河南省天一大联考2019-2020学年高二年级阶段性测试(一)理科数学试题

……装……_______姓名：_……装……绝密★启用前
河南省天一大联考2019-2020学年高二年级阶段性测试（一)
理科数学试题
试卷副标题
考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题)
请点击修改第I 卷的文字说明
一、单选题
1．已知22ac bc >，则下列不等式成立的是（ ） A ．220a b ->
B ．a c b c +>+
C ．ac bc >
D ．lg lg a b >
2．已知等差数列{}n a 中，320172a a +=，则数列{}n a 前2019项的和2019S 等于（ ） A ．2018
B ．2019
C ．2020
D ．2021
3．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，将其斯所对应的石子个数称为三角形数，则第8个三角形数是（ ）
A ．24
B ．27
C ．36
D ．45
4．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．已知c =，30A =︒，则B =（ ） A ．90°
B ．60°或120°
C ．30°
D ．90°或30°
5．函数()()2211
x x x x f x -+=>-+的最小值等于（ ）
A ．1
B ．0
C ．1-
D ．2-
6．在ABC 中，若sin :sin :sin 1:2A B C =，则B =（ ） A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．120°
7．设变量x ，y 满足约束条件0,0,2,x y x y x -≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）
A ．2
B ．6
C ．2-
D ．6-
8．已知1a ，2a ，…，9a 为各项都大于零的等比数列，公比1q ≠，则（ ） A ．1
946a a a a +>+ B ．1946a a a a +<+
C ．1946a a a a +=+
D ．19a a +与46a a +的关系无法确定
9．在数列{}n a 中，已知11a =，1
133n n n a a ++=+，则10a 等于（ ）
A ．8193⨯
B ．9193⨯
C ．8283⨯
D ．9283⨯
10．设0a >，0b >.若2是2a 与2b 的等比中项，则ab 的取值范围是（ ） A ．1,02
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B ．1,02⎛⎫
-
⎪⎝⎭
C ．1,04⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
D ．1,04⎛⎫
-
⎪⎝⎭
11．已知台风中心位于城市A 北偏东α︒的150千米处，以v 千米/时沿正西方向快速移动，2小时后到达距城市A 北偏西β︒的200千米处.若3
sin sin 4
αβ=，则v =（ ） A ．60
B ．80
C ．100
D ．125
12．已知()19
60,0x y x y x y
+=++>>，则x y +的最小值为（ ） A ．6 B ．7
C ．8
D ．9
第II 卷（非选择题)
请点击修改第II 卷的文字说明
二、填空题
13．关于x 的一元二次不等式()
()2
2
3
10x a a x a a a R -++++≤∈的解集为
__________．
14．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．“中国剩余定理”讲的是关于带余除法的问题，现有这样一个问题：将2至2019这2018个整数中被5除余1且被7除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为_______． 15．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知
222
16．在等比数列{}n a 中，若201720192021201720192021a a a a a a =++，则2019a 的取值范围是__________.
三、解答题
17．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，已知11a =，
12b =，228a b +=．
（Ⅰ）若3315a b +=，求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）若314T ≤且n b N *
∈，求10S ．
18．已知函数()2
f x x bx c =++，不等式()0f x <的解集是()2,3.
（1）求()f x 的解析式；
（2）若对于任意[]3,3x ∈-，不等式()2
0f x t t -+≤恒成立，求t 的取值范围.
19．某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力及每天资源限额（最大供应量）如表所示：
若生产每吨甲、乙两种产品获得的利润分别为5万元、8万元，问：每天生产甲，乙两种产品各多少吨时，该厂获得最大利润？
20．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知23
A π= （Ⅰcos
B
C =，求C ；
（Ⅱ）若7a =，5b =，求()sin A B -的值．
21．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
()
2
2sin sin sin sin sin A C B A C -=-，8c =.
（1）求BC 边上的高；
（2）若ABC 为锐角三角形，求ABC 面积的取值范围.
22．已知数列{}n a 的前n 项和为2
2n S n n =-，．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2n n
n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若()()1
2242410n n T n n λ+≤⋅⋅-⋅++对任意()
*3n n ≥∈N 恒成立，求λ的取值范围．
参考答案
1．B 【解析】 【分析】
转化条件得a b >，举出反例可判断A 、C 、D ，由不等式的性质可判断B ，即可得解. 【详解】
由22ac bc >可得，a b >,
A 中，当0a =，1b =-时，220110a b -=-=-<，所以A 错误；
B 中，由a b >可得a c b c +>+，所以B 正确；
C 中，当0c <时，ac bc <，C 错误；
D 中，当0a b >>或0a b >>时，对数没有意义，所以D 错误． 故选：B. 【点睛】
本题考查了不等式与不等关系，属于基础题. 2．B 【解析】 【分析】
由等差数列的性质和前n 项和公式直接求解即可得解. 【详解】
因为320172a a +=， 所以()()
1201932017201920192019201922
a a a a S ++===．
故选：B. 【点睛】
本题考查了等差数列的性质和前n 项和公式的应用，属于基础题. 3．C 【解析】 【分析】
由题意找出规律：第n 个三角形数是123n +++⋅⋅⋅+，由等差数列的前n 项和公式即可得
解. 【详解】
根据图示的规律可知，第1个三角形数是1，第2个三角形数是123+=， 第3个三角形数是1236++=，第4个三角形数是123410+++=，…， 则第n 个三角形数是()
11232
n n n ⨯++++⋅⋅⋅+=
． 所以第8个三角形数是()
881362
⨯+=． 故选：C. 【点睛】
本题考查了观察法求数列通项的应用，属于基础题. 4．D 【解析】 【分析】
由正弦定理求得sin C ，进而可求得C ，即可得解. 【详解】
由正弦定理得sin sin 2
c A C a =
=
， 因为c a >，所以C A >，所以60C =︒或120︒． 当60C =︒时，()18090B A C =︒-+=︒； 当120C =︒时，()180B A C =︒-+30=︒． 故选：D. 【点睛】
本题考查了正弦定理解三角形的应用，属于基础题. 5．A 【解析】 【分析】
使用分离法可得()()4
131
f x x x =++-+，利用基本不等式即可得解. 【详解】
()()224
1311
x x f x x x x -+==++-++，
因为1x >-，所以10x +>，
所以()32231f x ≥=⨯-=， 当且仅当4
11
x x +=
+即1x =时，等号成立， 所以函数()f x 的最小值为1． 故选：A. 【点睛】
本题考查了基本不等式的应用，属于基础题. 6．C 【解析】 【分析】
由正弦定理得::2a b c =，再由余弦定理即可得解. 【详解】
由sin :sin :sin 1:2A B C =及正弦定理得::2a b c =，
设a k =，0k >，则b =，2c k =．由余弦定理得222431
cos 222
k k k B k k +-==⨯⨯，
又()0,180B ∈，所以60B =．
故选：C. 【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于基础题. 7．B 【解析】 【分析】
由题意画出可行域，转化目标函数2z x y =+为11
22
y x z =-+，数形结合即可得解. 【详解】
由约束条件可得可行域，如图阴影部分所示．
对于目标函数2z x y =+，可化为1122y x z =-
+， 要使z 取最大值，可知直线11
22
y x z =-+过B 点时取得．
由02x y x -=⎧⎨=⎩得2
2x y =⎧⎨=⎩
即()2,2B ，
所以max 2226z =+⨯=． 故选：B.
【点睛】
本题考查了简单的线性规划，属于基础题. 8．A 【解析】 【分析】
作差化简得()(
)()3
5
1946111a a a a a q q +-+=--，根据1q >、01q <<讨论差的正负即
可得解. 【详解】
()()()()()35335194614961111111a a a a a a a a a q a q q a q q +-+=-+-=-+-=--．
因为0a >，0q >，1q ≠，
所以若1q >，则310q -<，5
10q -<，所以(
)()3
51110a q
q -->，
所以1946a a a a +>+；
若01q <<，则310q ->，5
10q ->，所以(
)()3
5
1110a q
q -->，
所以1946a a a a +>+.
所以恒有1946a a a a +>+． 故选：A. 【点睛】
本题考查了等比数列通项公式的应用，考查了作差法比较大小，属于中档题. 9．D 【解析】 【分析】 由已知可得3n n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列，求出其通项公式，进而求出{}n a 通项公式即可.
【详解】
由1
133n n n a a ++=+可得
11133
n n
n n a a ++-=， 所以数列3n n
a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是以1133a =为首项， 1为公差的等差数列， 所以
()121333
n n a n n =+-=-， 所以233n
n a n ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
，所以910283a =⨯. 故选:D. 【点睛】
本题考查数列的递推公式的问题，等价转化为等差数列的通项公式，考查计算求解能力，属于基础题. 10．C 【解析】 【分析】
由已知可得，2a b +=，求出01ab <≤()01t t =<≤，
()
201ab t t t =-<≤，根据二次函数的性质，即可求解.
【详解】
因为2和2a 与2b 的等比中项，所以2222a b =⋅， 即222b α+=，所以2a b +=，所以2
12a b ab +⎛⎫
≤= ⎪⎝⎭
.
()01t t =<≤，则()2
01ab t t t =-<≤.
设()()2
01g t t t t =-<≤，该二次函数图象的对称轴为1
2
t =
， 所以()min 1124g t g ⎛⎫==-
⎪⎝⎭
，()()max 10g t g ==，
所以ab 的取值范围是1,04⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦.
故选:C. 【点睛】
本题考查代数式的取值范围，考查了等比中项、基本不等式、二次函数的性质等基础知识，意在考查逻辑推理、计算求解能力，属于中档题. 11．D 【解析】 【分析】
如图所示，分别在Rt ADB ，Rt ADC ，
求出AD ，建立,αβ关系，结合已知，求出sin α，sin β，进而得出,BD CD ，即可求解.
【详解】
如图所示，150AB =，200AC =，BAD ∠=α，CAD β∠=. 在Rt ADB 中，cos 150cos AD AB αα==，
sin 150sin BD AB αα==.
在Rt ADC 中，cos 200cos AD AC ββ==，
sin 200sin CD AC ββ==，
所以150cos 200cos αβ=，即3cos 4cos αβ=①，
又3sin sin 4
αβ=②， 由①②解得4sin 5β=，3cos 5β=，3sin 5α=，4cos 5α=. 所以3sin 150905
BD AB α==⨯=， 4sin 2001605
CD AC β==⨯=， 所以90160250BC BD CD =+=+=， 所以2501252
v =
=. 故选:D.
【点睛】
本题考查解直角三角形、同角间的三角函数关系、三角方程的求解，考查计算能力，属于中档题.
12．C
【解析】
【分析】
由已知可得()()()196x y x y x y x y ⎛⎫+-⋅+=+⋅+ ⎪⎝
⎭，再由基本不等式可得 ()()616x y x y +-⋅+≥，求解关于x y +的二次不等式，即可得出结论.
【详解】 由196x y x y +=++，可得196x y x y
+-=+.
两边同时乘以x y +，可得()()()196x y x y x y x y ⎛⎫+-⋅+=+⋅+ ⎪⎝⎭
.
因为()199101016y x x y x y x y ⎛⎫+⋅+=++≥+= ⎪⎝⎭
， 当且仅当3y x =，即2x =，6y =时，等号成立，
则()()616x y x y +-⋅+≥，即()()2
6160x y x y +-+-≥， 解得2x y +≤-（舍去）或8x y +≥.
故选:C.
【点睛】
本题考查代数式的范围、基本不等式、一元二次不等式，根据条件构造应用基本不等式是解题的关键，属于中档题.
13．{}21x a x a ≤≤+
【解析】
【分析】
转化条件得()()
210x a x a --+⎤⎣⎦≤⎡，由一元二次不等式的解法可直接得解. 【详解】
不等式()22310x a a x a a -++++≤可化为()()
210x a x a --+⎤⎣⎦≤⎡， 易得21a a +>，所以该不等式的解集为{}21x a x a ≤≤+． 故答案为：{}
21x a x a ≤≤+.
【点睛】
本题考查了含参的一元二次不等式的解法，属于基础题.
14．57
【解析】
【分析】
由题意可得351n a n =+，令2019n a ≤，求出n 的最大值即可得解.
【详解】
被5除余1且被7除余1的数就是被35除余1的数，故351n a n =+．
由3512019n a n =+≤可得n 可取的最大整数为57，故此数列最后一项的项数为57． 故答案为：57.
【点睛】
本题考查了数列通项公式的应用，属于基础题.
15．32
【解析】
【分析】
由正弦定理得sin A =3bc =，再利用面积公式1sin 2
S bc A =即可得解. 【详解】
由已知条件及正弦定理可得2sin sin sin sin B C A B C =，
易知sin sin 0B C ≠，所以sin A =， 又2226b c a +-=，所以2223cos 2b c a A bc bc
+-==，
所以cos 0A >，所以cos 2A ，即32
bc =，bc =，
所以ABC 的面积113sin 222S bc A =
=⨯=． 故答案为：
32
. 【点睛】 本题考查了正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，属于中档题.
16．()
,-∞⋃+∞
【解析】
【分析】
设等比数列{}n a 公比为q ，2019a x =，已知等式化为222
11x q q =++，再应用基本不等式求出2x 的范围，即可求解.
【详解】
在等比数列{}n a 中，201720192021201720192021a a a a a a =++，
设公比为q ，2019a x =，依题意，得32211x x q q ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭
， 所以22211213x q q
=++≥+=，当且仅当21q =时取等号，
所以x ≥x ≤
所以2019a 的取值范围是()
,-∞⋃+∞.
【点睛】
本题考查等比数列的性质、基本不等式，考查计算求解能力，属于中档题.
17．（Ⅰ）32n a n =-，2n n b =；（Ⅱ）10235S =或10145S = 【解析】
【分析】
（Ⅰ）转化条件得27d q +=，27d q +=，联立方程组求出公差d 、公比q 即可得解；
（Ⅱ）由题意得260q q +-≤，解不等式后结合n b N *∈即可得1q =或2q ，分别求出
公差d 后利用等差数列前n 项和公式即可得解.
【详解】
设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ．由228a b +=，得27d q +=．①．
（Ⅰ）由3315a b +=得27d q +=．②，联立①和②解得0,7q d =⎧⎨=⎩（舍去）或2,3.
q d =⎧⎨=⎩ 因此{}n a 的通项公式为32n a n =-，{}n b 的通项公式为2n n b =．
（Ⅱ）由12b =，314T ≤得260q q +-≤．解得32q -≤≤，
又因为12b =，n b N *∈，
所以1q =或2q ．
当1q =时，由①得5d =，则101109102352S a d ⨯=+
=， 当2q 时，由①得3d =，则101109101452
S a d ⨯=+=． 综上：10235S =或10145S =
【点睛】
本题考查了等差数列和等比数列基本量的计算，考查了等差数列和等比数列前n 项和公式的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.
18．（1）()256f x x x -=+；（2）(][),56,-∞-+∞
【解析】
【分析】
（1）由已知可得2,3为方程(0)f x =的解，根据根与系数关系，即可求解；
（2）不等式()2
0f x t t -+≤恒成立，只需2max (),[3,3]f x t t x ≤-∈-，根据二次函数的性质，求出max ()f x 即可.
【详解】
（1）由不等式()0f x <的解集是()2,3知，
2和3是方程20x bx c ++=的两个根.
由根与系数的关系，得2323b c -=+⎧⎨
=⨯⎩，即56b c =-⎧⎨=⎩. 所以()256f x x x -=+.
（2）不等式()2
0f x t t -+≤对于任意[]3,3x ∈-恒成立， 即()2
f x t t ≤-对于任意[]3,3x ∈-恒成立. 由于()256f x x x -=+的对称轴是52
x =， 当3x =-时，()f x 取最大值，()()max 330f x f =-=，
所以只需230t t -≥，即2300t t --≥.解得5t ≤-或6t ≥.
故t 的取值范围为(]
[),56,-∞-+∞.
【点睛】 本题考查函数的解析式，注意二次函数、一元二次方程和一元二次不等式三个“二次”之间的关系，考查不等式恒成立问题，属于中档题.
19．每天生产甲种产品10吨，乙种产品30吨时，该厂获得最大利润
【解析】
【分析】
由题意设此工厂每天分别生产甲、乙两种产品x 吨、y 吨，获得利润z 万元，写出约束条件84320,34150,48280,0,0.x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩
后，画出可行域，转化目标函数58z x y =+为5188y x z =-+，数形结合即可得解.
【详解】
设此工厂每天分别生产甲、乙两种产品x 吨、y 吨，获得利润z 万元，
依题意可得约束条件84320,34150,48280,0,0.x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩
作出可行域，如图阴影部分所示．
利润目标函数58z x y =+． 由几何意义知，当直线5188
y x z =-+经过可行域上的点M 时，58z x y =+取最大值． 解方程组34150,48280x y x y +=⎧⎨+=⎩得10,30,
x y =⎧⎨=⎩即()10,30M ．
所以每天生产甲种产品10吨，乙种产品30吨时，该厂获得最大利润．
【点睛】
本题考查了利用简单线性规划解决实际问题，考查了转化化归思想，属于中档题.
20．（Ⅰ）6C π=
；（Ⅱ）7 【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题意3B C π+=cos 3C C ⎛⎫ ⎪⎝=⎭π-，利用两角差的正弦公式化简后即可直接得解；
（Ⅱ）由正弦定理得sin B =11cos 14B =，再用两角差的正弦公式即可得解.
【详解】
（Ⅰ）因为23A π=，所以3B C π+=，
cos 3C C ⎛⎫ ⎪⎝=⎭π-，即3cos sin cos 22
C C C -=，
即1cos 22C C =，得3tan 3
C ．又()0,C π∈，所以6C π=．
（Ⅱ）由正弦定理，得752sin 3
sin B =π，所以sin B =
又因0,3B π⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭，所以11cos 14
B ==.
所以()111sin sin cos cos sin 142A B A B A B -=-=
+． 【点睛】
本题考查了两角差正弦公式的应用和正弦定理的应用，属于中档题.
21．（1）（2）(
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理角化边，再由余弦定理求出B ，结合c 边长，即可求解；
（2）
由面积公式得ABC S =△，再由正弦定理和两角差的正弦公式，将a 表示为角C 的函数，求出C 角范围，即可求出结论.
【详解】
（1）由()2
2sin sin sin sin sin A C B A C -=-及正弦定理，
得222a c b ac +-=. 由余弦定理，得2221cos 222
a c
b a
c B ac ac +-===. 又()0,B π∈，所以3B π
=.
所以BC
边上的高sin 3
h c π==. （2）由题设及（1
）知，18sin 23
ABC S a π=⨯⨯=△.
由正弦定理，得28sin sin 34sin sin tan C c A a C C C
π⎛⎫- ⎪⎝⎭===+. 由于ABC 为锐角三角形，故02A π<<，02C <<π. 由（1）知，23A C π+=，所以62
C ππ<<. 所以416a <<.
所以ABC S <<△所以，ABC
面积的取值范围是(.
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换解三角形，以及求三角形面积范围，考查计算求解能力，属于中档题.
22．（Ⅰ）23n a n =-；（Ⅱ）()110225n n T n +=+⨯-；（Ⅲ）1,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用n a 与n S 之间的关系直接求解即可；
（Ⅱ）由()223n
n b n =⋅-，利用错位相减法即可直接得解； （Ⅲ）转化条件得()()
252424n n n λ-≥-+对任意()3n n N *≥∈恒成立，设()251n t t -=≥，则()()()
()2119109t t g t t t t t t =
=≥++++，利用基本不等式求出()g t 的最大值即可得解. 【详解】 （Ⅰ）已知22n S n n =-．
当2n ≥时，()()2
21212123n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦
； 当1n =时，2111211a S ==-⨯=-，也适合上式．
所以23n a n =-．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得()223n
n b n =⋅-， 所以()()()234121212325225223n n n T n n -=⨯-+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-+⨯-，① ()()()23451221212325225223n n n T n n +=⨯-+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-+⨯-．②
②-①可得()()
231(222)22223n n n T n +=+-⨯++⋅⋅⋅++⨯-()()
()2-112122222312
n n n +-=+-⨯+⨯--()110225n n +=+⨯-． （Ⅲ）要使()()12
242410n n T n n λ+≤⋅⋅-++对任意()3n n N *≥∈恒成立， 只需()()
252424n n n λ-≥-+对任意()3n n N *≥∈恒成立， 设()251n t t -=≥，则()()()
()2119109t t g t t t t t t ==≥++++． 则只需()g t λ≥在1t ≥恒成立即可．
(
)21191091610t g t t t t t ==≤=++++，
当且仅当
9
t
t
=即3
t=时（此时4
n=）取等号，
所以
1
16
λ≥．故λ的取值范围为
1
,
16
⎡⎫
+∞⎪
⎢⎣⎭．
【点睛】
本题考查了利用n a与n S之间的关系求数列通项、错位相减法求数列前n项和的应用，考查了利用基本不等式求最值和恒成立问题的解决办法，属于中档题.。