关于反函数几类问题的解答

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关于反函数几类问题的解答
反函数及互为反函数图像的关系是中学数学教学中的重点难点之一，本文将讨论反函数教学中的几类问题的解答。

一、“象”与“原象”的问题
根据反函数定义，函数y=f(x)与y=f —1(x)中的自变量和函数处在一种对换的关系。

即函数y=f(x)
表示定义域A 中的元素x 0（即原象）在“f”的作用下得到值域C 中的元素y 0（即象）。

而它的反函数y=f —1(x)恰好将C 中的元素y 0作用成A 中的元素x 0。

例1．若f(x)=3x —2，则f —1[f(x)]等于 （ ）
A. x+89
B. 9x —8
C. x
D. 3x —2 解： ∵f(x)是将“x ”加2成“y ”，而f —1(y)是将y 作用成x ，
∴f —1[f(x)]=x 。

故选（C ）
例2．已知f(x)=10X —1—2，则f —1 (8)等于（ ）
A ．2 B. 4 C. 8 D. 12
解：由互为反函数“象”与“原象”的对换关系，只需求出f(x)=8中的x 的值，由10X —1—2=8得
x=2，故选（A ）
二、定义域和值域问题
函数y=f(x)的定义域为A ，值域为C ，则其反函数y=f —1(x)的定义域为C ，值域为A 。

例3．函数f(x)=—12
.x 2—1 （x ≤—1）的反函数的定义域为（ ） A ．（—∞，0） B ．（—∞，+∞）
C ．（—1，1）
D ．（—∞，—1）∪（1，+∞）
解：因反函数定义域即原函数的值域，故只需求出f(x)的值域。

∵x ≤—1 ∴x 2≥1
x 2—1≥0 ∴—12
. x 2—1 ≤0 即 f (x)∈(—∞，0] 因此f —1(x)的定义域为(—∞，0] ∴选（A ）
三、奇偶性与单调性问题
互为反函数的两个函数， 其奇偶性，单调性有以下定理。

定理1：若函数y=f(x)（x ∈A ）是奇函数，且存在反函数，则它的反函数y=f —1(x) （x ∈C ）也是
奇函数。

证明：∵y=f(x)是奇函数 ∴f(—x)=—f(x) 即f(—x)=—y 。

由互为反函数“象”与“原象”的
对换法可得f —1(—y)=—x ， 又f —1(y)=x ，故f —1(—y)=—f —1(y)=，（y ∈C ），即对任x ∈C ，均有f —1(—x)=
—f —1(x)故y= f —1(x)是奇函数。

定理2：若函数y=f(x)（x ∈A ）是增（减）函数，则它的反函数y= f —1(x)(x ∈C)也是增（减）函
数。

证明：设 x 1,x 2∈C ，且x 1<x 2，由反函数的定义可知 ，在A 中必有两个元素t 1 , t 2 ，使f(t 1)=x 1 ,
f(t 2)=x 2 ,从而f —1(x 1)=t 1 , f —1(x 2)=t 2 ,又∵x 1<x 2 , ∴f ( t 1 ) < f ( t 2 ) ，由于y = f ( x )
是增函数，所以t 1<t 2，即
f —1(x 1)< f —1(x 2) ∴y= f —1(x)(x ∈C)也是增函数。

同理可证f(x)递减时f —1(x)也递减。

说明：① 由上述定理可知，原反函数之间具有相同的奇偶性和单调性。

②偶函数一般不存在反函数，只有当其定义域为单元集{0}时才有反函数，如函数f(x)=0 x ∈{0}反函
数是f —1(0)=0 x ∈{0}
例4．函数f(x)的反函数是减函数且f(x)>0，则下列函数中为增函数的是（ ）
A. y f(x)
B. y=—1f(x)
C. y=log 2f(x)
D. y=(12
)f(x) 解：∵f —1(x)是减函数，∴f(x)也是减函数，结合复合函数“同增异减”的原则易知选（D ）
例5．函数y=
2x
x e e 的反函数为（ ） A ．奇函数，且它在（0，+∞）上是减函数 B ．是奇函数，且它在（0，+∞）上是减函数
C ．是奇函数，且它在（0，+∞）上是增函数
D ．是偶函数，且它在（0，+∞）上是增函数
解：∵函数y=e X , y=—e —X
都是增函数，所函数y=2x
x e e （x ∈R ）是增函数。

又f(x)不可能是偶函数（偶函数没有反函数），∴f(x)是奇函数。

根据互为反函数奇偶性与单调性相同的法则知f —1(x) 奇且增，故选（C ）
四、图象及交战问题
定理：互为反函数图象关于直线y=x 对称。

应用该定理研究两图象还应有以下结论。

结论1 .互为反函数的两个函数y=f(x)和y=f —1(x)的图象如果有交点，那么至少有一个交点在直
线y=x 上。

证明：设y=f(x)和y=f —(x)的图象分别为C 与C ’，C 与C ’交于点P （x 0 ,
y 0），若x 0 ,=y 0，则结论成立。

若x 0 ≠y 0 ，即点P 在直线y=x 外，则两图象中必
有其一从y=x 的一侧延伸到另一侧的P 点，从而与直线y=x 交于一点Q （如图）。

因两图象关于这条直线y=x 对称，故点Q 必在另一图象上。

而两图象的交点Q
在直线y=x 上。

结论2：函数y=f(x)的图象C 与其反函数y=f —1(x)的图象C 若有公共点，则这些点或在直线y=x
上或关于直线y=x 成对地对称地出现。

证明：设点A(a,b)是C ，C ’的公共点。

若a=b ，则A(a,b)在直线y=x 上，若A(a,b)不在直线y=x 上，则由C ，C ’关于直线y=x 对称可知：(a,b)∈C →(b,a) ∈C ’；又（a,b ）∈C’ →(b,a) ∈C 因此点(b,a)也是C ，C ’的公共点，从而结论成立。

结论3：单增函数y-=f(x)与其反函数y=f —1(x)图象的交点一定在直线y=x 上。

证明：若P(x 0,y 0)是y=f(x)图象C 与y=f —1(x)的图象C ’的交点，由定理可知：P(x 0,y 0),P’(y 0,x 0)
都在y=f(x)的图象C 上，∴y 0=f(x 0),x 0=f(y 0)假如y 0≠x 0不妨设x 0<y 0，则f(y 0)<f(x 0)，又因y=f(x)是奇函数，∴y 0<x 0这与x 0<y 0相矛盾，故只能x 0=y 0，即交点P （x 0,y 0）一定在直线y=x 上。

综合以上结论又可得：
结论4：减函数及其反函数的图象如果相交，那么其交点可能不都在直线y=x 上，若这直线外还有交点，则这种交点以这直线为对称轴成对地出现。

例6 函数y=ax+b 的图象与它的反函数的图象有一个公共点P （1，2），则a,b 的值为（ ）
A. a=3 , b=7
B. a=—3 , b=7
C. a=—3 , b=—7
D. a=3 , b=—7
解：∵P(1,2) 在 y=ax+b 的图象上，又在其反函数图象上，
P 关于直线y = x 的对称点P ’( 2 , 1 )在函数y = ax+b 上，从而
2=a+b ① 1= ax+b …②同时成立。

解①②可得a=—3,b=7所以选（B ）
例7 若函数y=x —m 与其反函数的图象有公共点，则m 的取值范围是（ ）
A. m≥14
B. m≤14
C. m≥0
D. m≤0 解：由结论1：y=x —m 与其反函数的图象有公共点，则其中至少有一个在直线y=x 上，即y=x —m
的图象与y=x 也有公共点，联立方程组 可得：x 2—x+m=0，由Δ≥0得m≤14
，故选（B ） 五、自反问题 结论5 函数y=f(x)与其反函数y=f —1（x ）相同的充要条件是f[f(x)]=x
证明：∵y=f(x)与其反函数y=f —1（x ）相同，所以x= f —1（y ）=f(y)，将 y=f(x)代入得x=f[f(x)]
反之若f[f(x)]=x ，则将y=f(x)代入得：f(y)=x 这表明反函数y=f —1（x ）的表达式与y=f(x)相同，故结论为真。

结论6 若函数y=f(x)与其反函数y=f —1（x ）相同，则它的图象本身一定对称于直线y=x ，反之，
若一个函数y=f(x)的图象自身对称于直线y=x ，且存在反函数y=f —1（x ），则f(x)=f —1（x ）.
证明：若y=f(x)与y=f —1（x ）相同，则有x=f(y)，于是点（x,y ）、（y,x ）都满足y=f(x)，故曲
线本身关于直线y=x 对称，反之亦然。

例8 若函数f(x)=x —2x+m
的反函数f —1（x ）=f(x)则m 的值是（ ） A. 1 B. —1 C. 3 D. —2
解：∵f(x)=x —2x+m ∴f[f(x)]=—x —2(m+1)(m+1)x+m 2—2 由结论5得—x —2(m+1)(m+1)x+m 2—2
=x ∴ y=x —m y=x
m+1=0
m 2—2=—1
3 m=—1 ∴选（B ）
例9已知函数f(x)=log a (a —k ·ax)(a>1,k ∈R)当k 为何值时f(x)的图象自身关于直线y=x 对称？
解：由结论5、6，f(x)图象自身关于直线y=x 对称 f(x)=f —
∵a (a —k ·a f(x))= log
a [a —k ·)
(log x a ka a a ]
a [a —k ·(a —k ·a x )]=log a [k 2a x +a —ka]
∴log a [k 2a x +a —ka]=x ∴k 2a x +a —ka=a x
即(k 2—1)·a x +a —ka=0 对定义域中x 都成立，
∴ k = 1
∴当k=1时，f(x)的图象自身关于直线y=x 对称。

k 2—1=0 a —ka=0。