【压轴题】高中必修五数学上期末第一次模拟试题(含答案)

一、选择题

1．下列结论正确的是（） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若22a b >，则a b > C ．若,0a b c ><，则a c b c +<+ D

a b <

2．若正实数x ，y 满足141x y +=，且234

x a a +>-恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．[]1,4-

B ．()1,4-

C ．[]4,1-

D ．()4,1-

3．设,x y 满足约束条件 202300

x y x y x y --≤??-+≥??+≤?

，则4

6y x ++的取值范围是

A ．3[3,]7

- B ．[3,1]- C ．[4,1]

D ．(,3][1,)-∞-?+∞

4．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若63

3S S =，则9

6S S =（） A ．2

B ．

C ．8

D ．3

5．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、癸等十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥等十二个符号叫地支，如公元1984年农历为甲子年，公元1985年农历为乙丑年，公元1986年农历为丙寅年，则公元2047年农历为 A ．乙丑年

B ．丙寅年

C ．丁卯年

D ．戊辰年

6．已知函数223log ,0

(){1,0

x x f x x x x +>=--≤，则不等式()5f x ≤的解集为 ( )

A ．[]1,1-

B ．[]2,4-

C ．(](),20,4-∞-?

D ．(][]

,20,4-∞-? 7．已知数列{}n a

的首项110,1n n a a a +==+，则20a =（） A ．99

B ．101

C ．399

D ．401

8．设实数,x y 满足242210

x y x y x -≤??+≤??-≥?

，则1

y x +的最大值是（）

A ．-1

B ．

C ．1

D ．

9．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，若26442,S 6a S a =-=，则5a = A ．4

B ．10

C ．16

D ．32

10．已知数列{}n a 满足112,0,2

121,1,

2n n n n n a a a a a +?

≤

若135a =，则数列的第2018项为

（） A ．

B ．

C ．

D ．

11．ABC ?中有：①若A B >，则sin sin A>B ；②若22sin A sin B =，则ABC ?—定为等腰三角形；③若cos acosB b A c -=，则ABC ?—定为直角三角形.以上结论中正确的个数有（） A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

12．在等差数列 {}n a 中， n S 表示 {}n a 的前 n 项和，若 363a a += ，则 8S 的值为（）

A ．3

B ．8

C ．12

D ．24

二、填空题

13．已知lg lg 2x y +=，则

x y

+的最小值是______. 14．若变量,x y 满足约束条件12,

{20,20,

x y x y x y +≤-≥-≤ 则z y x =-的最小值为_________.

15．计算：23lim 123n n n

→+∞-=++++L ________

16．已知n S 为数列{a n }的前n 项和，且22111n n n a a a ++-=-，2

1313S a =，则{a n }的首项的所

有可能值为______ 17．设

，

，若

，则

的最小值为_____________.

18．若x ，y 满足约束条件1300

x y x y x y -≥-??+≤?

?≥??≥?，则2z x y =-的最大值是__________．

19．已知a b c R ∈、、，c 为实常数，则不等式的性质“a b a c b c >?+>+”可以用一个

函数在R 上的单调性来解析，这个函数的解析式是()f x =_________ 20．已知二次函数f （x ）=ax 2+2x+c （x ∈R ）的值域为[0，+∞），则

a c c a

+++的最小值

为_____．

三、解答题

21．已知等差数列{}n a 的所有项和为150，且该数列前10项和为10，最后10项的和为

50.

（1）求数列{}n a 的项数；（2）求212230a a a ++???+的值. 22．已知函数()21f x x =-. （1）若不等式121(0)2f x m m ??

≥+> ???

的解集为][(),22,-∞-?+∞，求实数m 的值；（2）若不等式()2232

y y a

f x x ≤+++对任意的实数,x y R ∈恒成立，求正实数a 的最小值.

23．在ABC △中，,,A B C 对应的边为,,a b c .已知1

cos 2

a C c

b +=. （Ⅰ）求A ；

（Ⅱ）若4,6b c ==，求cos B 和()cos 2A B +的值.

24．ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知ABC V 的面积2

1tan 6

S b A = (1)证明: 3 b ccos A =; (2)

若1,c a ==

求S .

25．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的首项为1

，且()3122123a a a -=+。（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若8n b n =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，试比较

12111

n T T T ++???+与12

n S 的大小. 26．在△ABC 中，已知AC ＝4，BC ＝3，cosB ＝－1

. (1)求sin A 的值； (2)求·BA BC u u u v u u u v

的值.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．D 解析：D 【解析】

选项A 中，当c=0时不符，所以A 错．选项B 中，当2,1a b =-=-时，符合22a b >，不

满足a b >，B 错．选项C 中, a c b c +>+,所以C 错．选项D 中，因为0≤

，由不等式的平方法则，

<，即a b <．选D.

2．B

解析：B 【解析】【分析】根据1444y y x x x y ????+

=++ ? ?????，结合基本不等式可求得44

x +≥，从而得到关于a 的不等式，解不等式求得结果. 【详解】由题意知：1442444y y x y

x x x y y x

????+

=++=++ ? ????? 0x Q >，0y > 40x y ∴>，04y

424x y y x ∴

+≥=（当且仅当44x y y x =，即4x y =时取等号） 44

x ∴+

≥ 234a a ∴-<，解得：()1,4a ∈- 本题正确选项：B 【点睛】

本题考查利用基本不等式求解和的最小值问题，关键是配凑出符合基本不等式的形式，从而求得最值.

3．B

解析：B 【解析】【分析】【详解】先作可行域，而

46y x ++表示两点P （x,y ）与A （-6,-4）连线的斜率，所以4

y x ++的取值范围是[,][3,1]AD AC k k =-，选B.

点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.

4．B

解析：B

【解析】

【分析】

首先由等比数列前n项和公式列方程，并解得3q，然后再次利用等比数列前n项和公式，则求得答案．

【详解】

设公比为q，则

(1)

(1)1

a q

S q

a q

S q

===+=

，

∴32 q=，

∴

1127

1123 S q

S q

===

．

故选：B．

【点睛】

本题考查等比数列前n项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时也可以利用连续等长片断的和序列仍然成等比数列，进行求解.

5．C

解析：C

【解析】

记公元1984年为第一年，公元2047年为第64年，即天干循环了十次，第四个为“丁”，

地支循环了五次，第四个为“卯”,所以公元2047年农历为丁卯年. 故选C.

6．B

解析：B 【解析】

分析：根据分段函数，分别解不等式，再求出并集即可．

详解：由于()223log ,0

1,0x x f x x x x +>?=?--≤?

，

当x ＞0时，3+log 2x≤5，即log 2x≤2=log 24，解得0＜x≤4，当x≤0时，x 2﹣x ﹣1≤5，即（x ﹣3）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤0， ∴不等式f （x ）≤5的解集为[﹣2，4]，故选B ．

点睛：本题考查了分段函数以及不等式的解法和集合的运算，分段函数的值域是将各段的值域并到一起，分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起，分段函数的最值，先取每段的最值，再将两段的最值进行比较，最终取两者较大或者较小的.

7．C

解析：C 【解析】【分析】【详解】

由11n n a a +=+

，可得

)

1111n a ++=

=，

是以1为公差，以1为首项的等差数列.

,1n n a n ==-，即220201399a =-=.

故选C.

8．D

解析：D 【解析】【分析】

由约束条件确定可行域，由1

y x

+的几何意义，即可行域内的动点与定点P （0，-1）连线的斜率求得答案．【详解】

由约束条件242210x y x y x -≤??

+≤??-≥?

，作出可行域如图，

联立10220

x x y -=??+-=?，解得A （112，），

y x

+的几何意义为可行域内的动点与定点P （0，-1）连线的斜率，由图可知，

3212

k +==

最大．

故答案为3

．【点睛】

本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题型．

9．C

解析：C 【解析】

由64S S -=6546a a a +=得，()

460,60q q a q q +-=+-=，解得2q =，从而

3522=28=16a a =??，故选C.

10．A

解析：A 【解析】【分析】

利用数列递推式求出前几项，可得数列{}n a 是以4为周期的周期数列，即可得出答案. 【详解】

12,03

21521,12n n n n n a a a a a a +?

≤

Q ，

211215a a =-=

，32225a a ==，43425a a ==，5413

215

a a a =-== ∴数列{}n a 是以4为周期的周期数列，则20184504221

a a a ?+===

. 故选A . 【点睛】

本题考查数列的递推公式和周期数列的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.

11．C

解析：C 【解析】【分析】

①根据正弦定理可得到结果；②根据A B =或,2

A B π

+=可得到结论不正确；③可由余弦

定理推得222a b c =+，三角形为直角三角形. 【详解】

①根据大角对大边得到a>b,再由正弦定理

sin sin a b A B =知sinA sinB >，①正确；②22sin A sin B =，则A B =或,2

A B π

+=ABC ?是直角三角形或等腰三角形；所以②错

误；③由已知及余弦定理可得222222

22a c b b c a a b c ac bc

+-+--=，化简得222a b c =+，

所以③正确. 故选C. 【点睛】

本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据,解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.

12．C

解析：C 【解析】【分析】

由题意可知，利用等差数列的性质，得18363a a a a +=+=，在利用等差数列的前n 项和公式，即可求解，得到答案。【详解】

由题意可知，数列{}n a 为等差数列，所以18363a a a a +=+=，

∴由等差数列的求和公式可得1888()83

1222

a a S +?=== ，故选C 。【点睛】

本题主要考查了等差数列的性质，及前n 项和公式的应用，其中解答中数列等差数列的性质和等差数列的前n 项和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

二、填空题

13．【解析】由得：所以当且仅当时取等号故填

解析：1

【解析】

由lg lg 2x y +=得：100xy =，所以

11111111

()100100505

xy x y xy x y x y ??+=+=+≥= ???，当且仅当10x y ==时，取等号，故填

. 14．【解析】由约束条件作出可行域如图联立解得化目标函数得由图可知当直线过点时直线在y 轴上的截距最小有最小值为故答案为点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值属简单题求目标函数最值的一般步骤解析：4-

【解析】

由约束条件12,20,20,x y x y x y +≤??

-≥??-≤?

作出可行域如图，

联立12 {20

x y x y +=-=，解得()84A ，，化目标函数z y x =-，得y x z =+，由图可知，当直线y x z =+过点()84A ，

时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为4-，故答案为4-. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.

15．【解析】【详解】结合等差数列前n 项和公式有：则：解析：6

【解析】【详解】

结合等差数列前n 项和公式有：()11232

n n n +++++=

L ，则：

()()2

6231362lim lim lim lim

123111n n n n n n n n n n n n n n n

→+∞→+∞→+∞→+∞-

---====+++++++L . 16．【解析】【分析】根据题意化简得利用式相加得到进而得到即可求解结果

【详解】因为所以所以将以上各式相加得又所以解得或【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式应用其中解答中利用数列的递推关系式得到关于数列首

解析：34，

- 【解析】【分析】

根据题意，化简得2

111n n n a a a ++-=-，利用式相加，得到2

13113112S a a a --=-，进而得

到2

11120a a --=，即可求解结果.

【详解】

因为22111n n n a a a ++-=-，所以22

111n n n a a a ++-=-，所以222222

2213321313121,1,,1a a a a a a a a a -=--=--=-L ，

将以上各式相加，得22

13113112S a a a --=-，

又21313S a =，所以2

11120a a --=，解得13a =-或14a =.

【点睛】

本题主要考查了数列的递推关系式应用，其中解答中利用数列的递推关系式，得到关于数列首项的方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.

17．3+22【解析】【分析】由已知可得a-1+b=1从而有2a-1+1b=(2a-1+1b)(a-1+b)展开后利用基本不等式即可求解【详解】由题意因为a>1b>2满足a+b=2所以a-1+b=1且a- 解析：

【解析】【分析】由已知可得，从而有

，展开后利用基本不

等式，即可求解. 【详解】由题意，因为满足

，所以，且

，

则

，

当且仅当且

，即

时取得最小值

【点睛】

本题主要考查了利用基本不等式求最值问题的应用，其中解答中根据题意配凑基本不等式的使用条件，合理利用基本不等式求得最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

18．﹣33【解析】分析：由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解联立方程组求出最优解的坐标代入目标函数得答案详解：由约束条件作出可行域如图：联立解得化目标函数为直线方程的斜截式

解析：[﹣3，3] 【解析】

分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案. 详解：由约束条件作出可行域如图：

联立13x y x y -=-+=，解得12

x y ==，()1,2B ，

化目标函数2z x y =-为直线方程的斜截式22

x z

y =-. 由图可知，当直线22

x z

y =

-过()1,2B ，直线在y 轴上的截距最大，z 最小，最小值为1223-?=-；

当直线22

x z

y =

-过()3,0A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 最大，最大值为3203-?=. ∴2z x y =-的取值范围为[﹣3，3].

故答案为：[﹣3，3].

点睛：利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是 (1)在平面直角坐标系内作出可行域．

(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．

(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．

(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.

19．【解析】【分析】构造函数通过讨论其单调性即解析不等式的性质【详解】函数是定义在上的单调增函数若则即即故答案为：【点睛】此题考查利用函数单调性解析不等式的性质利用常见函数的单调性结合不等式的特征即可求解析：x c -

【解析】【分析】

构造函数()f x x c =-，通过讨论其单调性即解析不等式的性质．【详解】

函数()f x x c =-，是定义在R 上的单调增函数，若a c b c +>+，

则()()f a c f b c +>+，即a c c b c c +->+-，即a b >．故答案为：x c - 【点睛】

此题考查利用函数单调性解析不等式的性质，利用常见函数的单调性结合不等式的特征即可求解．

20．4【解析】【分析】先判断是正数且把所求的式子变形使用基本不等式求最小值【详解】由题意知则当且仅当时取等号∴的最小值为4【点睛】】本题考查函数的值域及基本不等式的应用属中档题

解析：4 【解析】【分析】

先判断a c 、是正数，且1ac =，把所求的式子变形使用基本不等式求最小值．【详解】

由题意知，044010a ac ac c =-=∴=V ＞，，，＞，

则

111111 2224a c a c a c c a c c a a c a c a +++=+++=+++≥+=+=（）（），

当且仅当1a c ==时取等号．

∴

11a c c a +++的最小值为4．【点睛】

】本题考查函数的值域及基本不等式的应用．属中档题.

三、解答题

21．（1）50；（2）30 【解析】

【分析】

(1)根据条件结合等差数列的性质可得16n a a +=,再根据{}n a 的所有项和为150,即可求出项数n 的值;

(2)根据(1)求出{}n a 的首项1a 和公差d ,然后将212230a a a ++???+用1a 和d 表示,再求出其值. 【详解】

解:(1)由题意,得1231010a a a a +++???+=,12950n n n n a a a a ---+++???+=, ∴()()()()1213210960n n n n a a a a a a a a ---++++++???++=, 根据等差数列性质,可知12132109n n n n a a a a a a a a ---+=+=+=???=+, ∴()11060n a a +=,∴16n a a +=, 又{}n a 的所有项和为150,∴

()

11502

n n a a +=, ∴50n =,即数列{}n a 的项数为50.

(2)由(1)知,15016

109

10102a a a d +=??

??+=??,即112496292a d a d +=??+=?,∴11120110a d ?=????=??

, ∴()2122233021305a a a a a a +++???+=+

()15249a d =+11152492010?

?=?+? ??

?30=.

【点睛】

本题考查了等差数列的性质和前n 项和公式,考查了转化思想和方程思想,属基中档题. 22．(1) 3

m =

；(2)4. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先根据绝对值定义解不等式解集为][()

,22,-∞-?+∞，再根据解集相等关系得122m +=，解得3

m =．（Ⅱ）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题，即

()

max

212322y y

x x --+≤+

，根据绝对值三角不等式可得()

max

21234x x --+=，再利用变量分离转化为对应函数最值问题：

(

)

max

242y y

a ??≥-??，根据基本不等式求最值： ()

()

24224242y y

y y ??

+-?

?-≤=???

，因此4a ≥，所以实数a 的最小值为4．

试题解析：（Ⅰ）由题意知不等式221(0)x m m ≤+>的解集为][()

,22,-∞-?+∞．

由221x m ≤+，得1122

m x m --≤≤+，所以，由122m +

=，解得3

m =．（Ⅱ）不等式()2232y y a f x x ≤+++等价于212322y

a x x --+≤+

，由题意知()

max

2123

22y y

x x --+≤+

．因为()()212321234x x x x --+≤--+=，所以242

y y a +

≥，即()

242y y a ??≥-??对任意y R ∈都成立，则()max 242y y

a ??≥-??．而()

()

24224242y y

y y

+-?

?-≤=???

，当且仅当242y y =-，即1y =时等号成立，故4a ≥，所以实数a 的最小值为4． 23．（Ⅰ）π

3A =（Ⅱ）1114

- 【解析】【分析】

（Ⅰ）先根据正弦定理化边为角，再根据两角和正弦公式化简得结果，（Ⅱ）根据余弦定理求a

，代入条件求得sin B =

，解得cos B =，最后根据两角和余弦定理得结果.

【详解】

（Ⅰ）解：由条件1cos 2a C c b +

=，得1

sin sin sin sin 2

A C C

B +=，又由()sin sin B A

C =+，得1

sin cos sin sin cos cos sin 2

A C C A C A C +=+.

由sin 0C ≠，得1cos 2A =，故π

A =.

（Ⅱ）解：在ABC V 中，由余弦定理及π

4,6,3

b c A ===，

有2222cos a b c bc A =+-

，故a = 由sin sin b A a B =

得sin B =

，因为b a <

，故cos B =.

因此sin22sin cos B B B ==

，2

1cos22cos 17B B =-=.

所以()11cos 2cos cos2sin sin214

A B A B A B +=-=-

【点睛】

解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 24．(1)证明解析

,(2)2

【解析】【分析】

（1）由正弦定理面积公式得：211sin tan 26S bc A b A ==，再将sin tan cos A A A

=代入即可. （2）因为1c =

，a =

3b cosA =.代入余弦定理2222cos a b c bc A =+-得

22cos 3A =

，cos 3

=tan 2A ?=

，b =

?16622S =??=. 【详解】

（1）由211

sin tan 26

S bc A b A ==，得3sin tan c A b A = 因为sin tan cos A A A =

，所以sin 3sin cos b A

c A A

=，又0A π<<，所以sin 0A ≠，因此3cos b c A =.

（2）由（1）得3b ccosA =. 因为1c =

，a =

3b cosA =.

由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：

2229cos 16cos A A =+-,解得：2

2cos 3

A =

. 因为3b cosA =，所以cos 0A >

，cos 3

A =

tan 2

A ?=

，b .

211tan 666S b A ==?=

【点睛】

本题第一问主要考查正弦定理中的面积公式和边角互化，第二问考查了余弦定理的公式应用，属于中档题.

25．（1）12

n n a =；（2）

1211112n n S T T T ++???+< 【解析】【分析】

(1)根据数列{}n a 的首项为

,且()3122123a a a -=+,可得关于1a 和公比q 的不等式组,解

出1a 和q 可得数列{}n a 的通项公式;

(2)根据条件分别利用等比数列和等差数列的前n 项和公式,求出{}n a 的前n 项和为n S ,{}n b 的前n 项和n T ,再用列项相消法求出12111n T T T ++???+,然后比较12111

n T T T ++???+与12

n S 的大小即可. 【详解】

解:(1)由题意,设1

1(0)n n a a q q -=>,则()

12111122123a a q a a q ?=??

?-=+?

, 解得1

q =

或2q =-(舍), ∴1

111222n n

n a -????=?= ?

?????

,即12n n a =. (2)由(1)知12n n a =,∴11122111212n

n n S ?????-?? ?????????==- ???-

. ∵8n b n =,∴2

44n T n n =+,

∴2111114441n T n n n n ??==- ?++??

, ∴

121111111111111142231414

n T T T n n n ????++???+=-+-+???+-=-< ? ?++????, 又∵

11111111112112224242n n n n S --??????=-=-=+- ? ? ???????,11

102

n --≥, 1124

n S ∴≥ ∴

1211112

n n S T T T ++???+<. 【点睛】

本题考查了数列通项公式的求法,等差数列的前n 项和公式,等比数列的前n 项和公式和裂项相消法求数列的前n 项和,考查了方程思想和计算能力,属中档题. 26．（1

；（2）32-

【解析】【分析】

（1

）先求得sin 4

B =

,再根据正弦定理求得sin A 即可；（2）根据余弦定理解得2AB =,再由数量积的定义求解即可【详解】（1）1cos 4

B =-

Q ,

sin B ∴=

, 根据正弦定理可得,sin sin BC AC

A B

即3sin A =,

sin 16

A ∴=

（2）根据余弦定理可得,2222cos AC AB BC AB AC B =+-??, 即2

432

AB AB =++

,解得2AB =, 13cos 2342BA BC BA BC B ??

∴?=??=??-=- ???

u u u r u u u r

【点睛】

本题考查利用正弦定理求角,考查向量的数量积运算,考查运算能力