微分算子法实用整理总结

微分算子法

微分算子法分类小结

一、n 阶微分方程

1、二阶微分方程： 22d y d x +p(x)x

d dy

+q(x)y=f(x)

2、n 阶微分方程： y (n)+a 1y (n-1)+a 2y (n-2)+a 3y (n-3)+ ... +a n y=f(x) 二、微分算子法 1、定义符号：

D x

=d d

，D 表示求导，如Dx 3=3x 2，D n y 表示y 对x 求导n 次；D 1表示积分，如D 1

x=

x 212 ,

n D

1

x 表示 对x 积分n 次，不要常数。 2、计算

将n 阶微分方程改写成下式：

D n y +a 1D n-1y +a 2D n-2y +a 3D n-3y + ... +a n-1Dy +a n y=f(x) 即 （D n +a 1D n-1+a 2D n-2+a 3D n-3+ ... +a n-1D +a n ）y=f(x) 记F(D)=D n +a 1D n-1+a 2D n-2+a 3D n-3+ ... +a n-1D +a n

规定特解：

y

*

=)(F(D)

1

x f 3、F(D)

1

的性质

(1)性质一：F(D)

1

e kx =F(k)1e

kx (F (k) 不等于0）

注：若k 为特征方程的m 重根时，有

F(D)1e kx = x m (D)

F 1(m)

e kx = x m

(k)F 1(m)e kx

(2)性质二：F(D)1e kx v (x)= e kx

k)

F(D 1+v (x)

(3)性质三：特解形如F(D)1sin(ax)和 F(D)

1

cos(ax)

i.考察该式（该种形式万能解法）：F(D)1e iax

利用性质一和二解出结果，并取相应的虚部和实部 作为原方程的特解 注：欧拉公式 e

iax

= cos(ax)+i sin(ax)

虚数 i 2

= -1

ii.若特解形如) F(D 12sin(ax)和) F(D 1

2cos(ax)，也

可按以下方法考虑： 若F (-a 2)≠ 0，则

)

F(D 12sin(ax)=)F(-a 12sin(ax)

)F(D 1

2cos(ax)=)F(-a 12cos(ax)

若F (-a 2)= 0 ，则按i.进行求解，或者设-a 2为F (-a 2)

的m 重根，则

)

F(D 12sin(ax)=x m

)(D F 12(m)sin(ax)

)F(D 12cos(ax)=x m

) (D F 12(m)cos(ax)

(4)性质四（多项式）：

F(D)

1（x p +b 1x p-1+b 2x p-2+...+b p-1x+b p ）

= Q(D)（x

p

+b 1x p-1+b 2x p-2

+...+b p-1x+b p ）

注：Q (D)为商式，按D 的升幂排列，且D 的最高次幂为p 。

(5)性质五（分解因式）:

)(F(D)

1x f =)()(F (D)F 1

21x f D •=)()(F (D)F 112x f D • (6)性质六:

))()((F(D)

1

21x f x f +=)(F(D)1)(F(D)121x f x f +

三、例题练习

例1. 22d y

d x

+4y =e

x

则(D

2

+4)y =e x

,特解y

*

=4

12+D e

x

=411

2+e x =51e x (性质一)

例2、 y (4)+y =2cos(3x ），则(D 4+1)y = 2cos(3x ）

特解y *=

1

1

4

+D 2cos(3x ）= 2114+D cos(3x ） = 2

1)3-(122+cos(3x ）=41

1

cos(3x ）(性质三)

例3、22d y d x -

4x

d dy +4y = x 2e

2x ,则(D 2-

4D +4)y = x

2

e

2x

特解y

*

=+4

4-12D D x 2

e 2x = e

2x 2-212

）（+D x 2 = e

2x

12

D

x 2

= 121x 4e

2x （性质二） 例4、33d y d x -322d y

d x +3

x

d dy - y =

e x

,则(D 3

-3D 2

+3D -1)y =e

x

特解y *

=31-1）（D e x =e x 3

1-11）

（+D •1 =e

x

3

1D •1=6

1x 3

e x

(性质二） 例5、33d y d x -

y =sinx ,则(D 3-

1)y =sinx ,特解y *=1

-1

3D sinx

考察

1

-13

D

e ix

1

-1

3

D e ix =

1-i 13e ix

=1i 1-+e ix =21-i e ix =21

-i (cosx +i sinx)

=-21(cosx +sinx)+i 21

(cosx -sinx) 取虚部为特解y *

=2

1(cosx -sinx) (性质一、三)