,1)上为增函数，(1,)+∞为减函数， g ∴（a ）max g =（1）0=， g ∴（a ）g （1）0=， g ∴（a ）0=，1a ∴=；（3）由（2）可知，当1a =时，()0f x ，即10x e x −−， 1x e x ∴+，两边取对数得(1)x ln x +，当且仅当0x =时取等号，∴令1x n =得111(1)()n ln ln n n n+>+=， 111234123411()()()()()(1)23123123n n ln ln ln ln ln ln n n n n++∴+++⋯+>+++⋯+=⨯⨯⨯⋯⨯=+． 变式1．已知函数()(1)x f x e ln x =−+ （1）求函数()f x 的最小值；（2）证明：()()111*321,ne e e e ln n n N e +++⋯++∈为常数．【答案】【解答】解：（1）由题意知，()f x 的定义域为：1x >−； 对()f x 求导：1()1x f x e x '=−+ 对()f x '求导有：21()0(1)x f x e x ''=+>+，所以()f x '为(1,)−+∞上单调增函数；令()0f x '=，则有0x =；所以，当(1,0)x ∈−时，()0f x '<，()f x 在(1,0)−上单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增； 故()f x 的最小值为(0)1f =．（2）由（1）知当0x =时，()f x 取得最小值，即()1f x(1)1x e ln x ∴−+，即(1)1x e ln x ++取1x n=，则11(1)1(1)1n e ln ln n lnn n ++=+−+于是211e ln ln −+；12321e ln ln −+； 13431eln ln −+；⋯1(1)1neln n lnn +−+；累加得：11132(1)ne e e e ln n +++⋯++，*()n N ∈故得证．例4．已知函数()(1)f x ln x =+（1）设()y g x =是函数()f x 在(0,0)处的切线，证明：()()f x g x （2）证明：2*22221111(1)(1)(1)(1)()123e n N n+++⋯+<∈ 【答案】【解答】解：（1）1()1f x x'=+，则(0)1f '=，又(0)0f =，所以()g x x = 证明()()(1)f x g x ln x x ⇔+，令()(1)h x ln x x =+−，则1()111xh x x x'=−=−++， 所以()h x 在(1,0)−上单调递增，在(0,)+∞上单调递减， 故()(0)0h x h =，所以(1)ln x x +．（2）由（1）知(1)ln x x +对任意的1x >−恒成立． 取1x =，则(11)1ln +<；212x =，则2211(1)22ln +<；⋯；2211(1)ln n n +<； 则22221111(11)(1)(1)122ln ln ln n n ++++⋯++<++⋯+， 又因为22111111112221223(1)n n n n++⋯+<+++⋯+=−<⨯⨯−， 所以2211(11)(1)(1)22ln ln ln n ++++⋯++<， 即2211(11)(1)(1)22ln n ++⋯+<， 所以2222111(1)(1)(1)12e n++⋯+<． 变式1．已知函数()f x x lnx =−． （1）求()f x 的最小值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，222111(1)(1)(1)23m n +⨯+⨯⋯⨯+<，求m 的最小值． 【答案】【解答】解：：（1）11()1x f x x x−'=−=， 当(0,1)x ∈时，()0f x '<，故()f x 在(0,1)单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(1,)+∞单调递增； 故()f x f （1）1=，故()f x 的最小值为1． （2）由（1）可得，()1f x x lnx =−即1lnx x −， 所以222114422(1)4(21)(21)2121ln k k k k k k k +=<=−−+−+，*k N ∈，2n ， 则222111222222222(1)(1)(1)223355*********ln ln ln ln n n n n ++++⋯++<−+−+⋯+−=−<<−++， 即222111(1)(1)(1)223ln ln n ++⋯+<， 所以222111(1)(1)(1)223n ++⋯+<． 又因为222111(1)(1)(1)123n++⋯+>，故对任意正整数n ，222111(1)(1)(1)23m n++⋯+<的整数m 的最小值为2． 例5．已知函数()f x xlnx kx =+，k R ∈．（1）求()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程； （2）若不等式2()f x x x +恒成立，求k 的取值范围； （3）求证：当*n N ∈时，不等式2212(41)21ni n nln i n =−−>+∑成立．【答案】【解答】解：（1）函数()y f x =的定义域为(0,)+∞，()1f x lnx k '=++，f '（1）1k =+，f （1）k =，∴函数()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为(1)(1)y k k x −=+−， 即(1)1y k x =+−；（2）设()1g x lnx x k =−+−，1()1g x x'=−， (0,1)x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增， (1,)x ∈+∞，()0g x '<，()g x 单调递减， 不等式2()f x x x +恒成立，且0x >，10lnx x k ∴−+−，()max g x g ∴=（1）20k =−即可，故2k ，（3）由（2）可知：当2k =时，1lnx x −恒成立， 令2141x i =−，由于*i N ∈，21041i >−． 故，221114141lni i <−−−，整理得：221(41)141ln i i −>−−， 变形得：：21(41)1(21)(21)ln i i i −>−+−，即：2111(41)1()22121ln i i i −>−−−+1i =，2，3⋯⋯，n 时，有1312ln >−1(1)3−’ 1512ln >−1(1)3− ⋯⋯⋯⋯21(41)12ln n −>−11()2121n n −−+两边同时相加得：21112222(41)(1)2212121ni n n nln i n n n n =−−>−−=>+++∑， 所以不等式在*n N ∈上恒成立．变式1．已知函数()(1)(1)1f x ln x k x =−−−+． （1）求函数()f x 的极值点；（2）若()0f x 恒成立，求k 的取值范围； （3）证明：*22341(62460(1)22ln ln ln lnn n n N n n n −+++⋯+<∈−+，1)n > 【答案】【解答】解：（1）()f x 的定义域为(1,)+∞，1()1f x k x '=−−， 若0k ，则()0f x '>，()f x 在(1,)+∞单增，所以()f x 无极值点； 若0k >，令()0f x '=，得11x k=+， 当1(1,1)x k ∈+时，()0f x '>，()f x 在1(1,1)k +单增，当1(1,)x k ∈++∞时，()0f x '<，()f x 在1(1,)k++∞单减，所以()f x 有极大值点11x k=+，无极小值点； （2）由（1）知当0k 时，()f x 在(1,)+∞单增，又f （2）10k =−>，所以()0f x 不成立； 当0k >时，1()(1)max f x f lnk k=+=−，若()0f x 恒成立，只需1()(1)0max f x f lnk k=+=−，解得1k ，所以k 的取值范围是[1，)+∞；（3）由（2）知，当1k =时，1(1)lnx x x <−>，∴221111(,1)(1)(1)(1)1lnn n n N n n n n n n n n n −<==−∈>−−++，∴2234111111111(,1)62460(1)233412122ln ln ln lnn n n N n n n n n n n −+++⋯⋯+<−+−+⋯⋯+−=−=∈>−+++．例6．已知函数()2f x x lnx m =−−，()1g x mx =−，m R ∈． （1）若1m =，求函数()()()h x f x g x =−的最小值； （2）求证：*2222222123111111(1)(1)()1232323ln ln ln lnn n N n n n+++⋯++++⋯+−+++⋯+∈． 【答案】【解答】解：（1）当1m =时，()(0)h x x lnx x =−>，则11()1x h x x x−'=−=， 令()0h x '>，解得1x >；令()0h x '<，解得01x <<；∴函数()h x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增， ()min h x h ∴=（1）1=；（2）证明：由（1）可知，1x lnx −，即1lnx x −，当且仅当1x =时取等号，所以2211lnxx x x−， ∴222222212113111111,,,,()1222333ln ln lnnn N ln n n n −<−<−⋯⋯−∈， ∴2222222123111111111232233ln ln ln lnn n n n +++⋯⋯+−+−+−+⋯⋯+−， ∴*2222222123111111(1)(1)()1232323ln ln ln lnn n N n n n+++⋯++++⋯+−+++⋯+∈． 变式1．已知函数1()lnxf x x+=． （1）如果当1x 时，不等式()1af x x +恒成立，求实数a 的取值范围； （2）求证：222*211221211112()n n n N eee⨯+⨯++++⋯+<+∈；【答案】【解答】解：（1）不等式()1a f x x +，转化为(1)(1)x lnx a x++， 令(1)(1)()x lnx g x x++=，只需()min a g x 即可，2()x lnx g x x −'=，y x lnx =−，110y x'=−，y 在[1，)+∞递增，()h x h （1）10=>， 所以()0g x '>，()g x 在[1，)+∞递增， 所以()min g x g =（1）2=， 所以2a ；（2）令2a =，由（1）得121lnxxx ++，11x lnx x −+，即11x x e x −+，令211x n=+，代入则212121111111(2)(1)1n e n n n n n n +<+<+=+−−− 故22221122121111111111112221nn n n n ne e e ⨯+⨯++++⋯++++−+⋯+−=+−<+−． 故原式成立．例7．已知函数()sin f x a x blnx x =+−．（1）当0a =，1b =时，证明：()1f x −； （2）当6b π=时，若()f x 在(0,)3π上为增函数，求a 的取值范围； （3）*n N ∀∈，试比较2111(1)(1)(1)444n ++⋯+与13e 的大小，并进行证明．【答案】【解答】（1）证明：当0a =，1b =时，()f x lnx x =−，所以1()xf x x−'=， 令()0f x '>，得01x <<；令()0f x '<，得1x >， 所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 所以()min f x f =（1）1=−， 故()1f x −； （2）解：当6b π=时，()cos 16f x a x xπ'=+−，所以cos 106a x xπ+−在(0,)3π上恒成立，即66cos x ax xπ−在(0,)3π上恒成立，令6()6cos x h x x x π−=，(0,)3x π∈，显然当(0,)6x π∈时，()0h x <；当(6x π∈，)3π时，()0h x >，而当(6x π∈，)3π时，22cos sin (6)()06x x x x h x x cos xππ+−'=>，所以()h x 在(6π，)3π上单调递增， 所以()()13h x h π<=，所以1a ，即a 的取值范围是[1，)+∞；（3）132111(1)(1)(1)444n e ++⋯+<，证明：由（1）知(1)ln x x +< (0)x >， 令14x x =，得11(1)44x x ln +<， 所以11(1)44ln +<，2211(1)44ln +<，⋯，11(1)44n n ln +<，所以22111111(1)(1)(1)444444n n ln ln ln ++++⋯++<++⋯⋯+，即221111111111[(1)(1)(1)]4444443343n n n ln ++⋯+<++⋯⋯+=−⨯<，所以132111(1)(1)(1)444n e ++⋯+<．变式1．已知函数2()(21)(1)f x lnx ax a x a =+−+++． （1）若对1x ∀>，都有()0f x >恒成立，求a 的取值范围；（2）证明：22222(1)(2)(3)()n n n n n n e n +++⋯+>对任意正整数n 均成立，其中e 为自然对数的底数． 【答案】【解答】（1）解：212(21)1(21)(1)()2(21)ax a x ax x f x ax a x x x−++−−'=+−+==．1x >，10x ∴−>，故：①当0a 时，()0f x '，()f x 在(1,)+∞上单调递减， 而f （1）0=，()0f x ∴<，不符合题意； ②当12a时，即112a，()f x 在(1,)+∞上单调递增， 而()f x f >（1）0=，∴符合题意； ③当102a <<，1(1,)2x a∈时，()0f x '<，()f x 在1(1,)2a 上单调递减， 而f （1）0=，∴此时()0f x <，不符合题意， 综上所述，a 的取值范围为1[,)2+∞．（2）证明：要证明22222(1)(2)(3)()n n n n n n e n +++⋯+>，等价于证明2222222212n n n k n nn n n n ++++⋯⋯>， 等价于证明222222221212n n n k n n ln ln ln ln n n n n ++++++⋯++⋯+>．由（1）可得1(1)[1(1)]2lnx x x >−−−在(1,)+∞恒成立．令21kx n =+，1k =，2，3，⋯，n ，则221k n，∴2224221(1)22k k k k ln n n n n n +>−−， ∴222222222212121122n n n k n n n ln ln ln ln n n n n n n n ++++++⋯+++⋯++⋯+>−⨯=， ∴222222221212n n n k n n ln ln ln ln n n n n ++++++⋯++⋯+>成立，∴22222(1)(2)(3)()n n n n n n e n +++⋯+>成立．例8．已知函数()(1)f x x lnx =+，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为y ax b =+． （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求证：1x >时，()f x ax b >+；（Ⅲ）求证：2227(2)23(2,*)1632ln ln ln n n n N n n −++⋯++>∈−． 【答案】【解答】解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1()x f x lnx x+'=+， f '（1）2=，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分） 又因为f （1）0=，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分） 所以该切线方程为2(1)y x =−，即2a =，2b =−． （Ⅱ）设()(1)22F x x lnx x =+−+， 则1()1F x lnx x'=+−， 设1()1g x lnx x=+−，(1)x ，g （1）0= 则21()x g x x−'=， 当(1,)+∞，()0g x '>，又g （1）0=，故()0g x >．所以()0F x '>，即()F x 在区间(1,)+∞单调递增，所以()F x F >（1）0= 所以1x >，()f x ax b >+．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，(1)2(1)x lnx x +>−．令22(2,*)x n n n N =−∈，则222(1)(2)2(3)n ln n n −−>−，因为222(2)2113111ln n n n n n −>=−−−−+，所以2n ，*n N ∈时，2227(2)111111111111321116332446211212ln ln ln n n n n n n n n n−++⋯+>−+−+−+⋯+−+−=+−−>−⋯−−−++ 即2227(2)23(2,*)1632ln ln ln n n n N n n −++⋯++>∈−． 变式8．已知函数1()(1)f x alnx a x x=−+−（1）当1a <−时，讨论()f x 的单调性 （2）当1a =时，若1()1g x x x=−−−，证明：当1x >时，()g x 的图象恒在()f x 的图象上方（3）证明：2*2222321(234(1)ln ln lnn n n n N n n −−++⋯+<∈+，2)n【答案】【解答】解：（1）函数1()(1)f x alnx a x x=−+−， 0x ∴>，2221(1)1()(1)a a x ax f x a x x x −+++'=−++=，1a <−，由()0f x '>，得[(1)1](1)0a x x −+−−>，当2a =−时，由()0f x '>，得1x ≠，增区间为(−∞，1]，[1，)+∞，无减区间； 当12a −<<−时，由()0f x '>得，11x a >−+或1x <，增区间为(0，1]，1[1a −+，)+∞，减区间为[1，1]1a −+； 当2a >−时，由()0f x '>得，11x a <−+或1x >，增区间为(0，1]1a −+，[1，)+∞，减区间为1[1a −+，1]． 证明：（2）1a =时，1()2f x lnx x x =−−，1()1g x x x=−−−， 设()()()1F x f x g x lnx x =−=−+，11()1xF x x x−'=−=， 当(0,1)x ∈时，()0F x '>，当(1,)x ∈+∞时，()0F x '<()F x F ∴（1）0=，即()()f x g x <恒成立， ()g x ∴的图象恒在()f x 图象的上方． （3）由（2）知10lnx x −+(0)x >， 设()1K x lnx x =−+，则11()1x K x x x−'=−=． 当(0,1)x ∈时，()0k x '>，()k x ∴为单调递增函数； 当(1,)x ∈∞时，()0k x '<，()k x ∴为单调递减函数；1x ∴=为()k x 的极大值点，()k x k ∴（1）0=． 即10lnx x −+，1lnx x ∴−．由上知1lnx x −，又0x >，∴11lnx x x−． n N +∈，2n ，令2x n =，得22211lnn n n−，∴2211(1)2lnn n n −，∴222222231111(111)23223ln ln lnn n n++⋯+−+−+⋯+− 2221111[1()]223n n=−−++⋯+1111[1()]22334(1)n n n <−−++⋯+⨯⨯+ 1111111[1()]223341n n n =−−−+−+⋯+−+ 111[1()]221n n =−−−+ 2*21(4(1)n n n N n −−=∈+，2)n ∴2*2222321(234(1)ln ln lnn n n n N n n −−++⋯+<∈+，2)n 三、课后练习1．若函数211()(1)(1)22f x aln x x a x =++−+−． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()0f x 在(1,)−+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）求证：对任意的正整数n 都有，11111234n ln ln ln lnn n−+++⋯+>． 【答案】【解答】解：（1）(1)()11a x x a f x x a x x +−'=+−=+−． 若0a ，则当(1,0)x ∈−时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；若01a <<，则当(1,1)x a ∈−−或(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,0)x a ∈−时，()0f x '<，()f x 单调递减；若1a =，则()0f x '恒成立，当且仅当0x =时取等号，所以()f x 在(1,)−+∞单调递增； 若1a >，则当(1,0)x ∈−或(1,)x a ∈−+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(0,1)x a ∈−时，()0f x '<，()f x 单调递减； （2）11(0)0022f a a =−−⇒−<， 所以当(1,0)x ∈−时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；当0x =时，()f x 取最小值(0)0f ；所以(a ∈−∞，1]2−．（3）当12a =−时，2211111111()(1)(1)02222(1)1f x ln x x x ln x x x x x =−++++−⇔=−+++对任意(1,)x ∈−+∞恒成立，当且仅当0x =时取等号． 所以对任意的正整数n ，111(1)1ln n n n >−++，所以1111111111112312231n ln ln ln n n n n n−++⋯+>−+−+⋯++=−=−． 2．已知函数()(1)(1)f x lnx x ax a =+−−−． （Ⅰ）当0a =时，求()f x 的最大值；（Ⅱ）若对1x ∀>，都有()0f x >恒成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）证明：22222(1)(2)(3)()n n n n n n e n +++⋯⋯+>对任意正整数n 均成立，其中e 为自然对数的底数． 【答案】【解答】（1）解：当0a =时，()1f x lnx x =+−，(0)x >， 11()1xf x x x−'=−=． 可得(0,1)∈时，()0f x '>，(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x ∴在(0,1)递增，在(1,)+∞递减， ()f x ∴的最大值为f （1）0=；（2）解：212(21)1(21)(1)()(1)(1)ax a x ax x f x ax a x a x x x−++−−'=+−−+−==． ．110x x >∴−>故：①当0a 时，()0f x '，()f x 在(1,)+∞单调递减，而f （1）0=，()0f x ∴<，不符合题意， ②当102a时，112a，()f x 在(1,)+∞单调递增，在（而f （1）0=， ()0f x ∴>，不符合题意，③当1002a <<时，1(1,)2a ∈时，()0f x '，()f x 在1(1,)2a 单调递减，而f （1）0=，∴此时()0f x <，不符合题意，综上所述：a 的取值范围1[2，)+∞（3）证明：要证明22222(1)(2)(3)()n n n n n n e n +++⋯⋯+>．等价于证明2222222212n n n k n nn n n n++++⋯⋯>， 等价于证明222222221212n n n k n n ln ln ln ln n n n n ++++++⋯++⋯>．由（2）可得1(1)[1(1)]2lnx x x >−−−在(1,)+∞恒成立．令21kx n =+，1k =，2，3，n ⋯．则221k n2224221(1)22k k k k ln n n nn n∴+>−−． 222222222212121122n n n k n n n ln ln ln ln n n n n n n n ++++++⋯+∴++⋯++⋯>−⨯=． ∴．222222221212n n n k n n ln ln ln ln n n n n ++++++⋯++⋯>．成立．22222(1)(2)(3)()n n n n n n e n ∴+++⋯⋯+>．成立．3．已知函数()()f x x ln x a =−+的最小值为0，其中0a >． （1）求a 的值；（2）若对任意的[0x ∈，)+∞，有2()f x kx 成立，求实数k 的范围；（3）证明：*12(21)2()21ni ln n n N i =−+<∈−∑（注12222:2)213521ni i n ==+++⋯−−∑【答案】【解答】解：（1）函数的定义域为(,)a −+∞．由()0f x '=得：1x a a =−>−又由()0f x '得：1x a −()f x ∴在(,1)a a −−单调递减，在[1a −，)+∞单调递增 (())(1)01min f x f a a ∴=−=⇒=（2）设2()()(0)g x kx x In x a x =−++，则()0g x 在[0，)+∞恒成立 ()0(0)(*)min g x g ⇔=注意到g （1）1200k In k =−+⇒> 又(221)()1x kx k g x x +−'=+①当1210()2k k −<<时，由()0g x '得122kx k−．()g x 在12[0,]2k k −单减，12(,)2k k−+∞单增，这与(*)式矛盾； ②当12k时 ()0g x '在[0，)+∞恒成立()(0)0g x g ∴=符合(*) ∴12k⋯⋯（8分） 证明：（3）由（2）知：令12k =得：21(1)2x In x x −+令2(1,2,,)21x i n i ==⋯−得：222[(21)(21)]21(21)In i In i i i −+−−<⋯−− 当1i =时，2232x In =⇒−<； 当2i 时，2211(21)2321i i i <−⋯⋯−−−（11分）从而2121[(21)(21)]23122121i In i In i In i n =−++−<−+−<−−∑． 4．已知函数()1f x x lnx =−−． （1）求函数()f x 的最小值；（2）当*n N ∈时，求证：①11n ln n n+>；②1111231ne n +++⋯+>+．(e 为自然对数的底）【答案】【解答】解：（1）函数()1f x x lnx =−−．(0,)x ∴∈+∞，11()1x f x x x−'=−=， 当(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数， 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 是增函数， ()min f x f ∴=（1）0=．证明：（2）①由（1）得()10f x x lnx =−−， 当且仅当1x =时取等号，1x lnx ∴−，令*11()n x n N n +=>∈，得11n lnn n+>， ∴11n lnn n +>．②11n lnn n+>， 1112311(1)2312n ln ln ln ln n n n+∴+++⋯+>++⋯+=+， ∴1111231nen +++⋯+>+．5．已知函数()f x x lnx =−． （1）求()f x 的最小值；（2）证明：对于任意正整数n ，222111(1)(1)(1)23e n+⨯+⨯⋯⨯+<． 【答案】【解答】解：（1）11()1x f x x x−'=−=， 当(0,1)x ∈时，()0f x '<，故()f x 在(0,1)单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(1,)+∞单调递增； 故()f x f （1）1=，故()f x 的最小值为1． （2）由（1）可得，()1f x x lnx =−即1lnx x −， 所以2211111(1)(1)1ln k k k k k k+<=−−−，*k N ∈，2n ， 则222111111111(1)(1)(1)111232231ln ln ln n n n n ++++⋯++<−+−+⋯+−=−<−， 即222111(1)(1)(1)123ln n ++⋯+<， 所以222111(1)(1)(1)23ln e n ++⋯+<． 6.已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 过点(1,0)，其导函数为2()1f x x x'=−+，设23()(1)22x g x k x lnx =−+−++．（1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数k ，使得对任意的(0,)x ∈+∞不等式()()0f x g x +>恒成立？若存在，求出k 的取值范围，若不存在，请说明理由； （3）求证：2!(1)(2elnn n n n <+=，3，4)⋯ 【答案】 【解答】解：（1）2()1f x x x'=−+ 2()2(2x f x lnx x C C ∴=−++为常数）又()f x 过(1,0)f ∴（1）1102C =++=，解得32C =− 故23()222x f x lnx x =−+− （2）假设存在实数k ，使得对任意的(0,)x ∈+∞不等式()()0f x g x +>恒成立 由（1）知()()0f x g x +>， 0kx lnx −>，即lnxk x>令()lnx t x x =，则21()lnxt x x −'=，由()0t x '=解得x e =当0x e <<时()0t x '>，()t x 为增函数 当x e >时()0t x '>，()t x 为减函数 1e∴=，1k e ∴>，故k 的取值范围为1(e，)+∞．证明：（3）由（2）知，当0x >时，1lnxx e， ∴当2n =，3，4⋯时1lnn n e<，即elnn n < 22eln ∴<，33eln <，44eln <，⋯，elnn n <，2!(1)(2elnn n n n ∴<+=，3，4)⋯．7．已知函数2()1f x ax bx =++在3x =处的切线方程为58y x =−． （1）求函数()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程()x f x ke =恰有两个不同的实根，求实数k 的值； （3）数列{}n a 满足12a f =（2），1()n n a f a +=，*n N ∈，证明： ①11n n a a +>> ②123201911112S a a a a =+++⋯+<． 【答案】【解答】（1）解：2()1f x ax bx =++，()2f x ax b '=+， 依题意，(3)5(3)7f f '=⎧⎨=⎩，即659310a b a b +=⎧⎨++=⎩，解得11a b =⎧⎨=−⎩，2()1f x x x ∴=−+；（2）解：方程()x f x ke =，即21x x x ke −+=， 得2(1)x k x x e −=−+， 记2()(1)x F x x x e −=−+，则22()(21)(1)(32)x x x F x x e x x e x x e −−−'=−−−+=−−+(1)(2)x x x e −=−−−．令()0F x '=，得11x =，22x =．∴当1x =−时，()F x 取极小值1e ，当2x =时，()F x 取极大值23e．可知当1k e=或23k e =时，它们有两个不同交点，因此方程()x f x ke =恰有两个不同的实根；（3）证明：①12a f =（2）3=，得1312a =>，又21()1n n n n a f a a a +==−+， ∴22121(1)0n n n n n a a a a a +−=−+=−>， 11n n a a +∴>>．②由211n n n a a a +=−+，得11(1)n n n a a a +−=−， 111111(1)1n n n n na a a a a +==−−−−，即111111n n n a a a +=−−−． ∴12320191223201920201111111111()()()111111S a a a a a a a a a a =+++⋯+=−+−+⋯+−−−−−−− 12020202011122111a a a =−=−<−−−． 8．已知函数()()f x ax ln x b =−+在点(1,1)处的切线与x 轴平行． （1）求实数a ，b 的值；（2）证明：22132(,2)()(1)nk n n n N n k f k n n =−−>∈−+∑．【答案】 【解答】解：（1）1()f x a x b'=−+，又由已知得f '（1）0=①f （1）1a lnb =−=② 由①，②解得：1a =，0b =（2）()k f k lnk −=，设212324,,(1)1n n n n n n n b lnn T a T T n n n −−−===−=+− 当2n 时有，2110,04n n n b lnn a −=>=> 设21()(2)4x h x lnx x −=−，则212()022x x h x x −'=−=>恒成立 即()h x 在[2，)+∞上是增函数， n n b a ∴>等价于221111n n h a b a b −−=（2）3204ln =−>，∴221114443223381(1)n n ln ln lnn n n n −−++⋯+>++⋯+=−+，∴22132(,2)()(1)nk n n n N n k f k n n =−−>∈−+∑． 9．已知函数2()1f x alnx x =−+． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）求证：22223(1)(21)(2)234(1)ln ln lnn n n n n n −+++⋯+<+． 【答案】【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，22()2a a x f x x x x−'=−=．①当0a 时，()0f x '，()f x 在(0,)+∞上单调递减；（2分） ②当0a >时，由()0f x '<解得x >；由()0f x '>解得0x << 所以()f x在上单调递增，在)+∞上单调递减． （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得当2a =时，()max f x f =（1）21110ln =−+=， 即2210lnx x −+当且仅当1x =时等号成立．所以2210(2)lnn n n −+<，21(2)2n lnn n −<， 2211111111(1)[1]()(2)22(1)221lnn n n n n n n n <−<−=−−++， 所以22223111111111111()()2322233412221ln ln lnn n n n n n n −−++⋯+<−−+−+⋯+−=−−++， （11分） 即22223(1)(21)234(1)ln ln lnn n n n n −+++⋯+<+． 10．已知关于x 的函数()(1)f x ln x =+． （Ⅰ）当0x >时，证明：(1)1xln x x +>+； （Ⅱ）求证：1112()332313ni ln n n n=+−<−−∑． 【答案】【解答】（Ⅰ）证明：令1x t +=，(1)t >． 只需证明：1t lnt t −>，即证明110lnt t−+>，(1)t >． 令1()10g t lnt t=−+>，(1)t >．21()0t g t t−'=>，()g t ∴在(0，+∞单调递增． ()g t g ∴>（1）0=，即(1)1xln x x +>+； （Ⅱ）证明由（Ⅰ）可得(1)1x ln x x +>+，令1x n =，可得11(1)1ln n n<++．1111233123131n n nln lm ln lm n n n n n n ++++⋯+<++⋯+=+++− 111121111()()3231332313nni i n n n n n n n ==+−=++−−−−−∑∑ 11111(1)2332313n n n =+++⋯+++−−−（1）111)23n++⋯+ 111123n n n=++⋯+++ ∴1112()332313n i ln n n n=+−<−−∑． 11．已知函数1()12a f x ax a lnx x−=++−−，a R ∈． ()I 若1a =−，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()0f x 在[1x ∈，)+∞上恒成立，求正数a 的取值范围； （Ⅲ）证明：*1111(1)()232(1)n ln n n N n n +++⋯+>++∈+． 【答案】【解答】解：()I 当1a =−时，2()3f x x lnx x=−−−−，则函数()f x 的定义域为{|0}x x >， 则2222(1)(2)()x x x x f x x x −−+−−+'==，则当(0,1)x ∈时，()0f x '>，则()f x 单调递增； 则当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，则()f x 单调递减；所以()f x 单调递增区间为(0,1)，()f x 单调递减区间为(1,)+∞ （Ⅱ）因为1()12a f x ax a lnx x−=++−−，[1x ∈，)+∞，则f （1）0=，222211(1)1()(1)()a ax x a a af x a x x x x x x a −−−−−'=−−==−−．①当102a <<，时，此时11aa−>，当11ax a−<<，则()0f x '<，()f x 在[1，1]a a −上是减函数，所以在1(1,)a a −上存在0x ，使得0()f x f <（1）0<，()0f x 在[1，)+∞上不恒成立； ②当12a时，11aa−，()0f x '在[1，)+∞上成立，()f x 在[1，)+∞上是增函数，()f x f（1）0=，()0f x 在[1，)+∞上恒成立， 综上所述，所求a 的取值范围为1[,)2+∞；（Ⅲ）由（Ⅱ）知当12a 时，()0f x 在[1，)+∞上恒成立，1120(1)a ax a lnx x x−++−−， 令12a =，有11()2x lnx x−， 当1x >时，11()2x lnx x−>，令1k x k +=，有111111()[(1)(1)]2121k k k ln k k k k k ++<−=+−−++， 即111(1)()21ln k lnk k k +−<++，1k =，2，3，⋯，n ，将上述n 个不等式依次相加得：11111(1)()2232(1)ln n n n +<+++⋯+++，整理得1111(1)(1)232(1)n ln n n n n +++⋯+>+++． 12．已知函数()1f x x lnx =−−． （Ⅰ）求证：()0f x ；（Ⅱ）求证：*2111[(1)(1)(1)]1()222n ln n N ++⋯+<∈．【答案】【解答】证明：（Ⅰ）由题意知，()1f x x lnx =−−的定义域为(0,)+∞， 因为11()1x f x −'=−=，所以()f x 和()f x '的变化情况如下表所示：由表可知：()min f x f =（1）1110ln =−−=． 所以()()0min f x f x =．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：10x lnx −−>，(1)x ≠即1(1)lnx x x <−≠． 所以可得22111111(1),(1),,(1)222222n n ln ln ln +<+<⋯+<．将上述n 个式子相加可得：*21111111[(1)(1)(1)]11()2222422n n n ln n N ++⋯+<++⋯+=−<∈，所以结论得证，即*2111[(1)(1)(1)]1()222n ln n N ++⋯+<∈．。
第10讲 反比例函数的图像与性质
知识点梳理3:反比例函数的对称性及K的几何意义 ①反比例函数是轴对称图形,对称轴是 ; 同时也是中心对称图形,对称中心是 . y= B ②若点A(-2,-1),则点B的坐标为 . D C A
③若S△OBC=2,反比例函数的解析式为 .
④S矩形BDOC=
.
自学检测3:(8+12分钟) 1.已知直线y=mx与双曲线y＝k/x的一个交点 A的坐标为(1，2),则m= ;k= ; 它们的另一个交点坐标是 . 变式:直线y=ax(a＞0)与双曲线y=3/x交于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则4x1y2-3x2y1= . 2.如图,正方形ABOC的面积为2,反比例函数 y=k/x过点A,则反比例函数解析式为 .
变式1:如图,已知反比例函数y=k/x图象的一支曲 线经过矩形OABC的边AB、BC的中点E、F,且 四边形OEBF的面积为4. (1)求反比例函数的解析式； (2)若点(m,a)、(n,b)是这个反比例函数图象的 上两点,且m＜n,确定a、b的大小.
变式2:如图,矩形ABOC的边OB,OC分别在坐标 轴上,将矩形ABOC绕原点O顺时针旋转90°后, 得到的矩形为DEOF.已知点A的坐标为(-2,m),反 比例函数y=n/x的图象(第一象限)经过线段DF的 中点M,且满足m+n=6. (1)求m，n的值; (2)求直线CM的函数解析式; (3)设直线CM交DE于点N,请判断点N是否在反 比例函数y=n/x的图象上(写出理由)．
A
B
C
D
2.(2014•牡丹江)在同一直角坐标系中,函数 y=kx+1与y=-K/X(k≠0)的图象大致是( )
A
B
C
D
变式:((2013•云南)若ab＞0,则一次函数 y=ax+b与反比例函数y=ab/x在同一坐标系数 中的大致图象是( )
第10讲 函数的单调性(解析版)
第10讲 函数的单调性【基础知识回顾】 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 2．函数的最值常用结论1．∀x 1，x 2∈D 且x 1≠x 2，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0(<0)或(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0(<0)⇔f (x )在区间D 上单调递增(减)．2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 3．函数y ＝f (x )(f (x )>0或f (x )<0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f (x )的单调性相反．4．复合函数的单调性：函数y ＝f (u )，u ＝φ(x )在函数y ＝f (φ(x ))的定义域上，如果y ＝f (u )与u ＝φ(x )的单调性相同，那么y ＝f (φ(x ))单调递增；如果y ＝f (u )与u ＝φ(x )的单调性相反，那么y ＝f (φ(x ))单调递减．1、下列函数中，定义域是R 且为增函数的是A ．xy e -= B ．3y x = C ．ln y x = D ．y x =【答案】B【解析】四个函数的图象如下显然B 成立．2、列函数中，既是偶函数，又在区间(1，2)内是增函数的为A ．cos 2,y x x R =∈B ．2log ||,0y x x R x =∈≠且C ．,2x xe e y x R --=∈ D ．31y x =+ 【答案】B【解析】函数x y 2log =为偶函数，且当0>x 时，函数x x y 22log log ==为增函数，所以在)2,1(上也为增函数，选B ．3、已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23 D.⎣⎡⎭⎫12，23【答案】D【解析】因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13.所以0≤2x －1<13， 解得12≤x <23.故选D.4、函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|；单调递减区间是 ． 【答案】(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；(，(1，1＋2)．【解析】作出函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图像如图所示．由图像可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调增区间为(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1－2)，(1，1＋2)．故应分别考向一 函数单调性的证明与判断例1、判断函数f(x)＝x1＋x2在区间[1，＋∞)上的单调性并证明你的结论．【解析】 函数f （x ）＝21xx+在区间[1，＋∞）上是单调减函数，证明如下： 设x 1、x 2∈[1，＋∞），且x 1<x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝1211x x +－2221x x +＝2212212212(1)(1)1)(1)x x x x x x +-+++（＝11122212()(1)1)(1)x x x x x x -++（. ∵x 1、x 2∈[1，＋∞），且x 1<x 2，∴ x 1－x 2<0，1－x 1x 2<0.又（1＋x 21）（1＋x 22）>0，∴ f （x 1）－f （x 2）>0， 即f （x 1）>f （x 2）.∴ f （x ）＝21xx+在[1，＋∞）上为减函数. 变式1、试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．【解析】 设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)，由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．变式2、下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】3y x =为奇函数，21y x =-+在(0,)+∞上为减函数，在(0,)+∞上为减函数，故选B ．+∞（0，）3y x =1y x =+21y x =-+2xy -=2xy -=方法总结： 1. 判断函数的单调性，通常的方法有：（1）定义法；（2）图像法；（3）利用常见函数的单调性；（4）导数法.而要证明一个函数的单调性，基本方法是利用单调性定义或导数法.2. 应用函数单调性的定义证明函数的单调性，其基本步骤如下：取值→作差→变形→确定符号→得出结论其中，变形是十分重要的一步，其目的是使得变形后的式子易于判断符号，常用的方法是(1)分解因式；(2)配方；(3)通分约分等．考向二 函数的单调区间例1、求下列函数的单调区间 （1）y ＝－x 2＋2|x|＋1；（2）、函数y ＝|x |(1－x )的单调递增区间是________.【解析】（1）由2221,0-x 21,0x x x x x ⎧-++⎪⎨-+⎪⎩≥，＜，即22(1)2,0-1)2,0.x x y x x ⎧--+⎪=⎨++⎪⎩≥（＜画出函数图像如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0，1]，单调减区间为[－1，0]， [1，＋∞)．（2）y ＝|x |(1－x )＝⎩⎨⎧x （1－x ），x ≥0，－x （1－x ），x <0＝⎩⎨⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x <0，函数的大致图象如图所示.由图易知函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. 变式1、函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是________． 【答案】 [1,2]【解析】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.画出f(x)的大致图象(如图所示)，由图知f(x)的单调递减区间是[1,2]．方法总结：求函数的单调区间的常用方法与判断函数的单调性的方法类似，有定义法、图像法、利用常见函数的单调性、导数法等．值得引起高度重视的是：(1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求单调区间，必须先求出定义域； (2)对于基本初等函数的单调区间，可以直接利用已知结论求解考向三 复合函数的单调区间例3、(2022·沭阳如东中学期初考试)函数y ＝log 5(x 2＋2x －3)的单调递增区间是______． 【答案】(1，＋∞)【解析】由题意，令x 2＋2x －3＞0，解得x ＜－3或x ＞1，因为t ＝x 2＋2x －3在(1，＋∞)上单调递增，所以函数y ＝log 5(x 2＋2x －3)的单调递增区间为(1，＋∞)．变式1、.函数y ＝log 12(－x 2＋x ＋6)的单调递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫12，3B.⎝⎛⎭⎫－2，12 C.(－2，3)D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞【答案】 A【解析】由－x 2＋x ＋6>0，得－2<x <3，故函数的定义域为(－2，3)，令t ＝－x 2＋x ＋6，则y ＝log 12t ，易知其为减函数.由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t ＝－x 2＋x ＋6在(－2，3)上的单调递减区间.利用二次函数的性质可得t ＝－x 2＋x ＋6在定义域(－2，3)上的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫12，3.方法总结：求复合函数的单调性，首先要注意复合函数的定义域，其次要确定函数是有哪些基本函数复合而成，根据同增异减的性质确定复合函数的单调性。
第10讲 函数图像及其变换(教案)
函数图像与变换教学目标：掌握常见函数图像及其性质（高考要求B ），熟悉常见的函数图像（平移、对称、翻折）变换（高考要求B ）.教学重难点：掌握常见函数图像及其性质，会用“平移、对称、翻折”等手段进行函数图像变换。
教学过程：一.知识要点：1.常见函数图像及其性质： （1）平移变换：①y =f (x ) →y ＝f (x ±a )(a >0)图象 横向 平移a 个单位，（左+右—）. ②y =f (x ) →y ＝f (x )±b (b >0)图象 纵向 平移b 个单位，(上+下—)③若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象； ④若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. （2）对称变换：①y =f (x ) →y =f (－x )图象关于 y 轴 对称; 若f (－x )=f (x ),则函数自身的图象关于y 轴对称.②y =f (x ) →y =－f (x )图象关于x 轴 对称.③y =f (x ) →y =－f (－x )图象关于原点 对称; 若f (－x )=－f (x ),则函数自身的图象关于原点对称.④y =f (x ) →y =f －1(x )图象关于直线y =x 对称.⑤y =f (x ) →y =－f －1(－x )图象关于直线y =－x 对称. ⑥y =f (x ) →y =f (2a －x )图象关于直线x =a 对称； ⑦y =f (x ) →y =2b －f (x )图象关于直线y =b 对称. ⑧y =f (x ) →y =2b －f (2a －x )图象关于点(a ,b ) 对称.若f (x )=f (2a －x )(或f (a ＋x )=f (a －x ))则函数自身的图象关于直线x =a 对称.若函数()y f x =的图象关于直线2a b x +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=-()()f a b mx f mx ⇔+-=（3）翻折变换主要有①y =f (x ) →y ＝f (|x |)的图象在y 轴右侧(x >0)的部分与y ＝f (x )的图象相同，在y 轴左侧部分与其右侧部分关于y 轴对称.②y =f (x ) →y ＝|f (x )|的图象在x 轴上方部分与y =f (x )的图象相同，其他部分图象为y ＝f (x )图象下方部分关于x 轴的对称图形. 二.基础练习：1.若把函数f (x )的图象作平移变换，使图象上的点P (1，0)变换成点Q (2，－1)， 则函数y ＝f (x )的图象经此变换后所得图象的函数解析式为 ( A )A.y ＝f (x －1)－1B.y ＝f (x ＋1)－1C.y ＝f (x －1)＋1D.y ＝f (x ＋1)＋1 2.已知函数y =f (x )的图象如图2—3，则下列函数所对应的图象中，不正确的是( B ) A.y =|f (x )| B.y =f (|x |) C.y =f (－x ) D.y =－f (x )图2—3解： y =f (|x |)是偶函数，图象关于y 轴对称.3.设函数y =2x 的图象为C ，某函数的图象C ′与C 关于直线x =2对称，那么这个函数是y =24－x解 ∵y =f (x )的图象与y =f (4－x )的图象关于直线x =2对称，设f (x )=2x ,则f (4－x )=24－x4.设函数y =f (x )的定义域是R ，且f (x －1)=f (1－x ),那么f (x )的图象有对称轴 直线x =0 解： 设x －1=t ,则f (t )=f (－t )，函数为偶函数，关于y 轴对称.5.函数y =12--x x 的图象关于点(1，－1)_对称.解： y =12--x x =－1＋11-x ,y =12--x x 的图象是由y =x1的图象先右移1个单位，再下移1个单位而得到，故对称点为(1，－1). 三.例题精讲：例1.(1)函数y=||x xax(0＜a ＜1)的图象的大致形状是 （ D ）(2).（2009·郑州模拟）定义运算,)()(⎩⎨⎧>≤=⊗b a bb a a b a 则函数f(x)=x21⊗的图象是 ( A )(3).已知函数y=f(x)的图象如图①所示，y=g(x)的图象如图②所示，则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是图中的（ C ）例2. 作出下列函数的图象.（1）.f (x )＝x 2－2|x |＋1 （2）f (x )＝x 2－2|x |＋1（3）f (x )＝|x 2－1|（4）f (x )＝ x 2＋2x ＋1 （5）y=112--x x ; （6）y=)21(|x|. （7）（2）y=|log 21（1-x ）|； (8)y=21(lgx+|lgx|);例3.（1）定义在R 上的函数y =f (x )、y =f (－x )、y =－f (x )、y =－f (－x )的图象重合，它们的值域为__{0}. 【解析】 函数y =f (x )与y =f (－x )的图象重合，说明函数y =f (x )的图象关于y 轴对称；y =f (x )与y =－f (x )图象重合，说明y =f (x )的图象关于x 轴对称；y =f (x )与y =－f (－x )的图象重合，说明y =f (x )的图象关于原点对称.即若y =f (x )上任一点(x ,y ),则也有点(－x ,y )、(x ,－y )、(－x ,－y );根据函数的定义，对于任一x ∈R,只能有惟一的y 与之对应，从而y =－y ,即y =0，故函数的值域为{0}.（2）已知函数f (x )定义域为R ，则下列命题中①y =f (x )为偶函数，则y =f (x ＋2)的图象关于y 轴对称. ②y =f (x ＋2)为偶函数，则y =f (x )关于直线x =2对称.③若f (x －2)=f (2－x ),则y =f (x )关于直线x =2对称.④y =f (x —2)和y =f (2－x )的图象关于x =2对称.其中正确命题序号有_②④_(填上所有正确命题序号).【解析】 ①y =f (x )是偶函数，而f (x ＋2)是将f (x )的图象向左平移2个单位得到的，则对称轴左移2个单位为x =－2,所以f (x ＋2)图象关于直线x =－2对称.②y =f (x ＋2)为偶函数，则f (x ＋2)=f (2－x ),所以y =f (x )图象关于直线x =2对称. ③令x －2=t ,则2－x =－t ,得f (t )=f (－t ),y =f (x )的图象关于y 轴对称.④f (x )与f (－x )的图象关于y 轴对称，将f (x )与f (－x )的图象分别向右平移2个单位， 分别得到f (x －2)与f (2－x )的图象，对称轴右移2个单位为直线x =2. 例4.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)=－f (x ),又当－1≤x ≤1时，f(x)=x 3. (1)证明直线x =1是函数f (x )的图象的一条对称轴；(2)当x ∈［1,5］时，求f (x )的解析式. 【解】 (1)设(x 0,y 0)是f (x )的图象上任意一点，它关于x =1对称的点为(x 1,y 1),则y 0=y 1,x 0=2－x 1,∴y 1=f (2－x 1)=－f (－x 1)=f (x 1)∴(x 1,y 1)也在y =f (x )的图象上，命题成立.(2)∵f (x )的图象关于x =1对称，故当1≤x ≤3时，f (x )=(2－x )3又当3<x ≤5时，－1<x －4≤1,此时f (x )=(x －4)3∴f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-)53(,)4()31(,)2(33x x x x 例5.设函数f(x)=x 2-2|x|-1 (-3≤x ≤3).（1）证明：f(x)是偶函数； （2）画出函数的图象； （3）指出函数f(x)的单调区间； （4）求函数的值域.（1）证明 f(-x)=(-x)2-2|-x|-1 =x 2-2|x|-1=f(x), 即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.（2）解 当x ≥0时，f(x)=x 2-2x-1=(x-1)2-2,当x ＜0时，f(x)=x 2+2x-1=(x+1)2-2, 即f(x)=,)03(2)1()30(2)1(22⎩⎨⎧<≤--+≤≤--x x x x根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图所示. （3）解 函数f(x)的单调区间为［-3，-1），［-1，0），［0，1），［1，3］. f （x ）在区间［-3，-1）和［0，1）上为减函数，在［-1，0），［1，3］上为增函数. （4）解 当x ≥0时，函数f(x)=(x-1)2-2的最小值为-2,最大值为f(3)=2;当x ＜0时，函数f(x)=(x+1)2-2的最小值为-2, 最大值为f(-3)=2; 故函数f(x)的值域为［-2，2］.例6.作函数y ＝x ＋ 1x 的图象. 扩展：y ＝a x ＋ bx（a ＞0，b ＞0）的图像.例7.（1）已知函数y=f(x)的定义域为R ，且当x ∈R 时f(m+x)=f(m-x)恒成立. 求证：y=f(x)的图象关于直线x=m 对称；（2）若函数y=log 2|ax-1|的图象的对称轴是x=2,求非零实数a 的值. （1）证明 设P （x 0,y 0）是y=f(x)图象上任意一点，则y 0=f(x 0).又设P 点关于x=m 的对称点为P ′，则P ′的坐标为（2m-x 0,y 0）.由已知f(m+x)=f(m-x), 得f(2m-x 0)=f ［m+(m-x 0)］=f ［m-(m-x 0)］ =f(x 0)=y 0.即),-(200y xm P '在y=f(x)图象上，∴y=f （x ）的图象关于直线x=m 对称.（2）解 ∵对定义域内的任意x,有f(2-x)=f(2+x)恒成立.∴|a （2-x ）-1|=|a （2+x ）-1|恒成立， 即|-ax+(2a-1)|=|ax+(2a-1)|恒成立. 又a ≠0,∴2a-1=0,得a=21.自我检测1.（2008·全国Ⅱ理，3）函数f(x)=x1-x 的图象关于 坐标原点对称2.作出下列函数的图象. （1）y=2-2x；（2）y=112+-x x . （3）y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 x ≤112（5－x ） 1＜x ≤34－x x ＞33.已知f(x)=[][],1,0,10,1,12⎩⎨⎧∈+-∈+x x x x 则f(x-1)的图象是4.若函数f(x)=3+log 2x 的图象与g(x)的图象关于 y=x 对称，则函数g(x)= 2x-35. 函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象如图,则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是 （ A ）6.设a ＞1,实数x,y 满足|x|-log a y1=0,则y 关于x 的函数的图象形状大致是 ( B )7.使log 2(-x)＜x+1成立的x 的取值范围是 . 答案 （-1，0）8.设f(x)是定义在R 上奇函数，在（0，21）上单调递减，且f(x)=f(-x-1).给出下列四个结论：①函数f(x)的图象关于直线x=21对称；②f(x)在(21,1)上单调递增；③对任意的x ∈Z ，都有f(x)=0；④函数y=f )2(x -π的图象是中心对称图形，且对称中心为()0,2π.其中正确命题的序号是 . 答案 ①②③④9.当x ∈(1,2)时,不等式(x-1)2＜log a x 恒成立,则a 的取值范围为 . 答案 (1,2］ 10.要得到)3lg(x y -=的图像，只需作x y lg =关于_y __轴对称的图像，再向__右__平移3个单位而得到11.函数()lg(2)1f x x x =⋅+-的图象与x 轴的交点个数有__2__个12.如若函数(21)y f x =-是偶函数，则函数(2)y f x =的对称轴方程是_12x =-__。
2020高中数学学考冲刺辅导第10讲 函数的图像
第10讲 函数的图像项目一 知识概要 1． 描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图像． 2． 图像变换(1)平移变换(2)对称变换 ①y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)．⑤y ＝f (x )――→保留x 轴上方图像将x 轴下方图像翻折上去y ＝|f (x )|. ⑥y ＝f (x )――→保留y 轴右边图像，并作其关于y 轴对称的图像y ＝f (|x |)． (3)伸缩变换项目二 例题精讲任务一 作函数的图像问题【例1】 分别画出下列函数的图像：(1)y ＝|lg x |； (2)y ＝2x ＋2； (3)y ＝x 2－2|x |－1; (4)y ＝x ＋2x －1. 分析 根据一些常见函数的图像，通过平移、对称等变换可以作出函数图像． 解析 (1)y ＝⎩⎨⎧lg x x ≥1－lg x0<x <1图像如图①.(2)将y ＝2x 的图像向左平移2个单位．图像如图②.(3)y ＝⎩⎨⎧x 2－2x －1x ≥0x 2＋2x －1 x <0.图像如图③.(4)因y ＝1＋3x －1，先作出y ＝3x的图像，将其图像向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y ＝x ＋2x －1的图像，如图④.评注 (1)常见的几种函数图像如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋m x(m >0)的函数是图像变换的基础；(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换等常用方法技巧，可以帮助我们简化作图过程． 任务二 识图与辨图问题【例2】 (1)函数y ＝x 33x －1的图像大致是( )(2)已知f (x )＝⎩⎨⎧－2x1≤x ≤0x 0<x ≤1，则下列函数的图像错误的是( )分析 (1)根据函数的定义域，特殊点和函数值的符号判断； (2)正确把握图像变换的特征，结合f (x )的图像辨识． 答案 (1)C (2)D解析 (1)由3x－1≠0得x ≠0，∴函数y ＝x 33x －1的定义域为{x |x ≠0}，可排除选项A ；当x ＝－1时，y ＝1313－1＝32>0，可排除选项B ；当x ＝2时，y ＝1，当x ＝4时，y ＝6480，但从选项D 的函数图像可以看出函数在(0，＋∞)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除选项D.故选C.(2)先在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的图像，再将函数y ＝f (x )的图像向右平移1个单位长度即可得到y ＝f (x －1)的图像，因此A 正确；作函数y ＝f (x )的图像关于y 轴的对称图形，即可得到y ＝f (－x )的图像，因此B 正确；y ＝f (x )的值域是[0,2]，因此y ＝|f (x )|的图像与y ＝f (x )的图像重合，C 正确；y ＝f (|x |)的定义域是[－1,1]，且是一个偶函数，当0≤x ≤1时，y ＝f (|x |)＝x ，相应这部分图像不是一条线段，因此选项D 不正确． 综上所述，选D.评注 函数图像的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性； (4)从函数的周期性，判断图像的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图像． 任务三 函数图像的应用问题【例3】 (1)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( ) A ．(0，22) B ．(22，1) C ．(1，2)D ．(2，2)(2)函数f (x )＝2ln x 的图像与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图像的交点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0分析 (1)可以通过函数y ＝4x 和y ＝log a x 图像的位置、特征确定a 的范围； (2)画两函数图像、观察即可． 答案 (1)B (2)B解析 (1)方法一 ∵0<x ≤12，∴1<4x ≤2，∴log a x >4x >1，∴0<a <1. 令f (x )＝4x ，g (x )＝log a x ，当x ＝12时，f (12)＝2.(如图)而g (12)＝log a 12＝2，∴a ＝22.又∵g (x )＝log a x ，x 0∈(0,1)，a 1，a 2∈(0,1)且a 1<a 2时，log a 2x 0>log a 1x 0， ∴要使当0<x ≤12时，4x <log a x 成立，需22<a <1.故选B. 方法二 ∵0<x ≤12，∴1<4x ≤2，∴log a x >4x >1，∴0<a <1，排除答案C ，D ；取a ＝12，x ＝12，则有421＝2，log 2112＝1，显然4x <log a x 不成立，排除答案A ；故选B.(2)画出两个函数f (x )，g (x )的图像，由图知f (x )，g (x )的图像的交点个数为2.思维升华 (1)根据函数图像，可以比较函数值大小，确定参数范围； (2)利用函数图像，可以解决一些形如f (x )＝g (x )方程的解或函数零点问题． 任务四 函数图像的综合问题【例4】 (1)若函数y ＝f (x )的图像如图所示，则函数y ＝－f (x ＋1)的图像大致为( )分析 从y ＝f (x )的图像可先得到y ＝－f (x )的图像，再得y ＝－f (x ＋1)的图像．解析 要想由y ＝f (x )的图像得到y ＝－f (x ＋1)的图像，需要先将y ＝f (x )的图像关于x 轴对称得到y ＝－f (x )的图像，然后再向左平移一个单位得到y ＝－f (x ＋1)的图像，根据上述步骤可知C 正确． 答案 C评注 对图像的变换问题，从f (x )到f (ax ＋b )，可以先进行平移变换，也可以先进行伸缩变换，要注意变换过程中两者的区别．图像变换也可利用特征点的变换进行确定．(2)已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图像与函数y ＝kx －2的图像恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．分析 先作函数y ＝|x 2－1|x －1的图像，然后利用函数y ＝kx －2图像过(0，－2)以及与y ＝|x 2－1|x －1图像两个交点确定k 的范围．解析 根据绝对值的意义，y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎨⎧x ＋1x >1或x <－1－x －11≤x <1.在直角坐标系中作出该函数的图像，如图中实线所示．根据图像可 知，当0<k <1或1<k <4时有两个交点． 答案 (0,1)∪(1,4)评注 (1)本题求解利用了数形结合的思想，数形结合的思想包括“以形助数”或“以数辅形”两个方面，本题属于“以形助数”，是指把某些抽象的问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，解释数学问题的本质．(2)利用函数图像也可以确定不等式解的情况，解题时可对方程或不等式适当变形，选择合适的函数进行作图.项目三感悟提高1．列表描点法是作函数图像的辅助手段，要作函数图像首先要明确函数图像的位置和形状：(1)可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等等；(2)可通过函数图像的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等；(3)可通过方程的同解变形，如作函数y＝1－x2的图像．2．合理处理识图题与用图题(1)识图对于给定函数的图像，要从图像的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图像与函数解析式中参数的关系．(2)用图函数图像形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．常用函数图像研究含参数的方程或不等式解集的情况．项目四冲刺必练A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1．函数y＝ln(1－x)的大致图像为( )答案 C解析将函数y＝ln x的图像关于y轴对折，得到y＝ln(－x)的图像，再向右平移1个单位即得y＝ln(1－x)的图像．故选C.2．函数y＝5x与函数y＝－15x的图像关于( )A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称D．直线y＝x对称答案 C解析y＝－15x＝－5－x，可将函数y＝5x中的x，y分别换成－x，－y得到，故两者图像关于原点对称．3．若log a2<0(a>0，且a≠1)，则函数f(x)＝log a(x＋1)的图像大致是( )答案 B解析∵log a2<0，∴0<a<1，由f(x)＝log a(x＋1)单调性可知A、D错误，再由定义域知B选项正确．4．为了得到函数y＝lg x＋310的图像，只需把函数y＝lg x的图像上所有的点( )A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度答案 C解析y＝lg x＋310＝lg(x＋3)－1，将y＝lg x的图像向左平移3个单位长度得到y＝lg(x＋3)的图像，再向下平移1个单位长度，得到y＝lg(x＋3)－1的图像．5．使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是( )A．(－1,0) B．[－1,0)C．(－2,0) D．[－2,0)答案 A解析在同一坐标系内作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图像，知满足条件的x ∈(－1,0)，故选A.6．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)C．(－1，＋∞) D．[－1，＋∞)答案 D解析如图所示，要使f(x)≥g(x)恒成立，则－a≤1，∴a≥－1.二、填空题7．已知f(x)＝(13)x，若f(x)的图像关于直线x＝1对称的图像对应的函数为g(x)，则g(x)的表达式为____________．答案g(x)＝3x－2解析 设g (x )上的任意一点A (x ，y )，则该点关于直线x ＝1的对称点B 为B (2－x ，y )，而该点在f (x )的图像上． ∴y ＝(13)2－x＝3x －2，即g (x )＝3x －2.8． 用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为__________． 答案 6解析 f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)的图像如图． 令x ＋2＝10－x ， 得x ＝4.当x ＝4时，f (x )取最大值，f (4)＝6.9． 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ， x ≥2，x －13， x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．答案 (0,1)解析 画出分段函数f (x )的图像如图所示，结合图像可以看出，若f (x )＝k 有两个不同的实根，也即函数y ＝f (x )的图像与y ＝k 有两个不同的交点，k 的取值范围为(0,1)．10．若至少存在一个x>0，使得关于x 的不等式x 2<2－|x －a|恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案 (－2，94)解析 不等式等价为2－x 2>|x －a |，且2－x 2>0，在同一坐标系中画出y ＝2－x 2(y ≥0，x >0)和y ＝|x |两个函数的图像，将函数y ＝|x |的图像向左平移，当右支经过点(0，2)时，a ＝－2；将函数y ＝|x |的图像向右平移，当左支与抛物线y＝2－x 2(y ≥0，x >0)相切时，由⎩⎨⎧y ＝－（x －a ），y ＝2－x 2，得x 2－x ＋a －2＝0，由Δ＝0，解得a ＝94.三、解答题11． 已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0.(1)求实数m 的值； (2)作出函数f (x )的图像；(3)根据图像指出f (x )的单调递减区间；(4)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围． 解 (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4. (2)f (x )＝x |x －4| ＝⎩⎨⎧x x －4x －22－4，x ≥4，－x x －4x －22＋4，x <4.f (x )的图像如图所示： (3)f (x )的减区间是[2,4]．(4)从f (x )的图像可知，当a >4或a <0时，f (x )的图像与直线y＝a 只有一个交点，方程f (x )＝a 只有一个实数根，即a 的取值范围是(－∞，0)∪ (4，＋∞)．12． 已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，并对一切实数x ，都满足f (2＋x )＝f (2－x )．(1)证明：函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称； (2)若f (x )是偶函数，且x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1， 求x ∈[－4,0]时f (x )的表达式．(1)证明 设P (x 0，y 0)是函数y ＝f (x )图像上任一点，则y 0＝f (x 0)，点P 关于直线x ＝2的对称点为P ′(4－x 0，y 0)． 因为f (4－x 0)＝f [2＋(2－x 0)] ＝f [2－(2－x 0)]＝f (x 0)＝y 0，所以P ′也在y ＝f (x )的图像上，所以函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称． (2)解 当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]， 所以f (－x )＝－2x －1. 又因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝－2x －1，x ∈[－2,0]． 当x ∈[－4，－2]时，4＋x ∈[0,2]， 所以f (4＋x )＝2(4＋x )－1＝2x ＋7， 而f (4＋x )＝f (－x )＝f (x )， 所以f (x )＝2x ＋7，x ∈[－4，－2]． 所以f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋7，x ∈[－4，－2]，－2x －1，x ∈[－2，0].B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)1． 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是( )A ．f (x 1)＋f (x 2)<0B ．f (x 1)＋f (x 2)>0C ．f (x 1)－f (x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<0 答案 D 解析函数f (x )的图像如图所示：且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数．又0<|x 1|<|x 2|，∴f (x 2)>f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)<0.2． 函数y ＝11－x 的图像与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 D解析 令1－x ＝t ，则x ＝1－t .由－2≤x ≤4，知－2≤1－t ≤4，所以－3≤t ≤3. 又y ＝2sin πx ＝2sin π(1－t )＝2sin πt . 在同一坐标系下作出y ＝1t和y ＝2sin πt 的图像．由图可知两函数图像在[－3,3]上共有8个交点，且这8个交点两两关于原点对称．因此这8个交点的横坐标的和为0，即t 1＋t 2＋…＋t 8＝0. 也就是1－x 1＋1－x 2＋…＋1－x 8＝0， 因此x 1＋x 2＋…＋x 8＝8. 3． 若函数f (x )＝2－m xx 2＋m的图像如图，则m 的取值范围是________．答案 1<m <2解析 ∵函数的定义域为R ， ∴x 2＋m 恒不等于零，∴m >0. 由图像知，当x >0时，f (x )>0， ∴2－m >0⇒m <2.又∵在(0，＋∞)上函数f (x )在x ＝x 0(x 0>1)处取得最大值，而f (x )＝2－mx ＋m x，∴x 0＝m >1⇒m >1.综上，1<m <2.4．直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________．答案 1<a <54解析 y ＝⎩⎨⎧x 2－x ＋a ，x ≥0，x 2＋x ＋a ，x <0，作出图像，如图所示．此曲线与y 轴交于(0，a )点，最小值为a －14，要使y ＝1与其有四个交点，只需a －14<1<a ，∴1<a <54.5． 已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}．解 f (x )＝⎩⎨⎧x －22－1， x1]∪[3x －22＋1， x 1，3作出函数图像如图．(1)函数的增区间为[1,2]，[3，＋∞)； 函数的减区间为(－∞，1]，[2,3]．(2)在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝m 的图像，使两函数图像有四个不同的交点(如图)．由图知0<m <1，∴M ＝{m |0<m <1}． 6．已知函数f(x)＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M ＝{m|使方程f(x)＝mx 有四个不相等的实根}．解：f (x )＝⎩⎨⎧（x －2）2－1，x ∈（－∞，1]∪[3，＋∞），－（x －2）2＋1，x ∈（1，3），作出图像如图所示．(1)由图易知函数f(x)的单调递增区间为(1，2]，(3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1]，(2，3]．(2)由图像可知，当y＝f(x)与y＝mx的图像有四个不同的交点时，直线y＝mx应介于x轴与切线l1之间．设切线l1的方程为y＝nx，则⎩⎨⎧y＝nx，y＝－（x－2）2＋1⇒x2＋(n－4)x＋3＝0，由Δ＝0，得n＝4±2 3.当n＝4＋2 3时，x＝－3∉(1，3)，舍去，所以m＝4－2 3，故切线l1的方程为y＝(4－2 3)x.所以m∈(0，4－2 3)，即集合M＝{m|0<m<4－2 3}．。
第10讲一次函数的图像和性质
2．求图象经过点(2，－1)，且与直线 y＝2x＋1 平行的一次函 数的表达式．
[解析] 图象与y＝2x＋1平行的函数的解析式的一次项系数为2， 则可设此表达式为y＝2x＋b，再将点(2，－1)代入，求出b即可．
解：由题意可设所求函数表达式为y＝2x＋b， ∵图象经过点(2，－1)， ∴－1＝2×2＋b. ∴b＝－5， ∴所求一次函数的表达式为y＝2x－5.
3.若直线 y＝－2x－4 与 y＝4x＋b 的交点在第三象限，则 b 的取
值范围是( A )
A．－4＜b＜8
B．－4＜b＜0
C．b＜－4 或 b＞8
D．－4≤b≤8
4.已知一次函数的图象过点(3，5)与(－4，－9)，则该函数的图象
与 y 轴交点的坐标为___(0_，__－__1．)
5.已知一次函数 y＝2x－6 与 y＝－x＋3 的图象交于点 P，则点 P
性 质
与方程和不 等式的关系
知识点过关---相关概念
1.对于函数y＝(m－4)x＋(m2－16)，当m＝__－__4____时， 它是正比例函数；当m_≠__4_____时，它是一次函数．
2．定义[p，q]为一次函数y＝px＋q的特征数．若特征数 是[2，k－2]的一次函数为正比例函数，则k的值是_____2___．
4.下列图象中不可能是一次函数 y＝mx－(m－3)的图象的是( C )
5.若直线 y＝mx－2m－3 经过第二、三、四象限，则 m 的取值范围
是( B )
A．m<32
B．－32<m<0 C．m>32
D．m>0
知识点过关---待定系数法
1.在直角坐标系 xOy 中，直线 l 过(1，3)和(3，1)两点，且 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点．
第10讲 指数运算与指数函数
指数运算与指数函数1、 理解根式、分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质．2、 掌握指数函数的概念、图像和性质。
一、有理数指数幂及运算性质 1、有理数指数幂的分类（1）正整数指数幂()n n a a a a a n N *=⋅⋅⋅⋅∈个；（2）零指数幂)0(10≠=a a ； （3）负整数指数幂()10,n n a a n N a-*=≠∈ （4）0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义。
2、有理数指数幂的性质 （1）()0,,mn m n aa a a m n Q +=>∈（2）()()0,,nm mn a a a m n Q =>∈（3）()()0,0,mm m ab a b a b m Q =>>∈二、根式1、根式的定义：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中()*∈>Nn n ,1，na 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫被开方数。
2（1）n N ∈，且1n >；（2）当n 是奇数，则a a nn=；当n 是偶数，则⎩⎨⎧<-≥==00a a a a a a nn；（3）负数没有偶次方根；（4）零的任何次方根都是零。
3、规定： （1）()0,,,1mn m n a a a m n N n *=>∈>； （2）()10,,,1m nm nmnaa m n N n a a-*==>∈>三、对指数函数定义的理解一般地，函数)10(≠>=a a a y x且叫做指数函数。
1、定义域是R 。
因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数，所以在0a >的前提下，x 可以是任意实数。
2、规定0a >,且1a ≠的理由：（1）若0a =，000xxx a x a ⎧>⎪⎨≤⎪⎩当时，恒等于；当时，无意义。
（2）若0a <， 如(2)xy =-，当14x =、12等时，在实数范围内函数值不存在。
第10讲 二次函数的图像与性质--基础版
第10讲函数的图象及其性质知识点1二次函数的定义与列二次函数关系式一般地，形如(a、b、c是常数，)的函数叫做x的二次函数. 其中：x的最高次数为2且a≠0。
【典例】1.下列函数中，其中是以x为自变量的二次函数是（）A. y=x（x﹣3）B. y=（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2C. y=x2+D. y=2.函数y=（a﹣1）x+x﹣3是二次函数时，则a的值是______3.下列关系中，是二次函数关系的是（）A. 当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系B. 在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系C. 圆的面积S与圆的半径r之间的关系D. 正方形的周长C与边长a之间的关系【方法总结】1.本知识点需要掌握：（1）知道二次函数的一般表达式.（2）会利用二次函数的概念分析解题.2.注意：“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。
“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在一定范围内任意取值。
在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。
从函数的定义也可看出二者的差别。
3. 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．【随堂练习】1．（2018•南关区校级一模）若y=（m+2）x+3x﹣2是二次函数，则m的值是____．2．（2017秋•颍泉区校级月考）已知函数y=（m2﹣m）x2+mx+（m+1），m是常数．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，求m的值．知识点2二次函数图象与基本性质1.2.二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=， 3.二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.4. 二次函数2y ax bx c =++的性质（1）当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a=-时，y 有最小值244ac b a-． （2） 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a=-时，y 有最大值244ac b a-． 【典例】1.用配方法将二次函数y=x 2﹣8x ﹣9化为y=a （x ﹣h ）2+k 的形式为_______2.下列关于抛物线y=（x+2）2+6的说法，正确的是（ ）A. 抛物线开口向下B. 抛物线的顶点坐标为（2，6）C. 抛物线的对称轴是直线x=6D. 抛物线经过点（0，10）【方法总结】1. 把一般形式化成顶点式有利于思考2. 顶点式令(x-h)²中x-h=0，x=h,即顶点的横坐标，例y=（x+2）²顶点坐标,x+2=0推出x=-2,y=0,顶点坐标为（-2，0）.【随堂练习】1（2018•松江区一模）我们定义：关于x 的函数y=ax 2+bx 与y=bx 2+ax （其中a≠b ）叫做互为交换函数．如y=3x2+4x与y=4x2+3x是互为交换函数．如果函数y=2x2+bx 与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，那么b=____．2．（2018•陵城区二模）如图，抛物线y=ax2+1与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y=4x2于点B、C，则线段BC的长为____．3．（2018•黄浦区一模）用配方法把二次函数y=﹣2x2+6x+4化为y=a（x+m）2+k 的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．知识点3 二次函数图象与系数之间的关系二次函数y= ax2+bx+c的图象与字母系数之间的关系：a:开口方向向上则a>0,向下则a<0 ｜a｜越大，开口越小；b:对称轴位置，与a联系一起，用“左同右异”判断，b=0时，对称轴是y轴；c:与y轴的交点：交点在y轴正半轴上，则c>0；负半轴上则c<0；当c=0时，抛物点过原点。
高考数学(文科)复习第二单元 第10讲 函数的图像
=ln13+sin12=sin12-ln
3<0,故排除选项
A.故选
B.
课堂考点探究
[总结反思] 利用性质识别函数图像是辨图的主要方法,采用的性质主要是定义域、值 域、函数整体的奇偶性、函数局部的单调性等.当然,对于一些更为复杂的函数图像的判 断,还可能与特殊点法结合起来使用.
课堂考点探究
考向3 图像变换法
2.【考向 1】[2018·广西陆川模拟] 函数 f(x)=������22+������ 1的图像 大致是 ( )
[答案] A [解析] f(x)=������22+������ 1,当 x=0 时,f(0)=0,排除选项 D;当 x>0
时,f(x)>0,排除选项 B,C.故选 A.
图 2-10-7
课前双基巩固 对点演练
1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)将函数 y=f(-x)的图像向右平移 1 个单位长度得到函数
y=f(-x-1)的图像. ( )
(2)函数
f(x)=
������-1 与
������-1
g(x)=
������-1的图像相同.
(
)
(3)若函数 f(x)满足 f(x+a)=f(a-x),则函数 f(x)图像的对称轴
图 2-10-2
课堂考点探究
例 2 [2019·合肥调研] 函数 f(x)=x3+ln( ������2 + 1-x)的 图像大致为 ( )
图 2-10-2
[答案] B [解析] 由题 意,f(-x)=(-x)3+ln( ������2 + 1+x)=-f(x), 所以函数 f(x)是奇函数.又 f(1)=1+ln( 2-1)>0,f(2)=8+ln( 52)>0,故选 B.
第一轮复习10----函数的图像
图像应用
函数y | lg x | 的图像的交点共有（ ）个.
A.10
B.9
C.8
D.1
图像应用
| x 1 | 已知函数y 的图像与函数 y kx 2的图 x 1 像恰有两个交点，则实 数k的取值范围是____
2
0,1 1,4
2
D. y x 1 1
2
图像应用
2, x m 已知函数f x 2 的图像与直线 x 4 x 2, x m y x恰有三个公共点 , 则实数m的取值范围为（）
A. ,1
B.1,2C.1,2Fra bibliotekD.2,
图像应用
函数f x 2 ln x的图像与函数 g x x 4 x 5
1，平移变换 f x f x a ; f x f x a ; f x f x a; f x f x a; 2，对称变换 f x f x ; f x f x ; f x f x ; f x f 1 x ; 3，伸缩变换 f x f ax; f x f ax; f x Af x ; f x Af x ; 4，翻折变换 f x f | x |; f x | f x |;
2
的图像的交点个数为（ ）
A.3
B.2
C.1
D.0
图像应用
直线y 1与曲线y x 2 | x | a有4个交点，则 a的取值范围是__________ _______
已知函数y f x 的周期为2，当x 1,1 时，f x x , 那么函数y f x 的图像与
x 1
C.e
x 1
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真题在线
2．[2015·安徽卷] 在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 y＝2a 与函数 y＝|x－a|－1 的图像只有一个交点，则 a 的值为________．
[答案] －12
[解析] 依题意，在同一坐标 系中作出直线 y＝2a 与函数 y＝|x－a|－1 的图像如图，由 图像得，2a＝－1，即 a＝－
类型
数
变换方法
变换后函数
伸缩 变换
翻折 变换
y＝f(x) 的
a>1，横坐标缩短为原来的，纵坐标不变；0<a<1， 横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变
y＝___f(_a_x_)__的图像
图像
a>1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变； 0<a<1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变
y＝___a_f_(x_)__的图像
性的，结合图像可知选 B.
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3．[2011·课标全国卷] 已知函数 y＝f(x)的 周期为 2，当 x∈[－1，1]时 f(x)＝x2，那 么函数 y＝f(x)的图像与函数 y＝|lg x|的图 像的交点共有( ) A．10 个 B．9 个 C．8 个 D．1 个
[解析] A 由题意作出函数图像如图，由 图像知共有 10 个交点．
课堂考点探究
变式题 分别画出下列函数的图像： (1)y＝|x2－4x＋3|；(2)y＝2xx＋＋11；(3)y＝10|lg x|.
课堂考点探究
解：(1)先画函数 y＝x2－4x＋3 的图像，再将其 x 轴下方的图像翻折到 x 轴上方，如图①. (2)y＝2xx＋＋11＝2－x＋1 1，故该函数的图像可由 y＝－1x的图像向左平移 1 个单位，再向上平 移 2 个单位得到，如图②. (3)y＝10|lg x|＝x1x，，x0≥<x1<，1，其图像如图③所示．
1 2.
课前双基巩固
知识梳理
1．描点法作图 其基本步骤是列表、描点、连线，具体为： 首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、 周期性)； 其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)； 最后：描点、连线．
课前双基巩固
知识梳理
2．图像的变换
真题在线
2．[2015·全国卷Ⅱ] 如图 1-4，长方形 ABCD 的边 AB＝2，BC＝1，O 是 AB 的 中点．点 P 沿着边 BC，CD 与 DA 运动，记∠BOP＝x.将动点 P 到 A，B 两点距 离之和表示为 x 的函数 f(x)，则 y＝f(x)的图像大致为( )
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[解析] B 当 P 在 BC 边上时，PB＝OB·tan x＝tan x，PA＝ AB2＋PB2＝ tan2x＋4，所以
★☆☆
函数图像的应用
应用函数的图像求参 数
2013·新课标全国卷Ⅰ12， 2012·课标全国卷11
★★☆
真题在线
■ [2016－2011]课标全国真题再现
1．[2016·全国卷Ⅰ] 函数 y＝2x2－e|x|在[－2， 2]的图像大致为( )
[解析] D 易知该函数为偶函 数，只要考虑当 x≥0 时的情况 即可，此时 y＝f(x)＝2x2－ex，则 f′(x)＝4x－ex，f′(0)<0，f′(1)>0，f′(x) 在(0，1)上存在零点，即 f(x)在(0， 1)上存在极值，据此可知，只可 能为选项 B，D 中的图像．当 x ＝2 时，y＝8－e2<1，故选 D.
课堂考点探究
探究点二 识图与辨图
例 2 (1)[2016·全国卷Ⅰ] 函数 y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图像大致为( )
图 2-10-2
课堂考点探究
(2)已知 f(x)＝－x2，x，0<－x≤1≤1，x≤0，则下列函数的图像错误的是 ()
[思路点拨] (1)重点考查自变 量 2 的函数值以及 x∈[0，2] 时，函数的单调性；(2)作出 函数 y＝f(x)的图像，然后对 照选项中的图像，利用平移、
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4．[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知函数 f(x)＝－ ln（x2＋x＋21x，）x，≤x0＞，0.若|f(x)|≥ax，则 a 的 取值范围是( ) A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2，1] D．[－2，0]
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[解析] D 函数 y＝|f(x)|＝xln2－（2x＋x，1x）≤，0，x>0.在同一坐标系中画出 y＝|f(x)|，y＝ax 的图像如 图所示，问题等价于直线 y＝ax 不在函数 y＝|f(x)|图像的上方，显然 a>0 时，y＝ln(x＋1) 的图像不可能恒在直线 y＝ax 的上方，故 a≤0；由于直线 y＝ax 与曲线 y＝x2－2x 均过坐 标原点，所以满足条件的直线 y＝ax 的极端位置是曲线 y＝x2－2x 在点(0，0)处的切线，y′ ＝2x－2，当 x＝0 时 y′＝－2.所以－2≤a≤0.
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■ [2016－2015]其他省份类似高考真题
1．[2015·浙江卷] 函数 f(x)＝x－1xcos x(－π≤x≤π 且 x≠0)的图像可能为( )
[解析] D y＝x－1x是奇函 数，y＝cos x 是偶函数，故 f(x)是奇函数，排除 A，B； 当 x＝π时，f(π)＝π1 －π<0， 排除 C，故选 D.
对点演练
题组二 常错题 ◆ 索引：图像平移的单位和方向．
5．将函数 y＝f(－x)的图像向右平移 2 个单位得 到函数________的图像.
[答案] y＝f(－x＋2)
[解析] 将函数 y＝f(－x)的图像向右平 移 2 个单位得到函数 y＝f[－(x－2)]＝ f(－x＋2)的图像(注意平移方向)．
变换 变换前函数 类型
变换方法
变换后函数
平移变换
y＝f(x) 的图像
a>0，右移 a 个单位； a<0，左移|a|个单位
y＝__f(_x_－__a_)_的图像
b>0，上移 b 个单位；b<0， 下移|b|个单位
y＝_f_(_x_)＋__b__的图像
关于 x 轴对称
y＝__－__f_(x_)__的图像
Байду номын сангаас
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对点演练
6．把函数 y＝f(2x)的图像向左平移________ 个单位得到函数 y＝f(2x＋5)的图像．
[答案]
5 2
[解析] 因为 y＝f(2x＋5)＝f2x＋52，所
以把函数 y＝f(2x)的图像向左平移52个 单位可得到函数 y＝f(2x＋5)的图像．
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对点演练
题组二 常考题
课前双基巩固
对点演练
8．[2012·新课标全国卷Ⅱ改编] 当 0<x
≤
1 2
时
，
4x<logax
，
则
a
的取值范围是
________．
[答案]
0<a<
2 2
[解析] 由指数函数与对数函数的图像知
0<a<1， loga12>412，解得
0<a<
2 2.
课堂考点探究
探究点一 作函数的图像
例 1 分别画出下列函数的图像： (1)y＝|lg (x－1)|；(2)y＝2x＋1－1；(3)y＝x2－|x|－2.
[解析] y＝1ax＝a－x，故两个函数 的图像关于 y 轴，即直线 x＝0 对 称．
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对点演练
4．[教材改编] 函数 y＝f(x)的图像如图 2-10-1 所示，则函数的定义域是________．
[答案] (－3，－1]∪(0，2]
图 2-10-1
◆ 索引：图像平移的单位和方向．
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[思路点拨] (1)利用图像的平 移和翻折作图；(2)利用图像 的平移作图；(3)利用偶函数 的关系作图，先作 x≥0 时的 图像，再关于 y 轴对称作出 另一部分的图像．
课堂考点探究
解：(1)首先作出 y＝lg x 的图像 C1，然后将 C1 向右平移 1 个单位，得到 y＝lg(x－1)的图 像 C2，再把 C2 在 x 轴下方的图像作关于 x 轴对称的图像，即为所求图像 y＝|lg (x－1)| 的图像．如图①所示(实线部分)． (2)y＝2x＋1－1 的图像可由 y＝2x 的图像向左平移 1 个单位，得 y＝2x＋1 的图像，再向下平 移一个单位得到 y＝2x＋1－1 的图像，如图②所示． (3)y＝x2－|x|－2＝xx22－ ＋xx－ －22， ，xx≥ <00，，其图像如图③所示．
f(x)＝tan x＋
tan2x＋40≤x≤π4 ，显然
f(x)单调递增且是非线性的，当
ππ x＝ 4 时，f 4 ＝1＋
5.
ππ 当 P 位于 CD 中点时，x＝ 2 ，f 2 ＝PA＋PB＝2 2，所以可知当 P 从 B 运动到 C 时，f(x)
从 2 增到 1＋ 5，当 P 从 C 运动到 CD 中点时，f(x)从 1＋ 5减到 2 2，且增减都是非线
翻折等方式判断．
图 2-10-3
课堂考点探究
[答案] (1)D (2)D [解析] (1) 易知该函数为偶函数，只要考虑当 x≥0 时的情况即可，此时 y＝f(x)＝2x2－ex， 则 f′(x)＝4x－ex，f′(0)<0，f′(1)>0，f′(x)在(0，1)上存在零点，即 f(x)在(0，1)上存在极值， 据此可知，只可能为选项 B，D 中的图像．当 x＝2 时，y＝8－e2<1，故选 D.
y＝f(x) 的 图像
x轴下方部分翻折到上方，x轴及上方部分不变 y＝_y_＝__|_f(_x_)|_的图像
y轴右侧部分翻折到左侧，原y轴左侧部分去掉、右 侧不变
y＝_y_＝__f(_|x_|_)_的图像