整数的性质及应用(三)质数和合数-

整数的性质及应用（三） 质数和合数

一、质数和合数的有关性质和定理

1.1不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数。

2.若质数p|ab, 则必有p|a 或p|b 。

3.若正整数a, b 的积是质数p, 则必有a=p 或b=p 。

4.定理1.设a 是一个大于1的正整数，则a 的大于1的最小正因数p 一定是质数。

5.定理2.若p 是质数，则对任一整数a, 或者p|a, 或者（p, a ）=1

6.定理3.质数有无穷多个。

7. 形如4n-1(n 为正整数)的质数有无穷多个。

8.算术基本定理：任意一个大于1的整数N 能分解成K 个质因数的乘积，若不考虑质因数之间的顺序，则这种分解是唯一的，可以写成标准分解形式:

二、例题：

1.已知三个不同的质数a ,b,c 满足2000=+a c ab b , 求a+b+c 的值。

2.若n 是大于2的正整数，求证：12-n 与12+n 中至多有一个是质数。

3.用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为xcm 规格的地砖，恰用n 块；若选用边长为ycm 规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块，已知x 、y 、n 都是正整数，且（x, y ）=1. 试问这块地有多少平方米？

4.设a,b,c,d 都是自然数，且2222d c b a +=+，证明d c b a +++一定是合数。

5.若n 为自然数，n+3与n+7都是质数，求n 除以3所得的余数。

6.设自然数21n n >，且有792221=-n n ，试求1n 与2n 的值。

7.n 是不小于40的偶数，试证明：n 总可以表示成两个奇合数的和。

8.若a,b,c 是1998的三个不同的质因数，且c b a <<，则a c b )(+的值是多少？

9.四个质数的倒数之和是1995

1454，则这四个质数之和是多少？ 10.有四个数，一个是最小的奇质数，一个是偶质数，一个是小于30的最大质数，另一个是大于70的最小质数，求它们的和。

11.p 是质数，34+p 仍是质数，求35

+p 的值。

12.已知质数p 和q 满足3153=+q p ，求

1

3+q p 的值。 三、练习题： 1.有三个正整数，一个是最小的奇质数，一个是最小的奇合数，另一个既不是质数，也不是合数，求三个数的积。

2.有三个数，一个是偶质数，一个是大于50的最小质数，一个是100以内最大的质数，求这三个数的和。

3.设m 与n 是两个大于2的质数，证明m+n 是一个合数。

4.若p 是一个质数，32+p 仍为质数，求证：33+p 也是一个质数。

5.设P>5，证明：若P 和2P+1均为质数，则4P+1为合数。

6.若P 与P+3都是质数，求P 除以3所得的余数。（P>3）

7.若自然数21n n >，且1922212221=---n n n n ，求21,n n 的值。

8.有四个不同质因数的最小自然数是多少？

9.求200的正约数个数，并求它的所有质因数的和。

10.若45455454+=n ，则n 是质数还是合数？

11.若质数m, n 满足5m+7n=129, 求m+n 的值。

12.一个两位质数，将它的十位数字与个位数字对调后仍是一个质数，我们称它为“无暇质数”，则所有“无暇质数”之和是多少？

13.机器人对自然数从1开始由小到大按如下的规则进行染色：凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数下去，求第1992个数是多少？

14.证明有无穷多个n ，使多项式412

++n n （1）表示合数 （2）为43的倍数。

15.已知正整数p ,q 都是质数，且7p+q 与pq+11也都是质数，试求p q q p +的值。

16. 1与0交替排列，组成下面形式的一串数：101，10101，1010101，101010101，…请你回答：在这串数中有多少个质数？并证明你的结论。

17.41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：

（1）能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？

（2）能否使这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？

若能办到，请举一例；若不能办到，请说明理由。