第2章 有界线性算子的基本概念(1)kj

Tx c. 对任意 x X , x 0, 由于
Î S, 故
Tx = x
因此 Tx £ c x ( x Î X ).
1 x Tx = T ( x x
)
£ c.
(2) (3). 设 {x n } X , xn x. 由于 T 是线性的, 因此
0 £ Txn - Tx = T ( xn - x) £ c xn - x 0.
yn =
xn x - 1 (n = 1, 2, ). f ( xn ) f ( x1 )
则 f ( yn ) = 0. 因此 yn Î N ( f ) (n ³ 1). 另一方面, 由于
xn xn 1 = < 0 (n ¥), f ( xn ) f ( xn ) n
这说明
xn x 0. 因此 yn y = - 1 . 但是 f ( xn ) f ( x1 ) f ( y ) = f (x1 ) = -1 ¹ 0, f ( x1 )
T -1 y = x £
1 1 Tx = y . a a
这表明映射 T -1 : Y X 是连续的. 因此 X 与 Y 拓扑同构的充要条件是, 存在一一对应的映射 T : X Y , 使得 T 是线性的 , 并且 T 和 T -1 都是 连续的. 线性泛函是线性算子的特殊情形, 因此定理 2.1.1 的结论对线性泛 函当然也成立. 对线性泛函还成立如下定理. 定理 2.1.2 设 f 是赋范空间 X 上的线性泛函. 则 f 在 X 上有界的 充要条件是 f 的零空间 N ( f ) 是闭集. 证明 设 f 在 X 上有界, 则 f 在 X 上连续. 设 {xn } Ì N ( f ), xn x.
第2章
有界线性算子
§2.1 有界线性算子的基本概念
1 有界线性算子的定义与例
先回顾线性算子的定义. 设 X , Y 是线性空间, 其标量域为 K , T : X Y 是一映射. 若对任意 x1 , x 2 X 和 , Î K 成立 T ( x1 + x2 ) = Tx1 + Tx2 , 则称 T 为线性算子. 特别地, 称 X 到标量域空间 K 的线性映射 f : X K 为 X 上的线性泛函. 若 T 是线性算子, 则 T (0) = T (0 ⋅ 0) = 0 ⋅ T (0) = 0. 设 X , Y 是线性空间, T : X Y 是线性算子. 记
x ¹0
Tx . 因 x
此 Tx £ T x ( x Î X ). 另一方面, 若常数 c 0 使得
Tx £ c x ( x Î X ).
则有 T c. 这表明 T 是使得 Tx c x ( x Î X ) 的常数 c 中的最小的
N (T ) {x X : Tx 0}, R (T ) {Tx : x X }.
分别称 N (T ) 和 R(T ) 为 T 的零空间和值域. 容易验证 N (T ) 和 R(T ) 分别 是 X 和 Y 的线性子空间. 例 1 设 X 是 n 维线性空间, e1 , , en 是 X 的一组基, A = (ai j ) 是 一个 n ´ n 阶矩阵. 定义算子:
T = sup
x¹0
Tx x
= sup Tx .
x =1
(5)
证明
x £1
我们有
Tx x £ sup
x¹0
sup Tx £ sup
x £1, x¹0
Tx x
= sup T (
x¹0
x x
)
= sup Tx £ sup Tx .
x =1 x £1
因此(5)式成立. ■ 设 T : X Y 是有界线性算子. 根据定理 2.1.3, T = sup
ò
b a
(Tx)( s ) ds = ò
2
b a b
ò
b a b
K ( s, t ) x(t )dt ds
2 b 2 a
2
£ ò ( ò K ( s, t ) dt ò x(t ) dt )ds
a a
= ò ( ò K ( s, t ) dt )ds ò x(t ) dt
a a a
b
b
2
b
(2)
2
=M
b a b 1 2
M =(ò
对任意 x Î L [a, b], 令
2
( òa
K ( s, t ) dt )ds ) < ¥.
2
(Tx)( s ) = ò K ( s, t ) x(t )dt ,
a
b
f ( x) = ò x(t )dt.
a
b
则 T 和 f 分别是 L2 [a, b] 上的线性算子和线性泛函. 事实上, 由 Hölder 不等式, 对任意 x Î L2 [a, b] 有
因此 y Ï N ( f ), 这与 N ( f ) 是闭集矛盾. 这个矛盾说明 f 是有界的. ■ 例 2 (续) 设 T 和 f 如例 2 中所定义. (2), (3)两式分别表明对任意
x Î L2 [a, b] 成立 Tx 2 £ M x 2 ,
f ( x) £ b - a x 2 .
根据定理 2.1.1, T 和 f 都是有界的. ■
(2) 存在常数 c 0 使得 Tx £ c x ( x Î X ); (3) T 在 X 上连续.
证明
(1) (2). 由于 S { x : x 1} 是 X 中的有界集 , T 是有界
x x
的 , 故 T ( S ) 是 Y 中的有界集 . 因此存在常数 c 0, 使得对任意 x S ,
a a
b
b
2
Baidu Nhomakorabea
(3)
这表明 x(t ) 在 [a, b] 上可积. 故 f 是 L2 [a, b] 上的泛函. f 的线性性是显 然的. 例 2 中的算子 T 称为第二型 Fredholm 积分算子. 定义 2.1.1 设 X , Y 是赋范空间, T : X Y 是线性算子. 若 T 将 X 中的每个有界集都映射为 Y 中的有界集, 则称 T 是有界的. 有界线性算子之所以重要, 是因为根据下面的定理, 线性算子的有 界等价于连续. 定理 2.1.1 设 X , Y 是赋范空间, T : X Y 是线性算子. 则下列三 项是等价的： (1) T 是有界的;
j =1
i =1
y = å x jTe j = å x j å ai j ei = å ( å ai j x j ) ei .
j =1 j =1 i =1 i =1 j =1
n
n
n
n
n
因此 yi = å ai j x j ( i = 1, , n ). 这表明 T 是由矩阵 A (ai j ) 确定的线性
2 i =1
1 a
n
1
■ 下面给出一个无界的线性算子的例子. 例 4 设 C (1) [0, 1] 是在定义在区间 [0, 1] 上的具有连续导数的函数全 体. 作为 C [0, 1] 的子空间, C (1) [0, 1] 成为一个赋范空间. 定义微分算子
D : C (1) [0, 1] C[0, 1], ( Dx)(t ) = x ¢(t ).
2
x 2.
2
故 Tx L2 [a, b]. 因此 T 是 L2 [a, b] 到 L2 [a, b] 的算子. 由积分的线性性知 道 T 是线性的. 仍利用 Hölder 不等式得到
1 2 1 2
ò
b a
x(t ) dt £ ( ò 1dt ) ( ò x(t ) dt ) = b - a x 2 .
则 D 不 是 有 界 的 . 事 实 上 , 取 xn (t ) t n (n 1, 2, ). 则 对 任 意 n,
xn Î C (1) [0, 1] , 并且 x n 1, 但
Dx n max nt n 1 n
0 t 1
(n 1, 2, ).
这表明 D 不是有界的. ■
n¥
则 f ( xn ) = 0 ( n ³ 1 ) 于是 f ( x) = lim f ( xn ) = 0. 因此 x Î N ( f ). 这表明
N ( f ) 是闭集.
反过来, 设 N ( f ) 是 X 中的闭集. 我们证明 f 是有界的. 若不然, 则 存在 {xn } Ì X 使得 f ( x n ) n x n . 令
例 3 设 T : X Y 是线性算子. 若 X 是有限维的, 则 T 必有界. 证明 设 ( X , ||⋅|| ) 是 n 维赋范空间, e1 , , en 是 X 的一组基. 由定理
1.5.8, 存在常数 a, b 0 使得对任意 x = å xi ei Î X 成立
i =1
n
a ( å xi ) £ x £ b ( å xi )2 .
ai = f (ei ) ( i = 1, , n). 则 f ( x) = f ( å xi ei ) = å xi f (ei ) = å ai xi .
i =1 i=1 i =1 n n n
这说明 X 上的线性泛函都可以表示为(1)的形式. 因此 X 上的线性泛函
与 K n 中向量一一对应. 例 2 设 K ( s, t ) 是 [a, b] [a, b] 上的可测函数, 满足
这表明 Tx n Tx. 因此 T 在 X 上连续.
(3) (1). 若 T 不是有界的，则存在有界集 A X , 使得 T ( A) 不是 有界的 . 此时存在 {xn } Ì A, 使得 xn £ M (n ³ 1), 但是 Txn > n . 令
yn =
xn n
(n ³ 1), 则 y n 0 . 由于 T 连续, 应有 Tyn T (0) = 0. 但是 Tyn = T ( Tx xn ) = n ³ n ¥. n n
2 算子的范数及其计算
定义 2.1.2 设 X , Y 是赋范空间, T : X Y 是有界线性算子. 称
T = sup Tx .
x £1
为算子 T 的范数. 若 f 是 X 上的有界线性泛函, 则 f 的值域是标量域 K , 此时
f = sup f ( x) .
x £1
定理 2.1.3 设 T : X Y 是有界线性算子. 则
j =1
n
算子. 因此当基底取定后, X 上的线性算子与 n ´ n 阶矩阵一一对应.
线性泛函的情形更简单. 设 (a1 , , an ) Î K . 当 x =
n
å x e 时, 令
i i i =1
n
f ( x) = å ai xi .
i =1
n
(1)
则 f 是 X 上的线性泛函. 反过来, 设 f 是 X 上的线性泛函, 记
2
i =1 i =1
n
1 2 2
n
1
由 Hölder 不等式得到
Tx =
å x Te
i i =1 n i =1
n
i
£ å xi Tei
i=1 n 2 1 1 n 2 ) £ ( å Tei )2 x . a i=1 1 2
n
£ ( å xi ) ( å Tei
i =1
1 2 2
由于 c = ( å Tei )2 是与 x 无关的常数. 根据定理 2.1.1, T 是有界的.
T : X X , T ( å x j e j ) = å yi ei ,
j =1 i =1
n
n
其中 yi = å ai j x j (i = 1, , n). 用矩阵表示即
j =1
n
æ y1 ÷ ö æ a11 a1n ÷ öæ x1 ÷ ö ç ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ç÷ ç ç÷ ÷=ç ÷ç ÷. ÷ ç ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç xn ÷ è yn ÷ ø ç èan1 ann ÷ øè ø
矛盾. 因此 T 必有界. ■ 注 1 回顾在§1.5 中我们定义了两个赋范空间的拓扑同构: 设 X 和 Y 是赋范空间. 若存在映射 T : X Y , 使得 T 是一对一映上的线性 的, 并且存在 a, b 0 使得
a x £ Tx £ b x ( x Î X ),
(4)
则称 X 与 Y 是拓扑同构的. 根据定理 2.1.1, (4)式第二个的不等式蕴含 T 是连续的. 对任意 x Î X , 记 Tx = y, 则 T -1 y = x. 由(4)式的第一个不等 式得到
则 T 是线性算子, 称之为由矩阵 A = (ai j ) 确定的线性算子. 反过来, 设
T : X X 是线性算子. 则 Te j 必是 e1 , , en 的线性组合. 设
Te j = å ai j ei ,
i =1
n
n
n
j 1, , n .
当 x = å x j e j 时, 记 y = Tx = å yi ei , 则