概念教学的本质、内涵

概念教学的本质、内涵

今天我从概念的本质属性以及如何揭示概念的本质属性等方面阐述有关概念教学的问题。

概念作为基础知识的核心，教师在教学时应该做到如下几点：

（1）明确什么是数学概念

数学概念是人对客观事物中有关数量关系和空间形式方面本质属性的抽象。概念反映的所有对象的共同本质属性的总和，叫做这个概念的内涵，又称涵义。如“最小公倍数”中公倍数是几个数公有的倍数，公因数是几个数公有的因数，可见“几个数公有的”是公倍数和公因数这两个概念的本质属性。在倍数、因数的基础上教学公倍数、公因数，关键在于突出“公有”的含义。概念的外延是指这个概念包括的一切对象。对具体事例是否属于概念作出判断，就是识别概念的外延，加强对概念的认识。概念的内涵和外延是相互依存、相互制约的，它们是构成概念的统一而不可分割的两个方面。

（2）教师作为知识的传播者首先必须深刻认知概念的本质属性，明确概念的内涵与外延，正确表述概念的本质属性。

概念学习实质上就是对一类对象关于数量关系与空间形式的本质属性进行抽象概括的过程，也是舍弃事物非本质属性的过程。表现为对同类对象的本质属性与非本质属性的区分。在概念教学中，一些教师虽然重视了概念的理解，但是往往关注枝节，从概念的枝节上提出问题，忽略对概念的本质的理解。

如有的教师在“体积和容积”的教学中，提出了这样的问题“水杯的体积与容积哪个大？”同一个物体的体积是否一定大于容积？试想这是体积与容积概念的实质吗？事实上，体积和容积哪个大是一个与度量有关的问题，不是体积和容积概念的本质问题。若容器（水杯）的厚度可以忽略不计，则它的体积和容积在数量上便相等。又如，一些学生误以为对边不在水平位置的平行四边形不是平行四边形。原因出在哪呢？原来是有些教师在总结平行四边形特征时强调“上下两边平行，左右两边也平行”这一非本质特征的缘故。再如，在“三角形的稳定性”教学中，比较普遍的做法是通过教师演示或让学生用手拉三角形的木架感知是否坚固、不变形，并加以解释三角形的稳定性，而忽视从“三角形三条边的长度一定时，三角形的形状和大小不变”引导学生理解三角形的稳定性，误导了学生。

（由0、1、5、7构成的最大一位小数到底是751.0还是750.1？）

那教师在教学中如何才能更好的揭示概念的内涵和本质呢？我认为可以从以下方面入手解决

1、概念的引入所选材料要要突出所授知识的本质属性

在概念引人的过程中，要注意使学生建立起清晰的表象。因为建立能突出事物共性的、清晰的典型表象是形成概念的重要基础。例如直角三角形的本质特征是“有一个角是直角的三角形”，至于这个直角是三角形中的哪一个角，直角三角形的大小、形状，则是非本质的。因此教学时应出示不同的图形，使学生在不同的图形中辨认其不变的本质属性。又如，在“倒数”的概念教学中，部分教师喜欢从倒数的外部特征（分子、分母上下颠倒位置）入手，类比语文中特殊结构复名词（“蜜蜂、蜂蜜”“天上、上天”等）引入倒数的概念，并且引导学生关注作为倒数的分子、分母互相颠倒这一形式上的特点。这一教学，效果似乎很好，但却淡忘了“倒数”概念的应用意义与作用，是一种舍本求末的做法。当提出“4/6的倒数是9/6”时，学生便蒙了“倒数怎么会是同分母分数呢？”原来，学生记得混瓜烂熟的“乘积为1的两个数互为倒数”这一定义，但是“在潜意识中还是以“分子、分母相互颠倒”作为“倒数概念表征的缘故”。

2、剖析概念中关键词语的真实含义

教材用“既是……又是……”的描述，让学生理解“公有”的意思。例1先联系长3厘米、宽2厘米的长方形纸片正好铺满边长6厘米、12厘米、24厘米……的正方形这些现象，从正方形的边长分别除以长方形纸的长和宽都没有余数，得出正方形的边长“既是2

的倍数，又是3的倍数”，一方面概括了这些正方形边长的特点，另一方面让学生体会“既是……又是……”的意思。然后在“6、12、18、24……既是2的倍数，又是3的倍数，它们是2和3的公倍数”这句话里把“既是……又是……”进一步概括为“公倍数”，形成公倍数的概念。

例如，分数定义中的单位“1”、“平均分”、“表示这样的一份或几份的数”，学生只有对这些关键词语的真实含义弄清楚了，才会对分数的概念有了深刻的理解。三角形的高的定义:“从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条边叫做三角形的底。”这里的“一个顶点”、“垂线”、“垂足”都是一些关键词语。为了让学生理解三角形的高，除了让学生理解字面意思外，往往还需要学生通过实际操作，体会画“高”的全过程。指出画“高”的关键是画垂线，并注意限制条件：“过三角形的一个顶点(可以是任何一个顶点)，作到它对边的垂线，顶点和垂足之间的线段”。这样把实际操作的过程和所画的三角形高的图形与定义所叙述的内容对照，使学生准确地理解三角形的高的定义。这实际上是在数学概念建立后，帮助学生对本质属性进行剖析，既将本质属性再次从定义中分离出来，加以明确。

3、恰当运用反例。

学生能背诵概念并不等于真正理解概念，还要通过实例突出概念的主要特征，帮助他们加深对概念的理解。概念教学中，除了从正面去揭示概念的内涵外，还应考虑运用适当的反例去突出概念的本质属性，尤其是让学生通过对比正例与反例的差异，对自己出现的错误进行反思，更利于强化学生对概念本质属性的理解。但必须注意，所选的反例应当恰当，防止过难、过偏，造成学生的注意力分散，而达不到突出概念本质属性的目的。

在概念揭示后往往要针对教学要求组织学生进行一些练习，如在“最小公倍数”的设计中例1在揭示2和3的公倍数的概念，指出它们的公倍数是6、12、18、24……后，提出“8是2和3的公倍数吗”这个问题，利用反例凸现公倍数的含义。让学生明白8只是2的倍数，不是3的倍数，从而进一步明确公倍数的概念。

如以角的概念为例，呈现大家熟悉的是将三角形的一条边改为曲线，判断它是不是角。如教完三角形按角分类后，可以出示：一个三角形不是直角三角形，并且有两个角是锐角，这个三角形一定是锐角三角形。让学生进行判断，引起学生讨论来巩固三角形的分类，以深化对三角形这一概念的外延的进一步认识。

4、变换本质属性的叙述或表达方式

小学生理解和掌握概念的特点之一往往是：对某一概念的内涵不很清楚，也不全面，把非本质的特征作为本质的特征。例如，有的学生误认为，只有水平放置的长方形才叫长方形，如果斜着放就辨认不出来。为此，往往需要变换概念的叙述或表达方式，让学生从各个侧面来理解概念。旨在从变式中把握概念的本质属性，排除非本质属性的干扰。因为事物的本质属性可以运用不同的语言来表达，如果学生对各种不同的叙述和表达都能理解和掌握，就说明学生对概念的理解是透彻的，是灵活的，不是死记硬背的。如在“最小公倍数”的设计中我们不仅用描述行的语言定义最小公倍数，还会用集合图来表示。

如教学“梯形”的概念，在学生按课本认识了梯形后，出示了下面图(1)、(2)，问：它是梯形吗?当学生回答后，再要他们指出这个梯形的上底、下底和高。接着出示图(3)，要求学生说出图中有哪些梯形，并分别指出这些梯形的高、上底和下底。有的学生认为a是梯形，有的认为b也是梯形，还有的认为a和b合起来是个大梯形。说明学生已经灵活掌握了“梯形”这一概念。

5、对近似的概念及时加以对比辨析

在小学数学中，有些概念其含义接近，但本质属性又有区别。如数与数字，数位与位数，奇数与质数，偶数与合数，化简比与求比值，时间与时刻，质数、质因数与互质数，周长与