概率统计讲课稿第十二章第三节正态平稳过程第四节遍历过程
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第三节 正态平稳过程
一. 正态过程
正态随机变量复习,
一维正态随机变量
),(~2
σμN X ,概率密度
2
22)(21
)(σμπ
σ--
=
x e
x f ，+∞<<∞-x ;
二维正态随机变量
);,;,(~),(2
22211ρσμσμN Y X ,
概率密度
]})())((2)([)1(21
exp{121),(22
2221212121222
1σμσσμμρσμρρσπσ-+-------=
y y x x y x f
n 维正态分布),,,(21n X X X ⋅⋅⋅, 概率密度
)}
()(2
1
exp{)
(det )2(1),,,(1'2
1221μμπ---=
⋅⋅⋅-x C x C x x x f n
n ，
其中
⎪
⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=n x x x x 21,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⋅⋅⋅=n μμμμ21, 协方差矩阵n n ij C C ⨯=)(,),(j i ij X X Cov C =.
定义5 如果随机过程)(t X ,对任意正整数n ,任意T t t t n ∈⋅⋅⋅,,,21,
))(,),(),((21n t X t X t X ⋅⋅⋅都服从正态分布, 则称)(t X 为正态过程,又称高斯(Gauss)过程.
即n 维随机变量
))(,),(),((21n t X t X t X ⋅⋅⋅的概率密度为
)}
()(2
1
exp{)
(det )2(1),,,;,,,(1'2
122121μμπ---=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅-x C x C t t t x x x f n
n n n 其中
⎪
⎪
⎪
⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛⋅⋅⋅=n x x x x 21,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⋅⋅⋅=)()()(21n X X X t t t μμμμ,
协方差矩阵
n
n ij
C C ⨯=)(,))(),((j i ij t X t X Cov C =.
特别,设}),({T t t X ∈为正态过程,
则,1T t ∈∀ ))(),((~)(12
11t t N t X X
X σμ ,
,21T t t ∈∀
));(),();(),((~))(),((22
212121ρσμσμt t t t N t X t X X X X X ,
)
()()
,(2212
21t t t t C X
X X σσρ⋅=
. 独立正态过程:如果}),({T t t X ∈是
正态过程,同时又是独立过程,则称}),({T t t X ∈为独立正态过程.
正态过程}),({T t t X ∈,如果T 是可列集,
},,,,{21⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n t t t T ,记t X t X =)(,
那么,},,,,,{21⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n t t t t t X 是正态序列.
二. 正态平稳过程
设}),({T t t X ∈是正态过程, 于是)(t X 服从正态分布, 则 )]([)(22
t X E t X
=ψ必存在,即二阶矩存在.
定义 如果正态过程)(t X 又是(广义)平稳过程,则称)(t X 为正态平稳过程.
正态平稳过程的性质:
设}),({T t t X ∈是正态平稳过程, 则有
)()(εμμμ+==t t X X X ,
),()(),(εε++=-=j i X i j X j i X t t C t t C t t C ,
从而成立
)}
()(2
1
exp{)
(det )2(1),,,;,,,(1'2
122121μμπ---=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅-x C x C t t t x x x f n
n n n ),,,;,,,(2121εεε+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=n n n t t t x x x f ,
即)(t X 又是严平稳过程.于是有
定理二.设)(t X 是正态过程.
则)(t X 为严平稳过程⇔)(t X 为广义平稳过程.
严(狭义,强)平稳过程,如果二阶矩存在
⇒ 是宽(广义,弱)平稳过程.
例1 设正态过程}),({+∞<<-∞t t X 的均值函数0)(=t X
μ,自相关函数)(),(1221t t R t t R X X -=,试写出过程的一维、二维概率密度函数. 解 根据题设条件,知 )(t X 服从正态分布,
))(),((21
t X t X 服从二维正态分布; 0)()]([==t t X E X
μ,
)0(),()]([)()(2
2
X
X
R t t R t EX t EX t DX ==-=, 即得))0(,0(~)(X R N t X ;
0)()]([==i X i t t X E μ,)0()(X i R t DX =, 2,1=i ,
)()()]()([))(),((2
1
2
1
2
1
t EX t EX t X t X E t X t X Cov ⋅-=