【数学】高考数学考前提醒个问题(八)

必要的条件和数据,画图的过程是一个熟悉问题的过程,是一个对已知
条件和解题目标的再认识的过程.
【 例 1 】 如 果 1 2x7 a0 a1x a2x2 a7 x7 ， 那 么 ，
a1 a2 a7 的值等于（ ）.
(A) 2
(B) 1 (C) 0 (D) 2
【例 2】（2004 年，重庆卷，（文）14）已知曲线 y 1 x3 4 ， 33
若使 m 2sin A 对所有钝角 A 恒成立,只需 m (2sin A)max 2.
故选 B.
【例 5】函数 f x x3 3ax2 b 有极值,又在其曲线上极大和极小 的点分别为 A, B ,若线段 AB (不含端点)与曲线交于点1,0,求a,b 的值.
由 f x 3x2 6ax 0 得 x 0, x 2a. A0,b, B 2a,4a3 b .
82. 经过多次的考试,你是否明白“成也审题，败也审题”的道理？
在解答试题时，应该如何审题？
(1)审题的第一步就是弄清问题和熟悉问题.
主要是弄清已知条件和解题目标,这里面包括;
① 有几个已知条件,能否把各个已知条件分开;
② 解题的目标是什么?要求是什么?
③ 是否需要画一个图,如果能画图,最好画一个图,并在图中标出
2．审题的第二步就是注意题目的隐含条件 有些题目中有些条件给出的并不明显,需要对这些条件进行再加工, 也有些条件虽然题目已经给出了,而解题者却没有把它作为条件来使用, 从而使解题遇阻, 需要对这些条件进行再认识. 【例 4】 (2005 年辽宁卷) 若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长
的比值为 m，则 m 的范围是( ). （A）（1，2）（B）（2，+∞） （C） [3，+∞) （D）（3，+∞）
由三角形三内角的度数成等差数列，可以立即得到 B 的度数， B 60 。设三角形的三个内角为 A, B,C; A 为钝角,且 A B C ,因为
钝角三角形三内角的度数成等差数列,则 A 90, B 60, C 30.
设角 A, B,C 的对边依次为 a,b, c ,则 m a sin A ，但是下一步，如 c sin C
何判断 m 的范围，就不知如何做了. 注意到,这里有一个隐含条件,即 B 60 , A 90, 则 C 30.
于是
m a sin A sin A 2sin A. c sin C sin 30
2
2
1 2 1 ,故选 B.
2 可见，审题的第一步骤就是弄清问题的已知条件和未知条件，在 弄清条件时，对题目一定要字斟句酌，解错一道题的原因之一，就是 在没有看清“求什么”的时候就仓促下笔。所以，熟悉问题是审题的重 要步骤,在熟悉的过程中,要弄清已知条件和未知条件,仔细地重复这些 条件,如果问题与图形有关,还应该画一张图,在图上标示已知条件和未 知条件及符号。
2
2
由题设条件，需要先求出向量OP , AB, PA 和 PB ，
由 AP AB 得,OP (1 )OA OB (1 , ),
AB OB OA 1,1 , PB AB AP (1 ) AB ( 1,1 ),
AP AB (, ) ， PA AB ,
OP AB PAPB (1 , )(1,1) (, )( 1,1 )
MF1 21,因为 NO 是 MFF1 的中
位线,则 NO = 21 , 同样, 若点 M 在 2
双曲线的左支 ,可得 NO = 1 , 于是 2
NO = 21 , 或 1 . 22
在 上面的 解法中 ,又是 审题出了 毛病 ,这是因 为由已 知曲线方 程可知，左支上的点到 F 的最近距离为 12。而题设，点 M 到右 焦点 F 的距离为 11，则点 M 不可能在左支上，因此，只有解 NO = 21.
题目是说求过点 P2,4 的切线方程,并没
指出 P 是切点,我们用下面的解法再试一
遍.
设 切 点 为 M x0 , y0 , 则 斜 率 为
y
x
2 0
,切线方程为
y
1 3
x03
4 3
x02
x
x0
,把
P2,4
的坐
标 代 入 , 解 得 x0 2, x0 1 , 于 是 切 线 方 程 为 y 4x 4 0 和
2 重合,这时候,M 成为线段 AB 的端点,与题意不符
【例 6】已知双曲线 x 2 y 2 1 上一点 M 到右焦点 F 的距离 25 24
为 11, N 是 MF 的中点,O 为坐标原点,求 NO 的值.
本 题可以 画一个 图帮助 思考 , 设 F1 为左焦点,若点 M 在双曲线的 右 支 , 则 由 MF1 MF 10 得
则过点 P(2, 4) 的切线方程是_____________
一般同学在解题时,注意了审题,观察到点 P2,4 在曲线上,采
取了下面的做法:
y x2 , 所以,在点 P2,4 处切线的斜
率 为 4, 由 点 斜 式 直 线 方 程 得
y 4 4x 2,即 y 4x 4 0.
这个解法有没有问题?再仔细审题,
yx20.
【例 3】（2006 年辽宁卷）
设 O(0, 0) , A(1, 0) , B(0,1) ,点 P 是线段 AB 上的一个动点, AP AB , 若 OP AB PAPB ,则实数 的取值范围是
(A) 1 1
2
(B) 1 2 1
2
(C) 1 1 2
2
2
(D) 1 2 1 2
再 由 点 M 1,0 在 曲 线 上 以 及 A, B, M 三 点 共 线 , 解 得
ab21.,ab112. , 2
这个结果是否正确?还是要注意题目的条件,即条件④中有一点容易被
忽略,这就是点 M 应在线段 AB 的内部,因此应满足0 1 2a, a 1 , 2
于是第二组解应舍去.或者说,若 a 1 ,则点 B 的坐标为1,0 与M 1,0
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解得，1
2 1
2 ,
2
2
解到这里,可能有人根据上面的结果而选(D),但是, (D)是一个陷阱, 因为,还有一个已知条件被忽略了,这个条件是“点 P 是线段 AB 上的一
个动点,”正因为点 P 是线段 AB 上的一个动点,所以 0 1,满足条件
的实数 的取值范围应是1 2 1 2 和 0 1的交集,即