关于反函数几类问题的解答

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关于反函数几类问题的解答

反函数及互为反函数图像的关系是中学数学教学中的重点难点之一,本文将讨论反函数教学中的几类问题的解答。

一、“象”与“原象”的问题

根据反函数定义,函数y=f(x)与y=f —1(x)中的自变量和函数处在一种对换的关系。即函数y=f(x)

表示定义域A 中的元素x 0(即原象)在“f”的作用下得到值域C 中的元素y 0(即象)。而它的反函数y=f —1(x)恰好将C 中的元素y 0作用成A 中的元素x 0。

例1.若f(x)=3x —2,则f —1[f(x)]等于 ( )

A. x+89

B. 9x —8

C. x

D. 3x —2 解: ∵f(x)是将“x ”加2成“y ”,而f —1(y)是将y 作用成x ,

∴f —1[f(x)]=x 。故选(C )

例2.已知f(x)=10X —1—2,则f —1 (8)等于( )

A .2 B. 4 C. 8 D. 12

解:由互为反函数“象”与“原象”的对换关系,只需求出f(x)=8中的x 的值,由10X —1—2=8得

x=2,故选(A )

二、定义域和值域问题

函数y=f(x)的定义域为A ,值域为C ,则其反函数y=f —1(x)的定义域为C ,值域为A 。

例3.函数f(x)=—12

.x 2—1 (x ≤—1)的反函数的定义域为( ) A .(—∞,0) B .(—∞,+∞)

C .(—1,1)

D .(—∞,—1)∪(1,+∞)

解:因反函数定义域即原函数的值域,故只需求出f(x)的值域。∵x ≤—1 ∴x 2≥1

x 2—1≥0 ∴—12

. x 2—1 ≤0 即 f (x)∈(—∞,0] 因此f —1(x)的定义域为(—∞,0] ∴选(A )

三、奇偶性与单调性问题

互为反函数的两个函数, 其奇偶性,单调性有以下定理。

定理1:若函数y=f(x)(x ∈A )是奇函数,且存在反函数,则它的反函数y=f —1(x) (x ∈C )也是

奇函数。

证明:∵y=f(x)是奇函数 ∴f(—x)=—f(x) 即f(—x)=—y 。由互为反函数“象”与“原象”的

对换法可得f —1(—y)=—x , 又f —1(y)=x ,故f —1(—y)=—f —1(y)=,(y ∈C ),即对任x ∈C ,均有f —1(—x)=

—f —1(x)故y= f —1(x)是奇函数。

定理2:若函数y=f(x)(x ∈A )是增(减)函数,则它的反函数y= f —1(x)(x ∈C)也是增(减)函

数。

证明:设 x 1,x 2∈C ,且x 1

f(t 2)=x 2 ,从而f —1(x 1)=t 1 , f —1(x 2)=t 2 ,又∵x 1

是增函数,所以t 1

f —1(x 1)< f —1(x 2) ∴y= f —1(x)(x ∈C)也是增函数。

同理可证f(x)递减时f —1(x)也递减。

说明:① 由上述定理可知,原反函数之间具有相同的奇偶性和单调性。

②偶函数一般不存在反函数,只有当其定义域为单元集{0}时才有反函数,如函数f(x)=0 x ∈{0}反函

数是f —1(0)=0 x ∈{0}

例4.函数f(x)的反函数是减函数且f(x)>0,则下列函数中为增函数的是( )

A. y f(x)

B. y=—1f(x)

C. y=log 2f(x)

D. y=(12

)f(x) 解:∵f —1(x)是减函数,∴f(x)也是减函数,结合复合函数“同增异减”的原则易知选(D )

例5.函数y=

2x

x e e 的反函数为( ) A .奇函数,且它在(0,+∞)上是减函数 B .是奇函数,且它在(0,+∞)上是减函数

C .是奇函数,且它在(0,+∞)上是增函数

D .是偶函数,且它在(0,+∞)上是增函数

解:∵函数y=e X , y=—e —X

都是增函数,所函数y=2x

x e e (x ∈R )是增函数。又f(x)不可能是偶函数(偶函数没有反函数),∴f(x)是奇函数。根据互为反函数奇偶性与单调性相同的法则知f —1(x) 奇且增,故选(C )

四、图象及交战问题

定理:互为反函数图象关于直线y=x 对称。应用该定理研究两图象还应有以下结论。

结论1 .互为反函数的两个函数y=f(x)和y=f —1(x)的图象如果有交点,那么至少有一个交点在直

线y=x 上。

证明:设y=f(x)和y=f —(x)的图象分别为C 与C ’,C 与C ’交于点P (x 0 ,

y 0),若x 0 ,=y 0,则结论成立。若x 0 ≠y 0 ,即点P 在直线y=x 外,则两图象中必

有其一从y=x 的一侧延伸到另一侧的P 点,从而与直线y=x 交于一点Q (如图)。

因两图象关于这条直线y=x 对称,故点Q 必在另一图象上。而两图象的交点Q

在直线y=x 上。

结论2:函数y=f(x)的图象C 与其反函数y=f —1(x)的图象C 若有公共点,则这些点或在直线y=x

上或关于直线y=x 成对地对称地出现。

证明:设点A(a,b)是C ,C ’的公共点。若a=b ,则A(a,b)在直线y=x 上,若A(a,b)不在直线y=x 上,则由C ,C ’关于直线y=x 对称可知:(a,b)∈C →(b,a) ∈C ’;又(a,b )∈C’ →(b,a) ∈C 因此点(b,a)也是C ,C ’的公共点,从而结论成立。

结论3:单增函数y-=f(x)与其反函数y=f —1(x)图象的交点一定在直线y=x 上。

证明:若P(x 0,y 0)是y=f(x)图象C 与y=f —1(x)的图象C ’的交点,由定理可知:P(x 0,y 0),P’(y 0,x 0)

都在y=f(x)的图象C 上,∴y 0=f(x 0),x 0=f(y 0)假如y 0≠x 0不妨设x 0

综合以上结论又可得:

结论4:减函数及其反函数的图象如果相交,那么其交点可能不都在直线y=x 上,若这直线外还有交点,则这种交点以这直线为对称轴成对地出现。

例6 函数y=ax+b 的图象与它的反函数的图象有一个公共点P (1,2),则a,b 的值为( )

A. a=3 , b=7

B. a=—3 , b=7

C. a=—3 , b=—7

D. a=3 , b=—7

解:∵P(1,2) 在 y=ax+b 的图象上,又在其反函数图象上,

P 关于直线y = x 的对称点P ’( 2 , 1 )在函数y = ax+b 上,从而

2=a+b ① 1= ax+b …②同时成立。解①②可得a=—3,b=7所以选(B )

例7 若函数y=x —m 与其反函数的图象有公共点,则m 的取值范围是( )

A. m≥14

B. m≤14

C. m≥0

D. m≤0 解:由结论1:y=x —m 与其反函数的图象有公共点,则其中至少有一个在直线y=x 上,即y=x —m

的图象与y=x 也有公共点,联立方程组 可得:x 2—x+m=0,由Δ≥0得m≤14

,故选(B ) 五、自反问题 结论5 函数y=f(x)与其反函数y=f —1(x )相同的充要条件是f[f(x)]=x

证明:∵y=f(x)与其反函数y=f —1(x )相同,所以x= f —1(y )=f(y),将 y=f(x)代入得x=f[f(x)]

反之若f[f(x)]=x ,则将y=f(x)代入得:f(y)=x 这表明反函数y=f —1(x )的表达式与y=f(x)相同,故结论为真。

结论6 若函数y=f(x)与其反函数y=f —1(x )相同,则它的图象本身一定对称于直线y=x ,反之,

若一个函数y=f(x)的图象自身对称于直线y=x ,且存在反函数y=f —1(x ),则f(x)=f —1(x ).

证明:若y=f(x)与y=f —1(x )相同,则有x=f(y),于是点(x,y )、(y,x )都满足y=f(x),故曲

线本身关于直线y=x 对称,反之亦然。

例8 若函数f(x)=x —2x+m

的反函数f —1(x )=f(x)则m 的值是( ) A. 1 B. —1 C. 3 D. —2

解:∵f(x)=x —2x+m ∴f[f(x)]=—x —2(m+1)(m+1)x+m 2—2 由结论5得—x —2(m+1)(m+1)x+m 2—2

=x ∴ y=x —m y=x

m+1=0

m 2—2=—1

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