4-4 费米统计1

2 (
f )d
第一项积分为1，第二项由于被积函数为奇，对称区域积分为0。
f 1 1 2 2 ( )d e 1 e 1 d 20 e 1 e 1 d 2






2 2e (1 2e 3e 2 ....)d
关于二价金属的费米面
X射线发射谱
• 阴极射线打击原子内层电子产生激发空出内层能级，价电 子向内层跃迁发射光子，表现为X射线的连续谱，谱线强 度取决于能态密度和发射几率。
• T>0K时，随温度升高，靠近费米面 EF0（几个kBT范围）的电子部分跃 迁到费米面之上，EF略小于EF0。
N f ( E ) N ( E )dE f ( E )Q( E ) 0 Q( E )(
• 只有当温度大于绝对零度时，由于热激发，费米面附 近的电子才可能跃迁到费米海以上的空态，但是费米 海深处的电子由于泡利原理的限制，如果没有足够的 能量是不可能跃迁到费米海以上的。当然费米面附近 电子的激发可以是其它形式的能量。
四、电子热容量
电子总能量U Ef ( E ) N ( E )dE f ( E ) R ( E ) 0
1 ds V 4k 2 m V 2m E 2 CE K E 4 3 2 k 2 2 m • 以近自由电子为例，周期性势场的影响主要表现在布里渊区边界 附近，在其它地方只对自由电子情况有较小的修正。因此，第一 布里渊区的等能面从原点向外，开始基本上保持为球面，在接近 布里渊区边界时，同样的 k，E(k)减小了，等能面将向边界凸出， 达到同样的E，需要更大的k。当E 超过在边界上的A 点的能量EA， 一直到 E接近于在顶角 C点的能量 EC，即第一能带顶时，等能面 将不再是完整的闭合面，而成为分割在各个顶角附近的曲面。 N(EA)取极大值，而N(EC)将为零。
U R( EF )
2
6
R( EF )k BT
2
5 1 2 2 2 5 3 2 2 k BT C EF EF 5 6 22
Cv N
2 k BT
k T 0 B 2 EF
3 2 02 N CE F 3
V N ( E )dE 2 dsdk 3 的密度乘上 E----E+dE 等能面之间的体积。电子 2 满足泡利不相容原理，每个能级上可容纳自旋相 V ds 3 dE 4 K E 反的两个电子。下式中 2代表自旋使量子态加倍。
• 以自由电子为例，N(E)函数如图，为抛物线
i
分布状况，从而使求和变为积分。
定义能态密度：单位能量间隔内可供电子占据的 量子态数。在等能面 E----E+dE 内的量子态的数 Z 目可表示为N(E)dE，N ( E ) lim ，N(E)为能 E 态密度，则 N f ( E ) N ( E )dE

在等能面 E----E+dE 内的量子态的数目即为波数
§4-4 费米统计和电子热容量
一、费米分布函数
二、能态密度
三、费米能量和费米面
四、电子热容量
一、费米分布函数
• 讨论金属中的价电子，单电子近似下得到了电子可以占据 的能量为准连续的能级形成的能带，电子为多粒子系统， 其在各能级E上的分布服从费米-狄拉克统计规律。
1 f (E) E EF exp( ) 1 k BT
可占据能带底部E=0的状态。
基态电子填充能带能级的可能情况
• 满带之外是空带，最高的满带称为价带，空带称 为导带，中间隔的为禁带或带隙，可能是绝缘体 或半导体； • 对硅、锗而言，N个原胞，2N个原子，8N个价电 子，成键态有4个交叠能带，可容纳8N个电子为 满带，反键态有4个交叠能带，可容纳8N个电子 为空带。 • 满带之外是半满带，半满带称为导带，在一个或 几个能带中有电子占据与不占据的边界---费米面， 对应于金属导体。
V N (E) 3 4
EA （B） EC
能带重叠与不重叠的N(E)曲线
EA EA
EC
EB
EB
EC
紧束缚模型下的N(E)
以简立方晶体的s带为例讨论。
E0 i J 0
◆三、费米能量和费米面
• T=0K时，
N
0 F
0 EF
0
mV N ( E )dE 2 2
2
3 2m 2 0 3 2 0 EF 2 C EF 2 3 3
取到二次方项，则积分式变为
N
0 2 QEF E EF f QEF QEF E EF ( )dE 2 E
令
E EF , k BT

下限可视 为-∞
2 QEF k BT 2 f N EF QEF QEF k BT ( )d 2 k BT 2 f f QEF k BT QEF ( )d QEF k BT ( )d 2
1 2 f ( E ) 1, E E F 1 f ( E ) , E EF 2 1 0 f ( E ) , E EF 2
• 当 T≠0K 时 ， 在几个 kBT 的 范围内 f(E) 完 成从1到0的 变化
二、能态密度
电子总数 N f ( Ei ) ，需确定电子在各能级上
T=0K时一个电子的平均能量
EdN E N
0
0 EF
0
3 0 EF 0 EF N ( E )dE 5
EN ( E )dE
即使在绝对零度，电子仍会有较高的平均能量 （室温下按经典理论一个自由度的平均能量为
0.026eV） 。
这主要是泡利不相容原理的作用，在T＝0K时电
子也不可能均处在最低能量状态，只有两个电子
0 2 1 1 1 1 2 2 (1) n1 ne n d 4 (1) n1 2 4( 2 2 ) 0 n 2 n n 3 n n n n

2 2 3 1 QEF k BT 2 2 2 k BT 3 1 2 N Q E F C EF EF 6 3 6 2 2 2 2 2 k BT CE 1 3 8 EF 3 2 F
0 0
f )dE E
令Q( E ) N ( E )dE
0
E
(
f )在E F两侧类似于函数，可考虑将 Q( E )在E F附近展开。 E
上下限代 入均为0
Q( EF ) Q( E ) Q( EF ) Q( EF )( E EF ) ( E EF ) 2 ... 2!
0 0
f R ( E )( )dE E
令R ( E ) EN ( E )dE
0
EБайду номын сангаас
(
f )在E F两侧类似于函数，可考虑将 R ( E )在E F附近展开。 E
R( E ) R( EF ) R( EF )( E EF )
R( EF ) ( E EF ) 2 ... 2!
2 E (3 2 n) 3 , 其中电子浓度 n N /V , 2m k F (3 n) 称为费米半径 .
2 1 3
金属的电子浓度~1028m-3,电子质量为9*10-31kg，费米能 量大约为几个到十几个电子伏特，其所对应的等能面可 看作是以kF为半径的球面，称为费米面，在0K时，它是 电子占据与不占据的分界面。
• 其中EF为费米能量（也叫化学势μ），由系统的电子总数N 来确定。其含义为当系统处于热平衡状态下，也不对外做 功，系统中增加一个电子所需要的能量。
F f ( Ei ) N , EF N T i
费米分布函数的特点
• 当T=0K时，
1, E E F f (E) 0, E E F
0 由于kBT EF，所以可将括号中的近 似为EF
3 2 0 2 而N C EF 3
2 k T 2 0 0 B 1 计算可得到EF EF ， k T E B F E0 12 F
泡利原理和费米冻结
• 在绝对零度时，波矢空间中费米面以内球体（费米球） 中的量子态全部被电子占满，费米球外的量子态全部 是空态。由于泡利原理和没有激发能量，所有电子都 被限制在费米面以下，有时形象地描述为电子被冻结 在费米海中。