高中数学选修2-3第三章 (3)

＝______，y＝______.
答案 －14 6
解析 ∵l1∥l2，∴－7x＝3y＝48(x≠0，y≠0)，
∴x＝－14，y＝6.
1．利用向量可以表示直线或点在直线上的位置． 2．线线平行、线面平行、面面平行问题都可以转化为两个向量的平行问题，证明依据是空 间向量共线、共面定理． 3．用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的 运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量．共分三步：(1)建立立体几何与空间向 量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向 量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义 来解释相关问题．
(1)AP∶PB＝1∶2；
(2)AQ∶QB＝2.
求点P和点Q的坐标．
解 (1)由已知，得PB→＝2AP→，
即OB→－OP→＝2(OP→－OA→)，
OP→＝23OA→＋13OB→.
设点P坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示，得
(x，y，z)＝23(2,4,0)＋13(1,3,3)，
即x＝43＋13＝53，y＝83＋33＝113，z＝0＋1＝1.
证明 ∵平面ABCD⊥平面ACEF，平面ABCD∩平面ACEF＝AC，EC⊥AC，EC⊂平 面ACEF，∴EC⊥平面ABCD，∴EC⊥BC且EC⊥CD，∴点C的坐标为(103，－1，73. 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.
设AC∩BD＝N，连接NE， 则点N，E的坐标分别是(22，22，0，(0,0,1)． ∴NE→＝(－22，－22，1. 又点A，M的坐标分别是(2，2，0)，(22，22，1， ∴AM→＝(－22，－22，1. ∴NE→＝AM→，且A∉NE，∴NE∥AM. 又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE， ∴AM∥平面BDE. 类型三 两直线所成的角的求解 例3 已知三棱锥O—ABC(如图)，OA＝4，OB＝5，OC＝3，∠AOB＝∠BOC＝60°，∠COA ＝90°，M，N分别是棱OA，BC的中点．求直线MN与AC所成角的余弦值．
C．105°
D．75°
答案 B
解析 建立如图所示的空间直角坐标系A1xyz，
设BB1＝1， 则A(0,0,1)，B1(62，22，0， C1(0，2，0)，B(62，22，1. ∴AB1→＝(62，22，－1，
答案 C
解析 设C(x，y，z)，
∵C为线段AB上一点且|AC→||AB→|＝13，
∴AC→＝13AB→，
即(x－4，y－1，z－3)＝13(－2，－6，－2)，
∴x＝103，y＝－1，z＝73.
类型二 向量方法处理平行问题
例2 如图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′，点M，N分别是面对角线A′B与面对角
所以“a∥b的充要条件是a＝ b”，
得{4－2m＝4λ，m－1＝λ2－2m，m－1＝λ2－2m，显然m＝1符合题意，
当m≠1时，由m－1＝ (2－2m)，得 ＝－12，
代入4－2m＝4 ，得m＝3.
5．已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l2的一个方向向量为(x，y,8)，且l1∥l2，则x
因此，P点的坐标是(53，113，1.
(2)因为AQ∶QB＝2，
所以AQ→＝－2QB→，OQ→－OA→＝－2(OB→－OQ→)，
OQ→＝－OA→＋2OB→，
设点Q的坐标为(x′，y′，z′)，则上式换用坐标表示，
得(x′，y′，z′)＝－(2,4,0)＋2(1,3,3)＝(0,2,6)，
即x′＝0，y′＝2，z′＝6.
一、选择题
1．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量．若l1∥l2，则( )
A．x＝6，y＝15
B．x＝3，y＝152
C．x＝3，y＝15
D．x＝6，y＝152
Hale Waihona Puke Baidu
答案 D
解析 由l1∥l2得，23＝4x＝5y(x≠0，y≠0)，解得x＝6，y＝152.
2．若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2,0,4)，则异面直线l1与l2的夹
则A(2,0,0)，B(2,4,0)， C1(0,4,2)，A1(2,0,2)， ∴E(1,2,2)，F(1,4,1)， AF→＝(－1,4,1)， BE→＝(－1，－2,2)， ∴|AF→|＝18＝32，|BE→|＝9＝3， AF→· BE→＝1－8＋2＝－5， ∴cos〈AF→，BE→〉＝－532×3＝－5218. ∵异面直线所成角的范围是(]0，π2， 设AF与BE所成角为 ，则cos ＝|cos〈AF→，BE→〉|＝5218.即异面直线AF与BE所成角的余 弦值为5218.
∥ 或 与 重合⇔v1∥ 且v2∥ . 知识点三 用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角 1．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角 设两条直线所成的角为 ， 1和 2分别是l1和l2的方向向量，则l1⊥l2⇔v1⊥v2，cos ＝|cos 〈v1，v2〉|. 2．求两直线所成的角应注意的问题 在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量v1，v2，所以cos〈v1，v2〉 ＝v1·v2|v1||v2|.但要注意，两直线的夹角与〈v1，v2〉并不完全相同，当〈v1，v2〉为钝 角时，应取其补角作为两直线的夹角．
1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，则( )
A．l1∥l2
B．l1⊥l2
C．l1、l2相交但不垂直
D．不能确定
答案 B
解析 ∵a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0，
∴a⊥b，∴l1⊥l2.
2．设l1的方向向量a＝(1,3，－2)，l2的方向向量b＝(－4,3，m)，若l1⊥l2，则m等于( )
答案 A
解析 ∵AB→＝(2,4,6)，而与AB→共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量，故选A.
4．已知向量a＝(4－2m，m－1，m－1)，b＝(4,2－2m,2－2m)，若a∥b，则实数m的值为(
)
A．1
B．3
C．1或3
D．以上答案都不正确
答案 C
解析 因为b＝(4,2－2m,2－2m)≠0，
因此，Q点的坐标是(0,2,6)．
反思与感悟 确定点的坐标可利用向量运算根据两个向量相等列方程解得．
跟踪训练1 已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点且|AC→||AB→|＝13，则点C
的坐标为( )
A.(72，－12，52
B.(38，－3，2
C.(103，－1，73
D.(52，－72，32
A．1
B.52
C.12
D．3
答案 B
解析 因为l1⊥l2，所以a· b＝0，即1×(－4)＋3×3＋(－2)×m＝0，所以2m＝9－4＝5，即m
＝52.
3．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A．(1,2,3)
B．(1,3,2)
C．(2,1,3)
D．(3,2,1)
线A′C′的中点．求证：MN∥侧面AD′；MN∥AD′，并且MN＝12AD′.
证明 设AB→＝a，AD→＝b， AA′→＝c， 则AM→＝12(a＋c)，AN→＝c＋12(a＋b)， 所以MN→＝AN→－AM→＝12(b＋c)． 因为M不在平面AD′内，所以MN∥平面AD′. 又因为b＋c＝AD′→， 所以MN→＝12AD′→， 所以MN∥AD′，MN＝12AD′. 反思与感悟 (1)直线与直线平行、直线与平面平行的向量证法根据是空间向量共线、共面 定理． (2)利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要注意向量所在的直线 与所证直线或平面无公共点． 跟踪训练2 (1)在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2.点M在棱BB1上， 且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点，求证：MN ∥RS. 证明 方法一 设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则 MN→＝MB1→＋B1A1→＋A1N→＝13c－a＋12b， RS→＝RC→＋CD→＋DS→＝12b－a＋13c， ∴MN→＝RS→，∴MN→∥RS→，又∵R∉MN，∴MN∥RS. 方法二 如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，
§3.2 空间向量在立体几何中的应用
3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程
学习目标 1.了解直线的方向向量，了解直线的向量方程.2.会用向量方法证明线线、线 面、面面的平行.3.会用向量证明两条直线垂直.4.会利用向量求两条直线所成的角．
知识点一 用向量表示直线或点在直线上的位置 思考 在平面中，可以用向量确定平面上一点的位置或点的集合．空间中一点的位置或点的 集合怎样确定？ 答案 已知向量a，在空间中固定一个基点O，再作向量OA→＝a，则点A在空间中的位置就 被向量a唯一确定了，称向量a为位置向量． 梳理 用向量表示直线或点在直线上的位置 (1)在直线l上给定一个定点A和它的一个方向向量a，对于直线l上的任意一点P，则有AP→ ＝ta或OP→＝OA→＋ta或OP→＝(1－t)OA→＋tOB→(AB→＝a)， 上面三个向量等式都叫做空间直线的向量参数方程．向量a称为该直线的方向向量． (2)线段AB的中点M的向量表达式OM→＝12(OA→＋OB→)． 知识点二 用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行 1．设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则由向量共线的条件，得l1∥l2或l1与l2重合⇔v1 ∥v2. 2．已知两个不共线向量v1，v2与平面 共面，一条直线l的一个方向向量为v，则由共面向量 定理，可得 l∥ 或l在 内⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2. 3．已知两个不共线向量v1，v2与平面 共面，则由两平面平行的判定与性质，得
则根据题意得 M(3，0，43，N(0,2,2)， R(3,2,0)，S(0，4，23. ∴MN→＝(－3，2，23，RS→＝(－3，2，23，MN→＝RS→， ∴MN→∥RS→，∵M∉RS，∴MN∥RS. (2)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF 的中点．求证：AM∥平面BDE.
1．直线l的方向向量是唯一的．( × ) 2．若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．( √ ) 3．若向量a是直线l的一个方向向量，则向量ka也是直线l的一个方向向量．( × )
类型一 空间中点的位置确定 例1 已知点A(2,4,0)，B(1,3,3)，如图，以AB→的方向为正向，在直线AB上建立一条数 轴，P，Q为轴上的两点，且分别满足条件：
解 设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，直线MN与AC所成的角为 ，则 MN→＝ON→－OM→＝12(b＋c)－12a ＝12(b＋c－a)，AC→＝c－a， 所以|MN→|2＝14(b＋c－a)2 ＝14(|a|2＋|b|2＋|c|2＋2b·c－2a·b－2a·c) ＝14(42＋52＋32＋15－20－0)＝454， |AC→|2＝(c－a)2＝|a|2＋|c|2－2a·c ＝42＋32－02＝25， MN→· AC→＝12(b＋c－a)· (c－a) ＝12(b·c＋|c|2－a·b－2a·c＋|a|2) ＝12(152＋9－10－0＋16＝454. cos ＝|cos〈MN→，AC→〉|＝|MN→·AC→||MN→||AC→||＝454454×5＝3510. 所以直线MN与AC所成角的余弦值为3510. 反思与感悟 向量所成角与异面直线所成角的差异：向量所成角的范围是[0，π]，而异面 直线所成角的范围是(]0，π2，故异面直线所成角的余弦值一定大于或等于0. 跟踪训练3 长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E，F分别是平面A1B1C1D1与 平面B1BCC1的中心，求异面直线AF与BE所成角的余弦值． 解 如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，
角的余弦值等于( )
A．－25 B.25 C．－255 D.255
答案 B
解析 设l1与l2的夹角为 ，则cos ＝|cos〈a，b〉|＝|a·b||a||b|＝|－4|5×20＝25.
3．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝2BB1，则AB1与C1B所成角的大小为( )
A．60°
B．90°