13 多重线性回归与相关
线性回归与相关分析
线性回归与相关分析一、引言线性回归和相关分析是统计学中常用的两种数据分析方法。
线性回归用于建立两个或多个变量之间的线性关系，而相关分析则用于衡量变量之间的相关性。
本文将介绍线性回归和相关分析的基本原理、应用场景和计算方法。
二、线性回归线性回归是一种建立自变量和因变量之间线性关系的统计模型。
它的基本思想是通过找到最佳拟合直线来描述自变量与因变量之间的关系。
线性回归模型可以表示为：Y = β0 + β1X + ε，其中Y表示因变量，X表示自变量，β0和β1分别表示截距和斜率，ε表示误差项。
线性回归的目标是最小化观测值与模型预测值之间的差异，常用的优化方法是最小二乘法。
线性回归的应用场景非常广泛。
例如，我们可以利用线性回归来分析广告费用和销售额之间的关系，或者分析学生学习时间和考试成绩之间的关系。
线性回归还可以用于预测未来趋势。
通过建立一个合适的线性回归模型，我们可以根据历史数据来预测未来的销售额或者股票价格。
在计算线性回归模型时，我们首先需要收集相关的数据。
然后，可以使用统计软件或者编程语言如Python、R等来计算最佳拟合直线的参数。
通过计算截距和斜率，我们可以得到一个最佳拟合线，用于描述自变量和因变量之间的关系。
此外，我们还可以借助评价指标如R 平方来衡量模型的拟合程度。
三、相关分析相关分析是一种用于衡量两个变量之间相关性的统计方法。
它可以帮助我们判断变量之间的线性关系的强度和方向。
相关系数是表示相关性的一个指标，常用的相关系数有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
皮尔逊相关系数适用于测量两个连续变量之间的线性关系，其取值范围在-1到1之间。
当相关系数接近1时，表示两个变量呈正相关，即随着一个变量增加，另一个变量也增加。
当相关系数接近-1时，表示两个变量呈负相关，即随着一个变量增加，另一个变量减小。
当相关系数接近0时，表示两个变量之间没有线性关系。
斯皮尔曼相关系数适用于测量两个有序变量之间的单调关系，其取值范围也在-1到1之间。
13 多重线性回归与相关
第十三章 多重线性回归与相关[教学要求]了解： 多重共线性的概念及其对回归分析结果的影响；通径分析的基本过程及其应用。
熟悉：多重相关与回归分析的基本原理与方法。
掌握：掌握多重相关与回归分析结果的解释；相关、回归、简单相关、偏相关与复相关，简单回归、偏回归与全回归等概念。
[重点难点]第一节 多重线性回归的概念及其统计描述一、变量（Y ）关于k 个自变量()的多重线性回归的数学模型为：k X X X ,...,,21i ki k i i i X X X Y εββββ+++++=...22110。
实质是将每个Y 的观测值用该模型在最小残 差平方和的原则下进行分解。
二、标准回归系数为将各个变量按ii i i S X X X −=*变换后，再进行多重回归计算所得的 回归系数。
因为通过标准化过程消除了各个变量的计量单位不同对回归系数的影响， 所以各个标准回归系数的大小能直接反映该自变量对Y 变量的回归效应的大小。
三、多重回归分析的前提条件完全与简单线性回归相同：线性、独立、正态和等方差，即 LINE 。
第二节 多重线性回归的假设检验一、 整体回归效应的假设检验（方差分析）的原假设为H 0: 0...321=====k ββββ；其过程 是通过对Y 的总变异进行分解，用回归均方与残差均方的比值构造F 检验统计量，然后根 据相应的F 分布决定是否拒绝原假设。
二、偏回归系数的t 检验的的原假设为H 0: βi =0，即第i 个总体偏回归系数为零；其过程是 用第i 个偏回归系数的估计b i 与该偏回归系数的标准误之比值构造t 统计量：bi ibi S b t =然后根据相应的t 分布决定是否拒绝原假设。
第三节 复相关系数与偏相关系数一、 确定系数、复相关系数与调整确定系数1、复相关系数的平方称为确定系数（coefficient of determination）或决定系数，记为R 2，用以反映线性回归模型能在多大程度上解释反应变量Y 的变异性。
多重线性回归相关.ppt
标准化回归系数
因为m个自变量都具有各自的计量单位 以及不同的变异度，所以不能直接用偏 回归系数的数值大小来反映方程中各个 自变量对应变量Y的贡献大小。为此， 可计算标准化回归系数。
bi bi
lii SS总
＝bi
si sy
i 1,2,, m
（一）多元回归方程的假设检验 1. 建立假设和确定检验水准：
H0：β1=β2=β3…=βm＝0 H1：β1、β2、β3、…、βm不全为0 α=0.05
SS总＝
2
(Y Y )
(Yˆ
Y
2
)
(Y
Yˆ
2
)
＝SS回归＋SS 误差
SS回归＝ yˆ y 2 b1l1y b2l2y bmlmy
2658.95b1 277.30b2 91.28 277.30b1 836.70b2 147.49 解方程得：
b1 0.0546,b2 0.1944
b0 17.82 0.0546 44.05 0.1944 82.80 0.6815
2658.95b1 277.30b2 91.28 277.30b1 836.70b2 147.49 解方程得： b1 0.0546,b2 0.1944
R2称为决定系数，可定量评价y的总变 异能被自变量解释的比重。
偏相关系数
扣除其他变量的影响后，变量y与x的相 关，称为y与x的偏相关系数。 如：r12.3
在一个有统计学意义的方程中，可能某 些自变量对应变量影响较大，而另一些 影响很弱甚至完全没有意义。
为使回归方程中仅包含有意义的自变量， 有必要对偏回归系数作检验和进行自变 量筛选。
12章多重线性回归与相关
一、自变量筛选的标准与原则
2.残差均方缩小与调整决定系数增大 MS残=SS残/（n-p-1） MS残缩小的准则可以看做是在SS残缩小准则的基础上 增加了（n-p-1）-1因子，该因子随模型中自变量个数 p的增加而增加，体现了对模型中自变量个数增加而 施加的“惩罚”。 调整决定系数Ra2越大越好，与MS残等价。
包含汽车流量、气温、气湿与风速这四个自变量的回
归方程可解释交通点空气NO浓度变异性的78.74%
2.复相关系数R (multiple correlation coefficient)
定义为确定系数的算术平方根，
R SS回 SS总
表示变量Y与k个自变量的线性相关的密切程度。 对本例R=0.8837，表示交通点空气NO浓度与汽车流量、
表12-5 空气中NO浓度与各自变量的相关系数与偏相关系数
自变量 车流X1 相关系数 0.80800 偏相关系数 0.6920 偏相关系数P值 0.0005
气温X2
气湿X3 风速X4
0.1724
0.2754 -0.67957
0.47670
-0.00218 -0.59275
0.0289
0.9925 0.0046
第十二章
第一节 第二节 第三节 第四节
多重线性回归与相关
多重线性回归的概念与统计描述 多重线性回归的假设检验 复相关系数与偏相关系数 自变量筛选
一、整体回归效应的假设检验(方差分析)
表12-2 检验回归方程整体意义的方差分析表
变异来源 回归模型
残差 总变异
SS
0.0639 6 0.0172 7 0.0812 3
风速
(X4) 2.00 2.40 3.00 1.00 2.80 1.45 1.50 1.50 0.90 0.65 1.83 2.00
多元线性相关与回归分析
第三节 多元线性相关与回归分析一、标准的多元线性回归模型上一节介绍的一元线性回归分析所反映的是１个因变量与１个自变量之间的关系。
但是，在现实中，某一现象的变动常受多种现象变动的影响。
例如，消费除了受本期收入水平的影响外，还会受以往消费和收入水平的影响；一个工业企业利润额的大小除了与总产值多少有关外，还与成本、价格等有关。
这就是说，影响因变量的自变量通常不是一个，而是多个。
在许多场合，仅仅考虑单个变量是不够的，还需要就一个因变量与多个自变量的联系来进行考察，才能获得比较满意的结果。
这就产生了测定与分析多因素之间相关关系的问题。
研究在线性相关条件下，两个和两个以上自变量对一个因变量的数量变化关系，称为多元线性回归分析，表现这一数量关系的数学公式，称为多元线性回归模型。
多元线性回归模型是一元线性回归模型的扩展，其基本原理与一元线性回归模型相类似，只是在计算上比较麻烦一些而已。
限于本书的篇幅和程度，本节对于多元回归分析中与一元回归分析相类似的内容，仅给出必要的结论，不作进一步的论证。
只对某些多元回归分析所特有的问题作比较详细的说明。
多元线性回归模型总体回归函数的一般形式如下：t kt k t t u X X Y ++⋯++=βββ221 (7.51)上式假定因变量Y 与(k-1)个自变量之间的回归关系可以用线性函数来近似反映.式中，Y t 是变量Y 的第ｔ个观测值；X jt 是第j 个自变量X j 的第ｔ个观测值(j=1,2,……，k)；u t 是随机误差项；β1，β2，… ，βk 是总体回归系数。
βj 表示在其他自变量保持不变的情况下，自变量X j 变动一个单位所引起的因变量Y 平均变动的数额，因而又叫做偏回归系数。
该式中，总体回归系数是未知的，必须利用有关的样本观测值来进行估计。
假设已给出了ｎ个观测值，同时1ˆβ，2ˆβ…，k βˆ为总体回归系数的估计，则多元线性回归模型的样本回归函数如下：t kt k t t e X X Y ++⋯++=βββˆˆˆ221 (7.52) (t ＝1,2,…,n)式中，e t 是Y t 与其估计t Y ˆ之间的离差，即残差。
第13章 简单线性回归与相关
b ( X X )(Y Y ) lXY
(X X)2
l XX
a Y bX
§ （1）方差分析
§ 其原理与前面的单因素方差分析相同，统计量F
的计算公式为，
F
SS回归 / 回归 SS 残差 / 残差
MS回归 MS 残差
§ （2）t检验 § 检验统计量t的计算公式为，
t b0 Sb
§ 其中Sb为回归系数的标准误，
Sb
SYX l XX
§ 3.回归分析的统计预测 § 所谓预测就是将预报因子（自变量）代入回归
方程对预报量进行估计。
§ （1）总体均数的置信区间
§ 2.线性相关系数（ Pearson积矩相关系数） 线性相关，又称简单相关，用来定量描述两个变 量间线性关系密切程度和相关方向的统计指标 ，适用于二元正态分布资料。
相关系数的计算公式为：
r (X X )(Y Y ) ( X X )2 (Y Y )2
§ 相关系数的统计检验是计算t统计量，计算公式 为：
§ （6）分层资料盲目合并时易出现假象。
分析实例
§ 对某省9个地区水质的碘含量及其甲状腺肿的患 病率作调查后得到一组数据，如图所示，试分 析不同地区的甲状腺肿的患病率高低与本地区 水质的碘含量有无关联？数据文件见例13-1.sav 。
§利用散点图观察两变量之间有无相关趋势。
1.操作步骤与界面说明
§ 距离分析可以计算距离测量指标或者相似性测 量指标 。
§ 1.距离测量指标
§ （1）区间变量（连续变量）：默认为Euclidean 距离（欧氏距离） ；有Euclidean距离 、平方 Euclidean距离 、块等。
线性相关与回归(简单线性相关与回归、多重线性回归、Spearman等级相关)
（3）r与b的假设检验等价
4.相关与回归的区别和联系
（4） 可以用回归解释相关
r
2
SS回归 SS总
r2称为决定系数（coefficient of determination）, 其越接近于1，回归直线拟和的效果越好。
例1 为研究中年女性体重指数和收缩压的关系，随机测量 了16名40岁以上的女性的体重指数和收缩压（见数据文件 p237.sav）。
ˆ a bX Y
ˆ ：是Y（实测值）的预测值（predicted value）， Y
是直线上点的纵坐标。对于每一个X值，根据直线 回归方程都可以计算出相应的Y预测值。
（具体计算过程参见《卫生统计学》第4版）。
2.b和a的意义 a：是回归直线在Y轴上的截距，即X＝0时Y的预测值。 b：是回归直线的斜率，又称为回归系数。 表示当X改变一个单位时，Y的预测值平均改变|b| 个单位。 3.b和a的估计 最小二乘方法（the method of least squares）: 各实测点到直线的纵向距离的平方和最小。
|r|越大，两变量相关越密切（前提：r有统计学意义）
2.相关类型 正相关：0<r1
负相关-1r<0
2.相关类型 零相关 r =0
曲线相关
3.r的假设检验 r为样本相关系数，由于抽样误差，实际工作中r一般都 不为0。要判断两变量之间是否存在相关性，需要检验 总体相关系数是否为0。 H0：=0 H1： 0
关于独立性：
所有的观测值是相互独立的。如果受试对象仅被随机 观测一次，那么一般都会满足独立性的假定。但是出 现下列三种情况时，观测值不是相互独立的：时间序 列、重复测量等情况。
SPSS软件在“Linear Regression：Statistics”对话 框中，提供了Durbin-Watson统计量d，以检验自相 关系数是否为0。当d值接近于2，则残差之间是不相 关的。
多元线性回归与相关
Q (Yi Y i ) Yi b0 b1 xi1 b2 xi 2 bp xip min
i 1 i 1
(15 1)
浙江大学医学院流行病与卫生统计学教研室
沈毅
根据微积分知识，b0，b1，bp必须满足联立方程组：
Q Q Q 0, 0,, 0, b0 b1 bp
浙江大学医学院流行病与卫生统计学教研室
沈毅
在许多情况下需要比较各自变量对应变量的相对贡献大 小。但由于各自变量的测量单位不同，单从各偏回归系数的 绝对值大小来评价是不妥的，必须对各偏回归系数进行标准 化处理，即消除测量单位的影响后，才能进行比较。这种消
除测量单位影响后的偏回归系数称为标准化偏回归系数 b'j
吸烟：0为不吸，1为过去或现在吸烟。（见表15-1）
由表15-2可知有关参数估计值为：b0＝44.293，b1＝1.778，b2＝9.623。 b1＝1.778表示 40岁以上男性吸烟状态不变的条件下，年龄每增加五岁，收 缩压平均提高1.778mmHg；b2＝9.623表示年龄不变的条件下，吸烟者与不 吸烟者相比，收缩压平均提高 9.623 mmHg。于是得到回归方程：
浙江大学医学院流行病与卫生统计学教研室
沈毅
二、偏回归系数的假设检验 在多元线性回归模型中，线性回归方程有统计学意义， 并不说明所有βj均不等于零。为了检验每个自变量是否与Y
都有线性回归关系，需分别对每个自变量Xj或相应的偏回
归系数bj进行假设检验，以免把无统计学意义的自变量引 入回归方程。所用检验方法有F检验法与t检验法，这两者 的检验结果是一致的。
α(p，n-
p-1)，则在α水准上拒绝H0，认为p个自变量X中至少有一个与应变量
线性回归与相关分析在统计学中的应用
线性回归与相关分析在统计学中的应用统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科，其中线性回归和相关分析是常用的分析方法之一。
线性回归是一种用于描述两个或多个变量之间关系的统计模型，而相关分析则衡量两个变量之间的相关性程度。
本文将探讨线性回归和相关分析在统计学中的应用。
一、线性回归分析在统计学中，线性回归分析是一种用于研究两个变量之间线性关系的方法。
线性回归的基本思想是根据已观察到的数据点，拟合出一个直线模型，使得观测值与模型预测值的差异最小化。
线性回归的应用非常广泛。
首先，它可以用于预测和预测分析。
通过使用线性回归模型，我们可以根据已知数据来预测未知数据的取值。
例如，我们可以根据房屋的面积、地理位置和其他因素，建立一个线性回归模型，从而预测房屋的价格。
其次，线性回归可用于找到变量之间的因果关系。
通过分析变量之间的线性关系，我们可以确定一个变量对另一个变量的影响程度。
这在社会科学研究中特别有用，例如经济学、社会学和心理学等领域。
最后，线性回归还可以用于模型评估。
我们可以使用线性回归模型来评估实验数据和观测数据之间的拟合度。
通过比较模型中的预测值与实际观测值，我们可以了解模型对数据的拟合程度，从而对模型的有效性进行评估。
二、相关分析相关分析是统计学中另一个常用的方法，用于衡量两个变量之间的相关性程度。
通过计算相关系数，我们可以了解两个变量之间的线性关系强弱。
相关分析最常用的是皮尔逊相关系数。
该系数取值范围为-1到1，其中1表示两个变量完全正相关，-1表示两个变量完全负相关，0表示两个变量之间没有线性相关关系。
相关分析在实际中有着广泛的应用。
首先，它可以用于研究市场和经济的相关性。
通过分析不同经济指标之间的相关性，我们可以了解它们之间的关联程度，从而作出相应的决策和预测。
其次，相关分析也可用于医学和生物学研究。
例如，研究人员可以分析某种疾病与环境因素之间的相关性，以便找到疾病的诱因和风险因素。
最后，相关分析还可以用于社会科学和心理学研究。
多元线性回归与相关分析
一、 多元相关
多元相关或复相关(multiple correlation)：在
M=m+1个变数中，m个变数的综合和1个变数的相关。
偏相关(partial correlation)：在其余M-2个变数 皆固定时，指定的两个变数间的相关。
(一) 多元相关系数 在m个自变数和1个依变数的多元相关中，多元相关 系数记作 Ry12…m ，读作依变数y和m个自变数的多元 相关系数。 Ry12…m=
(108）
(二) 偏回归关系的假设测验
偏回归系数的假设测验，就是测验各个偏回归系数
bi(i=1，2,…，m)来自 β i =0的总体的概率，所作的
假设为H0： =0对HA： ≠0，测验方法有两种。 β β
i
i
1．t 测验
σb 20 V(b) = σ b1b0 σ b b 20
σb b 2 σb σb b
xm 不变(取常量)时x1 对y 的偏回归系数(partial
regression coefficient) 。
(二) 多元回归统计数的计算
(102) 用矩阵表示为：
即
y1 1 y2 1 = yn 1
x11 x12 x1n
x m1 b0 x m 2 b1 + x mn bm
1
0 1
2 1
σbb σbb 2 σb
2
0 2
1 2
c11 1 2 = ( X ′ X) s y/x = c 21 c 31
c12 c 22 c 32
c13 2 c 23 s y/123 (109) c 33
s bi =sy/12…m
bi β i t= s bi
c(i +1)(i +1)
相关系数与线性回归分析
相关系数与线性回归分析相关系数和线性回归分析是统计学中常用的方法，用于研究变量之间的关系和进行预测分析。
本文将介绍相关系数和线性回归分析的概念、计算方法和应用场景。
一、相关系数相关系数是用来衡量两个变量之间的相关性强弱的统计指标。
它的取值范围是-1到1之间，值越接近于1或-1，表示两个变量之间的相关性越强；值越接近于0，则表示两个变量之间的相关性越弱。
计算相关系数的方法有多种，常见的是皮尔逊相关系数。
它可以通过协方差和两个变量的标准差来计算。
具体公式如下：r = Cov(X,Y) / (σX *σY)其中，r表示相关系数，Cov(X,Y)表示变量X和Y的协方差，σX和σY分别表示变量X和Y的标准差。
相关系数的应用非常广泛。
例如，在金融领域，相关系数可以用来研究股票之间的关联程度，有助于投资者进行风险分析和资产配置；在医学领域，相关系数可以用来研究疾病因素之间的关系，帮助医生进行诊断和治疗决策。
二、线性回归分析线性回归分析是一种用来研究自变量与因变量之间关系的统计方法。
它通过建立一个线性方程，来描述自变量对因变量的影响程度和方向。
线性回归模型可以通过最小二乘法来估计模型参数。
最小二乘法的基本思想是通过使模型预测值与实际观测值的残差平方和最小化来确定模型参数。
具体公式如下：Y = β0 + β1*X + ε其中，Y表示因变量，X表示自变量，β0和β1表示模型的参数，ε表示误差项。
线性回归分析常用于预测和解释变量之间的关系。
例如，在市场营销中，可以通过线性回归分析来预测产品销售量与价格、广告投入等因素的关系；在经济学中，可以利用线性回归模型来研究GDP与就业率、通货膨胀率等经济指标之间的关系。
三、相关系数与线性回归分析的关系相关系数和线性回归分析常常一起使用，因为它们有着密切的关联。
相关系数可以用来衡量两个变量之间的相关性强弱，而线性回归分析则可以进一步分析两个变量之间的因果关系。
在线性回归分析中，相关系数经常作为检验模型是否适用的依据之一。
12多元线性回归与相关分析
12多元线性回归与相关分析多元线性回归和相关分析是统计学中常用的分析方法，用于了解多个自变量与一个因变量之间的关系。
本文将从两个方面对多元线性回归和相关分析进行详细介绍。
一、多元线性回归多元线性回归是一种通过建立多个自变量与一个因变量之间的线性关系模型，来预测和解释因变量变化的方法。
它的基本模型可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε，其中Y是因变量，X1，X2到Xn是自变量，β0，β1到βn是回归系数，ε是误差项。
多元线性回归通过最小二乘法估计回归系数，即通过求解使得误差平方和最小的参数估计值。
利用这些参数，可以对新的自变量值进行预测，从而实现预测和解释因变量的目的。
多元线性回归的优点包括：1.可以同时考虑多个自变量对因变量的影响，从而提供更为全面的解释和预测能力。
2.可以通过回归系数的显著性检验，判断每个自变量的重要性。
3.可以检验回归模型的整体拟合程度。
然而，多元线性回归也有一些注意事项：1.自变量之间应该是独立的，不存在多重共线性，否则会影响参数估计的准确性。
2.残差应该满足正态分布和同方差性的假设，否则会影响回归系数的显著性检验和预测的准确性。
二、相关分析相关分析是一种用于研究两个变量之间关系的统计方法。
它可以通过计算相关系数来衡量两个变量之间的线性相关程度，常用的相关系数有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
皮尔逊相关系数适用于两个变量都是连续型变量且满足正态分布的情况，其取值范围在-1到1之间，代表着两个变量之间的相关程度。
当相关系数接近1时，表示两个变量正相关；当相关系数接近-1时，表示两个变量负相关；当相关系数接近0时，表示两个变量之间没有线性相关关系。
斯皮尔曼相关系数适用于两个变量至少其中一个是有序变量或两个变量不满足正态分布的情况。
与皮尔逊相关系数不同，斯皮尔曼相关系数基于两个变量的秩次，而不是实际的变量值。
它可以用来研究两个变量之间的非线性关系。
相关分析的应用主要有：1.了解两个变量之间的关系：通过计算和解释相关系数，可以得出两个变量之间的相关程度以及相关的方向。
多重线性回归与相关
样本的多重线性回归方程：
Y ˆ b 0 b 1 x 1 b 2 x 2 b 3 x 3 . .b .p x p
标准化偏回归系数（standardized partial regression coefficient）:
第13章 多重线性回归与相关
(multiple linear regression & multiple correlation)
多元线性回归的应用
1. 影响因素分析 例如影响高血压的因素可能有年龄、饮食习惯、 吸烟状况、工作紧张度和家族史等，在影响 高血压的众多可疑因素中，需要研究哪些因 素有影响，哪些因素影响较大。
量的影响大小，标准化回归系数越大， 软件包
(1)求偏回归系数b0,b1,b2, ,bk
建立回归方程(样本)
一
般 步
Y ˆ b 0 b 1 X 1 b 2 X 2 b kX k
骤
(2)检验并评价回归方程 及各自变量的作用大小
第二节 多重线性回归的假设检验
一、 回归方程的假设检验——方差分析法：
H0 : 1 2 k 0 ， H1 : 各（j j=1,2,,k)不全为 0，
0.05
S总 SS回 SS残 S
FSS残S（ /S回 n/kk1)M MSS回 残
F~F(k,nk1)
多元线性回归方差分析表 ( 0.05)
变异来源 自由度 SS
MS
➢ 条件：Y与X呈线性关系；各个体观测资料彼此独立； 各X处的Y呈正态分布；不同X处Y的方差相等。
第一节 多重线性回归的概念与统计描述
第十三章 多重线性回归分析
第十三章多重线性回归分析习题一、是非题1．当一组资料的自变量为分类变量时，对这组资料不能做多重线性回归分析. ( )2．若多重线性方程模型有意义．则各个偏回归系数也均有统计学意义. 〔)3．回归模型变量的正确选择在根本上依赖于所研究问题本身的专业知识.（）4.从各自变量偏回归系数的大小．可以反映出各自变量对应变量单位变化贡献的大小. ( )5.在多元回归中，若对某个自变量的值都增加一个常数，则相应的偏回归系数不变. ( )二、选择题1. 多重线性回归分析中，共线性是指（），导致的某一自变量对Y的作用可以由其他自变量的线性函数表示.A. 自变量相互之间存在高度相关关系B. 因变量与各个自变量的相关系数相同C. 因变量与自变量间有较高的复相关关系D. 因变量与各个自变量之间的回归系数相同2. 多重线性回归和Logistic 回归都可应用于（）.A. 预测自变量B. 预测因变量Y 取某个值的概率πC. 预测风险函数hD. 筛选影响因素（自变量）3．在多重回归中，若对某个自变量的值都增加一个常数，则相应的偏回归系数：A．不变B．增加相同的常数C．减少相同的常数D．增加但数值不定4．在多元回归中，若对某个自变量的值都乘以一个相同的常数k，则：A．该偏回归系数不变B．该偏回归系数变为原来的 1/k倍C．所有偏回归系数均发生改变D．该偏回归系数改变，但数值不定5．作多重线性回归分析时，若降低进入的F 界值，则进入方程的变量一般会：A．增多 B．减少 C．不变 D．可增多也可减少三、筒答题1.为什么要做多重线性回归分析？2.多重线性模型中，标准化偏回归系数的解释意义是什么？3.简述确定系数的定义及意义.4.多重线性回归中自变量的筛选共有哪几种方法．请比较它们的优缺点？5.何谓多重共线性，多重共线性对资料分析有何影响?。
相关系数与线性回归分析
相关系数与线性回归分析数据分析是现代社会中不可或缺的一部分，它帮助我们了解事物之间的相互关系。
在数据分析中，相关系数与线性回归分析是常用的统计工具，它们可以揭示变量之间的关联和预测未来的趋势。
本文将以深入浅出的方式介绍相关系数与线性回归分析的原理、应用和局限性。
相关系数是用来衡量两个变量之间的统计依赖性的指标。
它的取值范围从-1到1，其中0表示没有线性关系，1表示完全正相关，-1表示完全负相关。
常用的相关系数有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼等级相关系数。
皮尔逊相关系数是用来衡量两个连续变量之间线性关系的强弱的指标。
它的计算公式为cov(X,Y)/(σX σY)，其中cov(X,Y)代表X和Y的协方差，σX和σY分别代表X和Y的标准差。
如果相关系数接近于1，则表示两个变量之间存在强正相关关系；如果接近于-1，则表示存在强负相关关系；如果接近于0，则表示两个变量之间没有线性关系。
斯皮尔曼等级相关系数是用来衡量两个有序变量之间的相关性的指标。
它通过将每个变量的原始值转换为等级值，并计算等级之间的差异来确定相关性。
斯皮尔曼等级相关系数的取值范围与皮尔逊相关系数相同，但它不要求变量之间呈现线性关系。
相关系数的应用非常广泛。
在金融领域中，相关系数可以用来衡量不同证券之间的关联性，帮助投资者构建更稳健的投资组合。
在医学研究中，相关系数可以用来分析不同变量对疾病风险的影响，为医生提供指导性建议。
在社会科学中，相关系数可以帮助研究者了解不同因素对人们态度和行为的影响，从而改善政策和社会管理的决策。
除了相关系数，线性回归分析也是一种常用的统计方法。
线性回归分析通过拟合一条直线来描述两个变量之间的关系，它的基本形式为Y = β0 + β1X + ε，其中Y表示因变量，X表示自变量，β0和β1表示回归系数，ε表示误差项。
线性回归分析的目标是找到最佳拟合线，使得回归系数能够准确地预测Y的变化。
线性回归分析的应用广泛。
在市场营销中，线性回归分析可以帮助企业了解消费者购买意愿与价格、促销活动等因素之间的关系，从而制定更有效的营销策略。
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Multiple Linear Regression
and Correlation
多重线性回归
多重线性回归的概念； 多重线性回归是简单线性回归 的推广。它研究一个应变量与多个 自变量之间的线性依存关系。
如：一个人的血压水平受年龄、饮食 结构、遗传特性等许多因素的影响。
多重线性回归
调整的R2 （adjusted R－square）：调 整因自变量个数的增加导致的复相关系 数的增大。
多重线性相关
偏相关系数（partial correlation coefficient）：
当固定其它自变量后，每个自变量与 应变量之间的相关程度。
取值范围：－1～1
假设检验：t检验
bk是自变量xk的偏回归系数，表
示当方程中其它自变量保持不变时， 自变量xk每变化一个单位，应变量 平均变化bk个单位。
多重线性回归
标准化偏回归系数（standardized partial regression coefficient） 表示自变量对应变量的贡献大小
的指标，标准化偏回归系数越大，表
决定系数（ R2 ）增大
调整决定系数（ RA2 ）增大
多重线性回归
筛选自变量的方法：
最优子集法（the best subset）：自变 量所有可能的组合与因变量进行回归， 选择残差最小。 强制法（enter）：即所有自变量均进 入方程。 向前法（forward）：从仅有截距的 方程开始，把变量逐个引入方程。
多重线性回归
筛选自变量的方法：
向后法（backward）：从包括所有自 变量的回归方程中逐个剔除无统计学意 义的变量。 逐步法（stepwise）：在把自变量逐个 引入方程的同时，剔除已在方程中的无 统计意义的变量。
多重线性回归分析的应用
估计和预测 制订分层的参考值范围 辅助诊断和判别
预测预报
统计控制
应用多重回归与相关 的注意事项
应用多重回归与相关要有实际意义。
多重相关分析中各变量是平等的，可
以是任何一个变量和其它一组变量间
的相关关系，要求分析的变量和一组
变量都服从正态分布。
应用多重回归与相关 的注意事项
多重回归分析是分析因变量受哪些自变 量的影响以及影响程度如何。要求因变 量服从正态分布，自变量可以是等级资 料和计数资料。 采用不同的方法筛选自变量得到的结果 不一定完全相同。 没有进入方程的变量，不能认为其没有 作用。
示自变量对应变量的贡献越大。
多重线性回归
多重回归分析的前提条件 （assumptions of multiple linear regression）：
线性（Linearity） 独立性（Independence） 正态性（Normality） 等方差（Equal variance）
2. 多重线性回归方程的建立
ˆ y b0 b1 x1 b2 x2 bk xk
b1，b2…bk称偏回归系数（Partial
regression coefficient），b0为截距
（intercept）。
多重线性回归
偏回归系数（Partial regression coefficient）：
多重线性相关
复相关系数（multiple linear
correlation coeffi
R的取值范围：0～1
R越大，表示线性关系越密切。
多重线性相关
R2为决定系数（coefficient of determination）表示应变量的变异中可 用自变量解释的部分。表示多重回归方 程的效果。
多重线性回归
自变量筛选：
在建立的多重回归模型中，有的自变量有 统计学意义，有的没有。 建立一个所有对应变量作用有统计学意义 的自变量，不包括无统计学意义的自变量。 多重共线性（Multi-co-linearity）：自变 量之间存在相似的线性关系。
多重线性回归
筛选准则：
残差平方和（SSE）缩小
应用多重回归与相关 的注意事项
利用回归方程进行预测和控制时，应用 范围不宜超出各自变量的原始实测值范 围。 利用多重回归分析研究各自变量对因变 量的直接效应和间接效应－－通径分析 （path analysis）。 自变量间有交互作用时，应建立含交互 作用项的回归模型。
多重线性回归
假设检验： （1）多重线性回归方程的假设检验： 检验应变量y与P个自变量之间是否 存在线性回归关系，用方差分析。
MSR F MSE
多重线性回归
（2）偏回归系数的假设检验： 为检验每个自变量是否对y都有线性回 归关系，需分别对每个自变量进行假设检 验，以免把作用不显著的自变量引入方程 中。 t检验： 计算一个包含P个自变量的多重线性回 归方程，再用t检验法对各偏回归系数进行 假设检验。