理论力学--8摩擦

B
(m)B D
E
分别为 (m)A和 (m)B . 求梯子
不致下滑时工人所能登上的 最大高度xmin.
RA
(m)A A
6
W
解:取梯子为研究对象画受力图.
要使梯子不向下滑动, A和 B 两处的全反力RA
x
xmin
RB B
F
C
E
和RB的作用线各应分别位于角
(m)A和(m)B角之 内,其共同范围为CDEF内.而且
a
P
P - Fm = 0 Fm=f N
C
Fm A
即 P滑 = Fm=f N = f W
N
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假定方块处于翻倒临界平衡状态, 画受力图.
MA(Fi) = 0
b W Pa 0 2
W
P a
F b
A
Wb P 翻 2a
N
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讨论:比较 Wb/2a 与 f W 可知 (1)如果 f W > Wb/2a ,即 f > b/2a , 则方块 先翻倒.（Wb/2a为将要翻倒时所需P力） （W为将要滑动时所需P力. ） (2)如果 f W < Wb/2a ,即 f < b/2a , 则方块
先滑动. (3)如果 f W = Wb/2a ,即 f = b/2a , 则滑动
与翻倒将同时发生.
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四.滚动摩阻的概念 (1) 滚阻力偶和滚阻力偶矩
P r
设一半径为r的滚子静止地放在水平
Q
c
A
面上,滚子重为P.在滚子的中心作用 一较小的水平力Q.
P r
取滚子为研究对象画受力图.
Fx = 0
Q - Fs = 0
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W' O1
F1
W
l cos m A cosm B cosm B m A
xmin = l cos( +m) cosm
讨论:(1)若m = 0,则 xmin = l cos .工人只能站在梯子
的底端. (2)当 (90o - m)时, 则 xmin = 0 .工人可安全地
o Fs A
m N
0 m mmax
o
A F

N
滚阻力偶矩的最大值与法向反力成正比.
- 滚阻系数。
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例5: 在搬运重物时下面常垫以滚木,如图所示.设重
物重W,滚木重W’半径为 r.滚木与重物间的滚阻系
数为,与地面间的滚阻系数为’.求即将拉动时水
平力P的大小.
W' O1
W
W' O2
ห้องสมุดไป่ตู้
P
A F1

P1
N1
mO(Fi) = 0
C

r ctg Pmind ctg N1
Wr Pmin 2dsin f cos
(2)求P的极大值
Fx
O
Fy
当P达到极大值时,圆柱处于上滑临界状态.只要改变 受力图中摩擦力的指向和改变 F 前的符号即可.
3
C
N1
D
N2
W N 2sin f cos
F1 W F2 O
A
mO(Fi) = 0
F1 C

P1
N1
r ctg P N1 max mind ctg
FAy
O
FAx
4
Wr Pmax 2dsin f cos
Wr Wr P 2dsin f cos 2dsin f cos
用摩擦角表示得:
例2: 在用铰链 O 固定的木板 AO和 BO间放一重 W的匀质圆 柱, 并用大小等于P的两个水平 力P1与 P2维持平衡,如图所示. 设 圆柱与木板间的摩擦系数为 f ,
2d
A
P1 P2
W
B
C
2
D
O
不计铰链中的摩擦力以及木 板
的重量,求平衡时P的范围.
( 分析：P小，下滑；
P大，上滑.)
1
解:(1)求P的极小值
RA
(m)A A
W
sin 900 m A

BC


sin 900 m B m A

l

8
得: BC
cosm B m A
l cos m A
xmin BC cosm B
若(m)A = (m)B = m
站在梯子的顶端.
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例4: 重W的方块放在水平面上, 并有一水平力P作用 . 设方块底
W
面的长度为b,P与底面的距离为
a , 接触面间的摩擦系数为 f , 问 当 P逐渐增大时,方块先行滑动 还是先行翻倒. b a
P
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假定方块处于滑动临界平衡状 态画受力图.
W
Fy = 0 Fx = 0
N-W=0
Wrcos Wrcos P d sin d sin
当角 等于或小于时,无论P多大,圆柱不会向上滑 动而产生自锁现象.
5
x
xmin 例3: 在维修某房屋时重W的 工人登上长为 l 倾角为的梯
RB C
F
子AB . 梯子的下端A搁在水平
地上,上端B靠在铅直墙上.设 地面和墙与梯子间的摩擦角
N
竖直分力即为法向反力N.
由于物体变形力N向前偏移一微小距离e.
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将力Fs与N向A点简化,得到作用于A
点的力 N与F.另外还得到一附加力偶. 其力偶矩为m = N e .即阻止滚子滚动 的滚阻力偶. (3) 滚动摩擦定律 mA(Fi) = 0 mmax = N m - Qr = 0
P Q
P Q
设圆柱处于下滑临界状态,画受力图.
C
N1
D
N2
由对称性得:
N1 = N2 = N Fy = 0
F1 = F2 = F
F1 W F2 O
2Fcos + 2Nsin - W=0 F=f N
联立(1)和(2)式得:
(1) (2)
W N 2sin f cos
2
取OA板为研究对象画受力图.此时的 水平力有极小值Pmin
(m)B D
根据三力平衡原
理,重力W的作用线必须通过RA 和RB的交点C.
RA
(m)A A
C点所对应的x为最小值.
W
7
x
BAC = 90 - - (m)A BCA = CFA + (m)A = 90 - (m)B + (m)A
B
xmin
RB C
F
(m)B D
E
由正弦定理得:
c
A
Fy = 0 N-P=0 mA(Fi) = 0 m - Qr = 0 m=Qr
Q
m
Fs
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N
(2) 产生滚阻力偶的原因
滚子与支承面实际上
P Q
o
A
不是刚体,在压力作用下
它们都会发生微小变形.
设反作用力的合力为R并作用于B点,
P Q
滚子在力P , Q与R作用下处于平衡状态. Fs
R
o
A
e
B
将力 R 沿水平与竖直两个方向分解, 则水平分力即为摩擦力Fs.