最新定积分的概念讲义

定积分的概念讲义
定积分的概念
【知识要点】
(1)定积分的定义及相关概念
① 分割 如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…x i －1<x i <…＜x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，区间[x i －
1，x i ] 的长度«Skip Record If...»。

② 近似取代 “以直代取”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．
③ 求和 作和式i ＝1n f (ξi )Δx ＝∑
i ＝1
n b －a
n f (ξi )，
④ 取极限 当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a
b f (x )d x .
即：«Skip Record If...»
注：在⎠⎛a
b f (x )d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫
做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．
（2）定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间[a,b]上的函数«Skip Record If...»连续且恒有«Skip Record If...»。

那么定积分«Skip Record If...»表示由直线«Skip Record
If...»（«Skip Record If...»），«Skip Record If...»和曲线«Skip Record If...»所围成的曲边梯形的面积。

(3 )定积分的性质
① «Skip Record If...»
②⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛a
b f (x )d x (k 为常数)． （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质）
③⎠⎛a
b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛a
b f 2(x )d x . （定积分的线性性质）
④⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛c
b f (x )d x (其中a <
c <b )． （定积分对积分区间的可加性）
说明：①推广：«Skip Record If...» ②推广:«Skip Record If...» ③性质解释：
【例题精讲】
例1．计算定积分«Skip Record If...»
分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为«Skip Record If...»。

即：«Skip Record If...»
思考：若改为计算定积分«Skip Record If...»呢？
改变了积分上、下限，被积函数在«Skip Record If...»上出现了负值如何解决呢？
例2．求曲线«Skip Record If...»与x=1,y=0所围成的区域的面积
解： ①分割 将区间«Skip Record If...»等分为n 个小区间：«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，…，«Skip Record If...»，…，«Skip Record If...»，每个小区间的长度为«Skip Record If...»
② 近似取代 过各点做x 轴的垂线，把梯形分成n 个小曲边梯形，在分别用小区间左端点的纵坐标为«Skip Record If...»为高，«Skip Record If...»«Skip Record If...»为底作小矩形，于是图中曲线i 之下矩形的面积依次为：«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，…，«Skip Record If...»
③ 求和 所有这些小矩形的面积之和为 «Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+…+«Skip Record If...»=«Skip Record If...»
AMNB AMPC CPNB
S S S =+曲边梯形曲边梯形曲边梯形
=«Skip Record If...» =«Skip Record If...»
④取极限 «Skip Record If...»
【习题精练】
1.函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上，（）
A.«Skip Record If...»的值变化很小
B.«Skip Record If...»的值变化很大
C. «Skip Record If...»的值不变化
D. 当n很大时，«Skip Record If...»的值变化很小
答案：D
2.当n很大时，函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上的值，可以用下列函数值近似代替的是（）
A. «Skip Record If...»
B. «Skip Record If...»
C. «Skip Record If...»
D. «Skip Record If...»
答案：C
3.“以直代曲”中，函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上的近似值等于（）
A. 只能是左端点的函数值«Skip Record If...»
B. 只能是右端点的函数值«Skip Record If...»
C. 可以是该区间内任一点的函数值«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）
D. 以上答案均正确
答案：C
4.设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，将«Skip Record If...»n 等分，在每个小区间上任取«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»是（）A. «Skip Record If...» B. «Skip Record If...»
C. «Skip Record If...»
D. «Skip Record If...»
答案：B
5.设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，则«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上的平均值为（）
A. «Skip Record If...»
B. «Skip Record If...»
C. «Skip Record If...»
D. «Skip Record If...»
答案：D
6.已知和式«Skip Record If...»当n→+∞时，无限趋近于一个常数A，则A 可用定积分表示为（）
A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»
C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»
答案：B
7.下列定积分为1是（）
A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»
C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»
答案：C
8.求由«Skip Record If...»围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（）
A．［0，«Skip Record If...»］B．［0，2］C．［1，2］
D．［0，1］
答案：B
9.由y=cosx及x轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为．
答案：«Skip Record If...»或«Skip Record If...»。

10.计算«Skip Record If...»= 。

答案：«Skip Record If...»。

提示：这是求单位圆落在第一象限内部分的面
积。

11. ① 利用定积分的几何意义，判断下列定积分的值是正是负？
（1）«Skip Record If...»； （2）«Skip Record If...»； （3）«Skip
Record If...»．
答案： （1）正 (2)正 (3)负。

②利用定积分的几何意义，比较下列定积分的大小．
«Skip Record If...»， «Skip Record If...»， «Skip Record If...»。

答案：«Skip Record If...»≥ «Skip Record If...»≥«Skip Record If...»。

12.
计算下列定积分：
«Skip Record If...»； «Skip Record If...»；
«Skip Record If...»； «Skip Record If...»。

答案：(1)«Skip Record If...»； (2)«Skip Record If...» ；(3)0 ；(4)0。

13. 利用定积分表示图中四个图形的面积：
答案：(1) «Skip Record If...»； (2) «Skip Record If...»； (3) «Skip Record If...»；
(4) «Skip Record If...»．
(1)
(2)
(4)
【课下练习】
1.设函数«Skip Record If...»，则当«Skip Record If...»时，定积分«Skip Record If...»的符号（）
A. 一定是正的
B. 一定是负的
C. 当«Skip Record If...»时是正的，当«Skip Record If...»时是负的
D．以上结论都不对
答案：A
2.下列式子中不成立的是（）
A.«Skip Record If...»
B.«Skip Record If...»
C. «Skip Record If...»
D. «Skip Record If...»
答案：C
3.«Skip Record If...»= （）
A．0 B. «Skip Record If...»
C．«Skip Record If...»D。

«Skip Record If...»
答案：A
4.由直线«Skip Record If...»，及ｘ轴所围成平面图形的面积为（）
A．«Skip Record If...»B。

«Skip Record If...»
C．«Skip Record If...»D。

«Skip Record If...»
答案：C
5.和式«Skip Record If...»当n→+∞时，无限趋近于一个常数A，则A用定积分可表示为。

答案： «Skip Record If...»。

6.曲线«Skip Record If...»，所围成的图形的面积可用定积分表示
为．
答案：«Skip Record If...»
7.计算曲边三角形的面积的过程大致为：分割；以直代曲；作和；逼近。

试用该方法计算由直线x=0，x=1，y=0和曲线y=x2所围成的曲边三角形的面积。

（下列公式可供使用：12+22+…+n2=«Skip Record If...»）
答案：«Skip Record If...»
8.求由曲线«Skip Record If...»与«Skip Record If...»所围的图形的面积.
答案：6
9.计算«Skip Record If...»，其中,«Skip Record If...»
答案：6
10.弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)=kx（k是正的常数，x是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b所做的功。

答案：可用“分割；以直代曲；作和；逼近”求得：«Skip Record If...»。