对滚动摩擦的探讨

对滚动摩擦的探讨

四川省宣汉中学――陈甜

刚体（Rigid body）：在任何力的作用下，体积和形状都不发生改变的物体。

力矩(torque)：作用力使物体绕着转动轴或支点转动的趋向,称为力矩。力F和力臂L的乘积叫做力对转动轴的力矩M。即：M=F·L

力偶（couple）：大小相等、方向相反而不共线的两个平行力所组成的力系，称为力偶。

力偶矩：力偶对物体产生转动效应。力偶的二力对空间任一点之矩的和是一常矢量，称为力偶矩。力偶矩是大小相等、方向相反的一对平行力的力矩。

一、提出问题：

我们常说：“当一个物体在另一个物体上滚动时，物体所受到的的

摩擦，叫做滚动摩擦”。我们分析一个在粗糙水平面上作无滑滚动的均

质圆柱体时（质心平动速度为Ｖ０），发现由于圆柱体的水平面的接触点

Ｐ相对于水平面的速度VＰ＝０（如图一），所以这时产生的摩擦力是静摩擦力。那么，什么是滚动摩擦呢？滚动摩擦是“滚动摩擦力”吗？是静摩擦力吗？它们之间是否有区别。

二、滚动摩擦存在的依据：

在粗糙水平面上作无滑滚动的均质圆柱体，除了受到重力Ｇ和水平面对它的支持力Ｎ和静摩擦力f以外（如图二），在没有其它阻力的情况下会不会永远地滚动下去呢？

从能量观点看：如果没有其它阻力的作用，由于粗糙水平面对圆

柱体的静摩擦力f不做功，支持力Ｎ也不做功。圆柱体在运动过程中

没有机械能损失，圆柱体似乎应该永远滚动下去。但实际上，圆柱体

是越滚越慢，最后停下来，那么，是什么因素阻碍圆柱体的滚动呢？

从力的观点看：（如图二），圆柱体受到粗糙水平面的静摩擦力f，

由于f与质心平动速度Ｖ０方向相反，圆柱f使其质心平动速度Ｖ０要减小；但圆柱体在力f 对质心Ｏ的力矩作用下，转动角速度ω却要增大。根据圆柱体只滚不滑

的运动学条件：Ｖ０＝Ｒω，Ｖ０要减小，而ω要增大，这显然是不符合

圆柱体只滚不滑的条件的。反之，静摩擦力f与Ｖ０的方向相同，如图三，

f使质心的平动速度Ｖ０增大，而使转动角速度ω减小，这也是不符合刚

体只滚动不滑动的条件的，可见，在这种情况下，圆柱体沿水平面作无

滑动的滚动，最后停下来的原因，既不是滑动摩擦力也不是静摩擦力。若静摩擦力f为零，上述矛盾可以消除，但在粗糙水平面上滚动，一般情况下，静摩擦力f不为零。因此，圆柱体滚动时，一定存在着阻碍滚动的其它因素——滚动摩擦。

三、滚动摩擦的产生：

实际上，圆柱体和粗糙水平面都不能是绝对的刚体，在它们接触时，

都要发生变形。当圆柱体滚动时，接触部分的变形情况也是不均匀的。

为使问题研究简便起见，把圆柱体看作刚体，假设地面发生形变。圆柱

体滚动时，其前方的平面要陇起，地面对圆柱体总的接触力的作用点Ｐ

要前移。该力的竖直分力Ｎ已不再通过圆柱体的质心Ｏ，而略向前方（如

图四）。竖直分力Ｎ和圆柱体的重力Ｇ构成一个力偶矩，它阻碍圆柱体的继续滚动，亦即使圆柱体的转动减慢。从表面上看，静摩擦力可使转动加快，实际上是Ｎ和f对Ｏ的力矩的代数和使圆柱体的转动角速度ω变慢，以配合静摩擦力f使质心平动速度Ｖ０减慢。

四、滚动摩擦的实质是力偶矩而不是力：

阻碍滚动的力偶矩叫做滚动摩擦力偶矩。正是这个弹性力Ｎ和重力Ｇ组成了阻碍滚动的

力偶矩，这就是滚动摩擦的实质，滚动摩擦力偶矩的大小和方向与弹力Ｎ对质点的力矩相同，但滚动摩擦的实质只能是力偶矩，而不是力矩。因为力偶矩和力矩在概念下还是有区别的。

滚动摩擦又分为动摩擦和静摩擦两种：

1.圆柱体保持相对于地面静止，它在一外力矩作用下而对地面有相对滚动趋势时，在它们的接触面上会产生一个阻碍发生相对滚动的力偶，它称为静摩擦力偶。静摩擦力偶矩随外力矩的增大而增大，但有一最大值，当外力矩超过这一最大值时，物体开始发生相对滚动，这一静摩擦力偶就称为最大静摩擦力偶。它作用在与相对于滚动轴垂直的平面内，其转向与外力矩的转向相反。力偶矩的大小与两物体间的正压力Ｎ的大小成正比，即最大静摩擦力偶矩的大小为：Ｍm =K 0N 比例系数K 0称为滚动静摩擦系数，量纲为Ｌ，它近似地只依赖于两物体的材料与接触面的物理状态。

2.当圆柱体相对地面作无滑动的滚动并有相对角速度时，在它们的接触面上所产生的阻碍相对滚动的力偶称为摩擦力偶。在没有外力矩作用的情况下，摩擦力偶使相对滚动角速度减小而趋向于零。摩擦力偶作用在相对滚动的转轴的垂直平面内，方向与相对角速度的方向相反。滚动摩擦力偶矩的大小正比于两物体间的正压力的大小，即Ｍ=KN 比例系数K 称为滚动摩擦系数，量纲为Ｌ，它近似地只依赖于两物体的材料与接触面的物理状态。圆柱体在地面上滚动的情况下，Ｋ就是竖直分力Ｎ的作用线偏离圆柱体质心０的距离。

实际上，圆柱体滚动时，若接触处的变形很小，则滚动摩擦对圆柱体滚动的阻碍也很小，质料越坚硬，变形越小。所以机械中采用的轴承，其滚动体及内外环都有很高的硬度使滚动摩擦小；反之，材料软则变形大，阻碍也大。轮胎打足气可以减小滚动摩擦的道理就在此。

在解算有关圆柱体，圆轮的滚动问题中，由于滚动摩擦很小，所以通常忽略了它对滚动的影响。但在所研究的问题中，如果圆柱体所受的主动力为零，或者很小时，就不能略去滚动摩擦的影响，否则将会得到错误的结论。

五、“滚动摩擦比滑动摩擦小得多”的含意：

滚动摩擦是力偶矩，而滑动摩擦是力，两者不能直接进行比较。但是对同样的的圆柱体，对使其分别进行匀速滚动和匀速滑动所需的水平外力的大小进行比较还是可能的。

如图五，一均质圆柱体质量为m 、半径为Ｒ，沿水平方向拉中心轴0使之匀速滚动，若圆柱体与路面间的滚动摩擦系数为Ｋ，求拉力为Ｆ１的大小。

圆柱体所受的静摩擦力f 与拉力Ｆ１方向相反。由于圆柱体匀速滚动，依质心运动方程

和对质心轴０的转动方程有：

Ｆ１－f ＝0 Ｎ－Ｇ＝０ Ｒf －ＫＮ＝０

解得：Ｆ１＝f ＝G R

k 这就是使圆柱体匀速滚动所需的水平拉

力。

如图六，若水平拉力Ｆ2拉圆柱体的边缘Ａ点，使圆柱体沿路面

匀速滑动，则水平拉力为： Ｆ2＝f ＝μＧ

在上述两种情况下，对Ｆ１和Ｆ2进行比较，即对

R

k 和μ值进行比较。在一般情况下，Ｋ≈0.25cm ，Ｒ为几十厘米，R k 的值约为0.005，而μ的值为0.5左右，故Ｆ１为Ｆ2的百分之一左右。

由上面的分析可知，“滚动摩擦比滑动摩擦小得多”的含意是：在其它条件都相同的情况下，克服滚动摩擦所需的外力比克服滑动摩擦所需的外力要小得多。