专题一 第3讲 不等式
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第3讲 不等式
[考情分析] 1.不等式的解法是数学的基本功，在许多题目中起到工具作用.2.线性目标函数的最值常和代数式的几何意义(如斜率、截距、距离等)结合考查；求最值和不等式恒成立问题常用到基本不等式.3.题型多以选择题、填空题形式考查，中等难度． 考点一 不等式的性质与解法 核心提炼
1．不等式的倒数性质 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b .
(2)a <0
b .
(3)a >b >0,0
d
.
2．不等式恒成立问题的解题方法
(1)f (x )>a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )min >a ，x ∈I ；f (x )g (x )对一切x ∈I 恒成立⇔当x ∈I 时，f (x )的图象在g (x )的图象的上方． (3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法．
例1 (1)若p >1,0 n C ．m － p p D ．log m p >log n p 答案 D 解析 方法一 设m ＝14，n ＝1 2 ，p ＝2，逐个代入可知D 正确． 方法二 对于选项A ，因为0 n <1，又p >1，所以0<⎝⎛⎭⎫m n p <1，故A 不正确；对于选项B ，p －m p －n －m n ＝(p －m )n －m (p －n )n (p －n )＝p (n －m )n (p －n )>0，所以p －m p －n >m n ，故B 不正确；对于 选项C ，由于函数y ＝x －p 在(0，＋∞)上为减函数，且0 A ．(－∞，2] B ．(－∞，4] C ．[2，＋∞) D ．[4，＋∞) 答案 D 解析 由题意，得⎩⎪⎨ ⎪⎧ －1＋3＝－b －2＝b 2 ， －1×3＝－c 2 ，解得⎩ ⎪⎨⎪⎧ b ＝4， c ＝6，所以f (x )＝－2x 2＋4x ＋6.因为对任 意的x ∈[－1,0]，f (x )＋m ≥4恒成立，所以对任意的x ∈[－1,0]，m ≥2x 2－4x －2恒成立，又y ＝2x 2－4x －2在[－1,0]上的最大值为4，所以m ≥4. 易错提醒 求解含参不等式ax 2＋bx ＋c <0恒成立问题的易错点 (1)对参数进行讨论时分类不完整，易忽略a ＝0时的情况． (2)不会通过转换把参数作为主元进行求解． (3)不考虑a 的符号． 跟踪演练1 (1)已知函数 f (x )＝⎩⎨⎧ 3，x <12 ， 1x ，x ≥1 2， 则不等式x 2f (x )＋x －2≤0的解集是 ________________． 答案 {x |－1≤x ≤1} 解析 由x 2f (x )＋x －2≤0，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x <12，3x 2＋x －2≤0或⎩⎨⎧ x ≥1 2，x 2·1x ＋x －2≤0， 即⎩⎨⎧ x <1 2，－1≤x ≤2 3 或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12， x ≤1， ∴－1≤x <12或1 2 ≤x ≤1， ∴原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}． (2)若不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎫－2，65 B.⎣ ⎡⎭⎫－2，6 5 C.⎣⎡⎦⎤－2，65 D.⎣ ⎡⎭⎫－2，6 5∪{2} 答案 B 解析 当a 2－4＝0时，解得a ＝2或a ＝－2， 当a ＝2时，不等式可化为4x －1≥0，解集不是空集，不符合题意； 当a ＝－2时，不等式可化为－1≥0，此式不成立，解集为空集． 当a 2－4≠0时，要使不等式的解集为空集， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－4<0，Δ＝(a ＋2)2＋4(a 2－4)<0，