高中数学 简单的逻辑联结词练习题

1．选择题

(1)给出下列3个命题判断

①“至多有两个”的否定是“至少有两个”

②若a ＜b ，则关于x 的不等式0≤--x

b a x 解集为{x ｜a ≤x ≤b }是真命题 ③向量a 、b ，若a ≠0，a ·b ＝0，则b ＝0是假命题

其中真命题的序号是( )

A ．①

B ．③

C ．①②

D ．①③

(2)命题“若函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内是减函数，则log a 2＜0”的逆否命题是( )

A ．若log a 2≥0，则函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内不是减函数

B ．若log a 2＜0，则函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内不是减函数

C ．若log a 2≥0，则函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内是减函数

D ．若log a 2＜0，则函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内是减函数

(3)命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是( )

A ．不存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0

B ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≥0

C ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1＞0

D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1＞0

2．填空题：

(4)写出命题“若a 、b 都是偶数，则a ＋b 是偶数．”的逆否命题为________．

(5)写出命题“若x ＋y ＞0，xy ＞0，则x ＞0，y ＞0”的否命题为________．

(6)用反证法证明“a 、b 、c 中至少有一个大于0”的假设内容应是________．

3．解答题

(7)已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，试判断以下四个命

题①(⌝p )∨q ②p ∧q ③(⌝p )∧(⌝q ) ④(⌝p )∨(⌝q )的真假．

(8)命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的正实数根，命题q ：方程4x 2＋4(m ＋2)x ＋1＝0无实数根，若“p

或q ”为真命题，求m 的取值范围．

(9)已知下列三个关于x 的方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个有实根，

求实数a 的取值范围．

(1)B 解：①“至多有两个”的否定是“至少有三个”

②若a ＜b ，则关于x 的不等式0≤--x

b a x 解集为{x |x ≥b 或x ≤a } ③取向量a 、b ，满足a ≠0，b ≠0且a ⊥b ，则a ·b ＝0．

(2)A

(3)C 解：对“任意的x ∈R ”的否定是“存在x ∈R ”；对于“x 3－x 2＋1≤0”的否定是“x 3－x 2＋1＞0”

(4)“若a ＋b 不是偶数，则a 、b 不都是偶数．”

(5)若x ＋y ≤0，或xy ≤0，则x ≤0，y ≤0．

(6)a ≤0且b ≤0且c ≤0；或写为“a 、b 、c 全都小于等于0”

(7)解：命题p ：所有有理数都是实数是真命题，

命题q ：正数的对数都是负数是假命题．

所以⌝p 为假，⌝q 为真．

①(⌝p )∨q 为假，②p ∧q 为假，③(⌝p )∧(⌝q )为假，④(⌝p )∨(⌝q )为真．

(8)解：“p 或q ”为真命题，则p 为真命题，或q 为真命题，或q 和p 都是真命题

当p 为真命题时，则⎪⎩⎪⎨⎧>=>-=+>-=∆010042

1212x x m x x m ，

得m ＜－2；

当q 为真命题时，则∆＝16(m ＋2)2－16＜0，得－3＜m ＜－1

当q 和p 都是真命题时，得－3＜m ＜－2

∴m ∈(－∞，－1)

(9)解：设三个关于x 的方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0……①，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0……②，x 2＋2ax －2a ＝0……③全都没有实根，则

⎪⎩⎪⎨⎧<--=∆<--=∆<+--=∆0)2(4)2(04)1(0)34(4)4(2322221a a a a a a ，即⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧<<--<><<-0

21,312123a a a a 或，得123-<<-a ∴2

3-≤a ，或a ≥－1． 所以三个关于x 的方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个有实根，实数a 的取值范围为

),1()2

3,(+∞---∞Y ．

P

3