相干光光场与二能级原子相互作用及其演化

相干光光场与二能级原子相互作用及其演化
陈利利( 安庆师范学院物理与电气工程学院安徽安庆246011)
指导教师：章礼华
摘要：应用J-C模型研究了在相干光光场的作用下二能级原子体系，在已知体系的哈密顿量以及该体系的初态的情况下，求解其薛定谔方程得出该体系的末态，研究体系能量、跃迁几率随时间的演化；同时研究在该模型下相干光场作用下二能级原子体系内部状态间的跃迁几率，并讨论了光场参数、耦合常数对跃迁几率演化的影响。

关键词：相干光场，二级能原子，跃迁几率
1. 引言
众所周知，描述光场与原子相互作用最典型的理论模型就是Jaynes-Cummings模型，人们对它进行了广泛深入的研究并作了各种推广，如光场与三能级原子的相互作用、多模光场与原子的相互作用、场与多原子的相互作用等。

并通过对这些相互作用的系统的研究发现了很多有趣的形象，如原子布局的周期崩塌与回复效应、光子的反聚束效应等。

熵是一个描述系统偏离纯态程度的物理量，也是研究量子系统动力学的重要工具，在量子信息领域有很大的应用，研究表明在J-C模型中，随着光场平均光子数的增加，系统场熵均值和振荡频率增大，光场较弱时，场熵呈现一定的周期性振荡，初始两原子的纠缠状态和纠缠度对场熵振荡频率和振幅有影响；光场增强后，场熵呈现出周期性的崩塌与回复，且随初始两原子纠缠度的增加，场熵的振幅增大，场熵的时间演化反映了光场与原子之间关联的时间行为，熵越高, 关联效应越明显，通过测量原子的性质可以判断光场的性质，这个结论在量子领域有很大用处[1]。

光场与二能级原子的相互作用是量子光学、凝聚态物理等学科的重要研究课题之一。

以前人们研究二能级原子与光场相互作用模型给出的系统物理量结论表示为无穷项的求和，而流方程方法尝试解决光场与二能级原子的相互作用问题，并把给出的系统物理量结论(能量本征值、原子自旋的平均值及其相关函数)都表示为有限项形式。

这些重要且非常有用的研究结果已经有大量有关期刊发表出来，但是深入的研究是建立在基础知识的研究之上的，对于J-C模型研究基础理论的期刊尚未见详细报道，本文就是针对二能级原子与光场的相互作用进行研究，并重点分析了二能级原子与相干光光场的相互作用及其演化，讨论了系统态的跃迁概[2]。

2．理论模型
2.1 二能级原子
实际原子的能谱是十分复杂的，所以精确讨论多原子体系与光场的相互作用是不可能的，因此通常我们借助假设。

电磁场能诱导原子不同能级间的许多跃迁，然而最有可能的跃迁是原子的本征频率与光场频率相近的跃迁，所以最自然的假设是令原子只有两个非简并能级E+和E—，称之为二级能原子，显然二级能原子是理想模型，但是它在研究光与物质的相互作用的理论有很重要的作用（近代量子光学导论）。

从概念上说，二级能原子与磁场中自选为1/2的粒子属于同一类粒子，所以有时我们也称它为自旋为1/2的赝自旋子，下图为二级能原子的能级图[3]：
+
+E
ω
-
-E
图1.二级能原子的能级图
2.2 光场量子化描述
光场的相干态：在量子力学中，光子数n 对应强度I ，它是粒子图像，而相位则是波动的概
念，两者不能同时确定。

用粒子数态n 描述的单模光场，光子数有确定的值，而相位则不确定。

可以采用另一种描述光场的态函数，它称为相干态，用这种态函数描述光场可以构成一个包，其相位有近似确定的值，但光子数具有较大的不确定度。

理论上把相干态定义为非厄米算符a 的本征态矢
α，
利用粒子数算符a a +
的本征态矢集{}n 的完备性和态函数的归一化条件，来求解a 的本征值方程式，从而得到相干态α的表示式为[4]：
n n e
n n
∑
∞
=-=0
2
!
2
ααα
（1）
上式中α为光场参数。

在文献[5]中,于祖荣给出了相干光场的特点:α是归一的，但不正交，是具有最小测不准量的态；光子数在α态呈泊松分布；处于α态的光子为相干态光子。

由于相干态是量子辐射场中最接近经典电磁场的态，而且它是研究激光的重要工具， 因此，研究相干光场与原子相互作用是很有意义的。

2.3 J-C 模型
J-C 模型是由Jaynes 和Cummings 在研究微波激射器时提出来的，由单个二级能原子(或分子)
与一单模量子化光场组成的相互作用系统的理想模型，它是描述原子与光场相互作用的理想模型，由于它只需作旋波近似就可以精确求解，因此不仅在量子光学，而且在激光物理、核磁共振和量子场论等许多问题中都常被采用。

该模型的哈密顿量为：
)(0+-+++++=aS S a g a a S H z ωω （2）
其中z S 和±S 是描述本征跃迁频率为0ω的二级能原子行为的赝自旋算符，g 为原子与光场的耦合常数，它反映原子与光场相互作用的强度。

而且为了简单起见，这里去自然单位1= 。

显然，上式右边第一项对应裸原子的能量，第二项对应光场的能量，第三项表征光场与原子的相互作用能[3]。

本文应用Jaynes-Cummings( J-C) 模型研究有效二能级原子与单模量子化光场(光场态为相干态)的相互作用及二能级原子内部状态间跃迁。

一个单模量子化光场与一个有效二能级原子相互作用,在旋转波近似下,由可得该体系的哈密顿量为：
)2112()1122(2
++><+><++><-><Ω
=
a a g a a H ω （3） 为了简便,已取哈密顿常数1= ,在(3)式中,>1、>2分别表示二能级原子的基态和激发态；+
a 、a 为光子的产生、湮灭算符；ω为光场频率；Ω为二能级原子的Rabi 振荡频率；g 为原子与光场的耦合常
数。

在相互作用表象下的哈密顿量为： ()
+-+=a e a e g H t i t i I 2112δδ
其中：
()ωδ-Ω=
所以在相互作用表象下的薛定谔方程为：
()()
()
()I t i t i I
I I
t a e a e g t H t t
i
φφφδδ+-+==∂∂
2112 （4）
方程（4）的解可以展开如下形式：
n t d n t c t n n I
,1)(,2)()
(+=φ (5)
n n ,11=⊗ n n ,22=⊗ (6)
[]()
[]⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+∂∂∑∑+-n n n t i t i n n n n t d n t c a e a e g n t d n t c t i
,1)(,2)(2112,1)(,2)(δδ 计算后，对比两边的系数可得：
)
(1)(1)(11t c e n ig d t d e n ig t c n t i n n t i n δδ+-=+-=•
++-•
（7）
在知道初态的情况下，方程（7）可以严格求解得：
t
i n n n n n n n n t i n n n n n n n n e t c n ig t i t d t d e
t d n ig t i t c t c δδδ
δ
⎭⎬⎫⎩
⎨⎧∆∆+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆-∆=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∆∆+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆+∆=++-+)2sin()0(12)2sin()2cos()0()()2sin()0(12)2sin()2cos()0()(111 （8）
上式中：
22)1(4g n n ++=∆δ (9)
相互作用哈密顿量的本证值能量为：
)1(4
)21(22
++±+=±n g n E δω （10）
由(10)式可知二级能原子的两个能级的能量。

若初始时刻(t= 0),原子处于激发态上，即01=+n d ，则由（8）式可得：
()t
i n n n n t i n n n n n e t c n ig t d e
t i t c t c δδδ
)2
sin()0(1
2)2sin()2cos()0()(1∆∆+-
=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆+∆=+- （11）
图2.左图为2)(t
c
n
随时间t变化关系,右图为2)(t
d
n
随时间t
变化关
图3.初态为激发态原子和单光子态的系统的纠缠度E随时间t的演化
而若定义二能级原子与福克态光场组成的系统初态)0(
n
φ为：
n
c
n
n
,2
)0(
)0(=
φ (12)
在此情况下，)0(
n
φ经过前面相互作用表象下的哈密顿量作用，经过时间t后演化为：
n
e
t
i
t
c
t t i
n
n
n
n
n
,2
)
2
sin(
)
2
cos(
)0(
)(δ
δ
φ-
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡∆
∆
+
∆
=
1
,1
)
2
sin(
)0(
1
2
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡∆
∆
+
-
+n
e
t
c
n
ig
t i
n
n
n
δ（13）则初态为激发态原子和单光子态光场的系统，在上述演化过程中，系统态的概率幅2)(t
c
n
和
2
)(t
d
n
随时间的变化关系如图2所示，我们也可以描述系统纠缠度E随时的演化如图3所示。

下面, 用哈密顿量的解来研究相干光场与有效二能级原子的相互作用。

假设初始时刻( t= 0)，原子与光场系统处于态：
α
αψ,22)
0(=⊗=
n n e
n
n
,2)!
(
2
2
∑-=αα
)0()!
(
2
2
n n
n
n e
φαα
∑-=
（14） 根据上面的演化特点可知,t 时刻系统处于：
)()!
(
)(2
2
t n e t n n n
φαψα
∑-=
由式（13）得：
∑∞
=--⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
∆∆+∆=0
2
,2)2sin()2cos()!(
)(2
n t i n n n n n e t i t n e
t δα
δ
αψ
⎪⎭
⎪
⎬⎫+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆+-+1,1)2sin(12n e t n ig t i n n δ （15）
基于上面的态演化，下面我们可以讨论 ⑴、由此可以得出t 时刻的几率密度:
2
)()()(>
<=t t t ψψω
()∑
∞
=--⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪
⎬
⎫+∆∆++⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎣⎡∆∆-∆=0
1111*2
11111111
2
1,1)2sin(122,)2sin()2cos()!(
n t i n n t i n n n n n e t n ig n e t i t n e
δδα
δα
2
02
2222
2222222
2
1,1)2sin(12,2)2sin()2cos()!(∑∞
=--⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪
⎬⎫+∆∆+-⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎣⎡∆∆+∆n t i n n t i n n n n n e t n ig n e t i t n e
δδα
δα
化简可得：
2
02222222
)2(cos )1(4)2(sin !)(∑⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛∆+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∆++∆⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=∞
=-n n n n n
t n g t n e
t δαωα 2
02222)2(cos )2(sin !∑⎪⎭⎫ ⎝⎛
∆+∆⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=∞=-n n n n
t t n e αα
2
222
2!
!
2
2
∑
∑
∞
=-∞
=-==n n n n n e
n e
α
α
α
α
（16）
由式（16）可以看出，t 时刻的几率密度与时间无关，只与α有关即只与光场参数有关，即在光场参数不变的情况下，体系任意时刻的几率密度的相等。

⑵、可以算出系统由)(t ψ态跃迁到)0(ψ态的几率：
2
)()0()(>
<=t t P ψψ
()2,)!
(
11*2
1
2
n n e
n
n ∑
-=αα
2
02
2222
2222222
2
1,1)2sin(12,2)2sin()2cos()!(∑∞
=--⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫+∆∆+-⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎣⎡∆∆+∆n t i n n t i n n n n n e t n ig n e t i t n e
δδα
δα （17）
化简可得：
2
21,1)2sin(12,2)2sin()2cos(2,!)(2
∑∞=--⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫+∆∆+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆+∆⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=n t i n n t i n n n n
n e t n ig n e t i t n n e
t p δδα
δα再根据量子力学的基本知识即本征函数正交归一得：
2
2,22,)2sin()2cos()!(
)(2
n n e t i t n e
t p t i n n n n n
δα
δα
-∞
=-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∆∆+∆∑=
2
2)2sin()2cos()!(
2
t i n n n n n
e t i t n e
δα
δα
-∞
=-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∆∆+∆∑= ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆-∆∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆+∆∑=∞=-∞=-)2sin()2cos()!(
)2sin()2cos()!(020222t i t n e t i t n e n n n n n n n n n n δαδααα 由于:1=-t
i e
δ,所以上式化简可得：
⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪
⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∆∆∑+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡∆∑=∞=∞=-2022022)2(sin )!()2(cos )!(
)(2
t n t n e
t p n n n n n n n δααα
(18) 由(18)式可得该体系的跃迁几率与光场的耦合常数及光场参数有关，如图3、图4所示。

(a ) (a
)
(b) (b)
(c) (c)
(d ) (d )
图4.为光场的耦合常数不变的情况下 图5.为光场参数不变的情况下
（g=0.2*10^6）跃迁几率的变化， (42
=α
)跃迁几率的变化
6^10*1.0=δ 6^10*1.0=δ
11
)(8)(5)(2)(2
2
22====α
α
α
αd c b a
6
^10*1.1)(6^10*8.0)(6
^10*5.0)(6^10*2.0)(====g d g c g b g a
从图4可以看出，跃迁几率的变化具有近似周期振荡的特性，在g 固定的情况下，随着2
α的增大,相应时刻的P(t)值减少，每两个P(t)“调制波”峰值之间分叉振荡的振幅也减少。

从图5可以看出，跃迁几率的变化具有近似减幅周期振荡的特性，在2
α固定的情况下，随着g 的增大，相应时刻P(t)的峰值减少，每两个P(t)“调制波”峰值之间分叉振荡的振幅也减小。

3．结语
通过对二级能原子、相干光场以及J-C 模型的概念的详细介绍，让我们对这个体系有更深的了解和认识。

在已知体系哈密顿量和初态的情况下，通过求解其薛定谔方程得出末态，研究其初态随时间的演化特点，同时详细给出了该体系的几率密度，跃迁几率随时间的演化跟光场参数以及光场耦合常数的关系。

参考文献
[1]张永德，量子信息物理原理，科学出版社，2006。

[2]赵千川译，量子计算和量子信息（一），清华大学出版社，2004。

[3]彭金生，近代量子光学导论，科学出版社，1996。

[4]G. Alber,Quantum information, Springer, 2002。

[5]于祖荣，量子光学中的非经典态，物理学进展, 1999, 3(1) : 77-81。

[6]Foundation of quantum optics and information ，Peter Lambropoulos ，David Petrosyan ，Springer ，2007。

[7]王建伟，相干光场与二级能原子的相互作用及场熵的演化，新疆大学学报，2001，1-6页。

Evolution of Coherent light Field Interacting with Two-level Atom
Chen Lili
(School of Physics and Electronic Engineering, AnQing Normal University，AnQing，Anhui，246011)
Instructor: Zhang Lihua
Abstract: In this paper, two levels atom system interacting with coherent light field has been studied by using the Jaynes-Cummings model. We obtained the final state of the system, probability density, average value of other physical quantities of the system by solving the Schrodinger equation of system in the case of the known Hamiltonian of system and the initial state of the system. And transition probability between every two levels atom system with coherent field interacting is studied by using the Jaynes-Cummings model. The influence of field parameters and coupling constant on the evolution of transition probability is also discussed.
Key words: Coherent light field，Two-level atom，Transition probability。